第一章 拉压变形

第三部分材料力学MechanicsofMaterials

构件的失效形式通常有三种：一、构件在使用中因承受的荷载过大而发生破坏；

---构件抵抗破坏的能力称为强度

应力。二、构件的变形超出了工程上所允许的范围；

---构件抵抗变形的能力称为刚度

应变。三、构件在载荷的作用下其几何形状无法保持原有的平衡状态而失去平衡，通常也称为失稳。

---构件维持原有平衡状态的能力称为稳定性。引言回顾 材料力学的主要研究任务：

研究各种构件在荷载的作用下所表现出来的变形和破坏的规律，为合理设计构件提供有关强度、刚度和稳定性分析的理论基础和设计计算方法，从而为构件选择适当的材料、确定合理的形状和足够的尺寸，以保证建筑物或工程结构既经济又安全的要求。变形固体及其基本假设

在外力作用下，一切固体都将发生变形，故称为变形固体1．连续性假设：认为整个物体所占空间内毫无空隙地充满物质。2．均匀性假设：认为物体内各点的力学性能都相同。3．各向同性假设：认为物体在各个不同方向上的力学性能相同。4.小变形假设:认为物体的几何形状及尺寸的改变与其总尺寸相比是很微小的。5、线弹性假设：变形可分为弹性变形和塑性变形。假设外力在一定的范围内，构件只产生弹性变形，并且外力与变形之间符合线性关系(胡克定律)。第一章轴向拉伸和压缩1.轴向拉伸和压缩的概念2.轴向拉伸/压缩变形时的内力3.应力的概念4.拉（压）杆的变形·胡克定律5.拉伸和压缩时材料的力学性能6.轴向拉伸和压缩时的强度计算7.拉伸和压缩静不定问题8.应力集中的概念9.拉(压)杆的应变能*受力特点：外力或其合力的作用线沿杆的轴线

*变形特点：主要变形为轴向伸长或缩短拉杆压杆FFFF1.轴向拉伸和压缩的概念FF工程实例1.外力——F2.内力——FN(轴力)（1）轴力的大小：（截面法确定）FF1—1FFN①截开。②代替，用内力“FN”代替。③平衡，∑X=0,FN-F=0,FN=F。2.轴向拉伸/压缩变形时的内力内力的确定——截面法（基本方法）1、截开—欲求哪个截面的内力,就假想的将杆从此截面截开,杆分为两部分。2、代替—取其中一部分为研究对象,移去另一部分,

把移去部分对留下部分的相互作用力用内力代替。3、平衡—利用平衡条件，列出平衡方程，求出内力的大小。FN+FN-（2）轴力的符号规定：原则—根据变形压缩—压力，其轴力为负值。方向指向所在截面。拉伸—拉力，其轴力为正值。方向背离所在截面。同一位置处左、右侧截面上内力分量必须具有相同的正负号。（3）轴力图：轴力沿轴线变化的图形①取坐标系②选比例尺③正值的轴力画在x轴的上侧,负值的轴力画在x轴的下侧。+FNx①反映出轴力与截面位置变化关系，较直观；②确定出最大轴力的数值及其所在横截面的位置，即确定危险截面位置，为强度计算提供依据。（4）轴力图的意义(5)注意的问题①在截开面上设正的内力方向。②采用截面法之前，不能将外力简化、平移。FNPFFFFN注意：在采用截面法之前不允许使用力的可传性原理；轴力图---截面法（1）按外力作用点分段用截面法求轴力，作轴力图。

150kN100kN50kN（2）轴力只与外力有关，截面形状变化不会改变轴力大小。FN

+-作图示杆件的轴力图，并指出|FN|maxIIIIII

|FN|max=100kNFN2=-100kN100kNIIIIFN2FN1=50kNIFN1I50kN50kN100kN[例1]图示杆的A、B、C、D点分别作用着大小为5F、8F、4F、

F的力，方向如图，试画出杆的轴力图。FN1ABCDFAFBFCFDOABCDFAFBFCFD解：求OA段内力FN1：设截面如图同理，求得AB、BC、CD段内力分别为：FN2=–3F

FN3=5FFN4=FFN2CDFCFDFN3DFDFN4BCDFBFCFDABCDFAFBFCFDO轴力图如右图示FNx2F3F5FFABCDFAFBFCFDO++-问题提出：FFFF1.内力大小不能全面衡量构件强度的大小。2.构件的强度由两个因素决定：①内力在截面分布集度应力；

②材料承受荷载的能力。2F2F3.应力的概念F1FnF3F2轴力是横截面上各点内力的合力；应力就是单位面积上的内力?F1F2ΔADFΔFQΔFN垂直于截面的应力称为“正应力”与截面相切的应力称为“切应力”或“剪应力”内力在截面上的聚集程度称为“应力”或“全应力”平均应力小写

英文注音

国际音标注音

中文注音δdeltadelt德尔塔

σsigma`sigma西格马

εepsilonep`silon

伊普西龙

μmu

mju

缪

νnunju

纽

τtautau

套

1GPa=109Pa1MPa=106Pa＝1N/mm2应力的国际单位为N/m2（帕斯卡）1N/m2=1Pa轴向拉伸实验:PPPP杆内纵向纤维的伸长量是相同的，或者说横截面上每一点的伸长量是相同的平截面假设：原为平面的横截面在杆变形后仍为平面P如果杆的横截面积为：A根据前面的实验，我们可以得出结论：即横截面上每一点存在相同的拉力方向—正应力—轴力推导思路：实验→变形规律→应力的分布规律→应力的计算公式σ的符号与FN轴力符号相同拉伸——拉应力，为正值，方向背离所在截面。压缩——压应力，为负值，方向指向所在截面。拉压杆内最大的正应力：等直杆：变直杆：公式的使用条件(1)轴向拉压杆(2)除外力作用点附近以外其它各点处。（范围：不超过杆的横向尺寸）圣维南原理（Saint-Venant'sprinciple）

对于作用在物体边界上一小块表面上的外力系可以用静力等效（主矢量、主矩相同）并且作用于同一小块表面上的外力系替换，这种替换造成的区别仅在离该小块表面的近处是显著的，而在较远处的影响可以忽略。50例作图示杆件的轴力图，求杆件的应力。f30f20f3550kN60kN40kN30kN1144222060+33注意单位统一的问题：横截面----是指垂直杆轴线方向的截面；斜截面----是指任意方位的截面。FFF①全应力：②正应力：③切应力：1）α=00时，σmax＝σ2）α＝450时，τmax=σ/2

拉压杆斜截面上的应力其中：拉应变为正，压应变为负。轴向(纵向)应变：4.拉（压）杆的变形·胡克定律横向应变：

FF（a）ll1dd1（b）FFll1dd1

实验表明，横向应变与纵向应变之比为一材料常数

----称为横向变形系数（泊松比Poisson’sratio）实验表明，在比例极限内，杆的轴向变形Δl与外力F及杆长l成正比，与横截面积A成反比。即：引入比例常数E，有：----胡克定律其中：E----弹性模量，单位为Pa;

EA----杆的抗拉（压）刚度。胡克定律的另一形式：胡克定律Hooke’sLaw----胡克定律②当轴力为x的函数时N=N(x)——①当各段的轴力为常量时——（3）、使用条件：轴向拉压杆，弹性范围内工作。注意使用公式的时，轴力一定要代入其正、负号。50例作图示杆件的轴力图，求应力、应变和杆件总的变形量。f30f20f3550kN60kN40kN30kN1144222060+3350例图示钢杆弹性模量为250GPa，求应变和杆件总的变形量。f30f20f3550kN60kN40kN30kN1144222060+331m1m1m0.4m50例图示钢杆弹性模量为250GPa，求应变和杆件总的变形量。f30f20f3550kN60kN40kN30kN1144222060+331m1m1m0.4m例：

P1=30kN，P2=10kN,AC段的横截面面积

AAC=500mm2,CD段的横截面面积ACD=200mm2，弹性模量E=200GPa。试求：

（1）各段杆横截面上的内力和应力；（2）杆件内最大正应力；（3）杆件的总变形。

解：(1)、计算支反力(2)、计算各段杆件横截面上的轴力AB段：

FNAB=RA=－20kNBD段：

FNBD=P2=10kN(3)、画出轴力图(4)、计算各段应力AB段：

BC段：CD段：

(5)、计算杆件内最大应力（6）计算杆件的总变形整个杆件伸长0.015mm。=0.015mm例题

图示一等直钢杆，材料的弹性模量E＝210GPa。试计算：(1)每段的伸长；(2)每段的线应变；(3)全杆总伸长。（a）（b）5kN10kN10kN5kN2m2m2m5kN5kN5kN轴力图ABCD10mm解：（1）求出各段轴力，并作轴力图（图b）。（2）AB段的伸长ΔlAB

。BC

段的伸长：AB

段的伸长：CD段的伸长：（3）AB段的线应变εABBC段的线应变：CD段的线应变：（4）全杆总伸长：5.拉伸和压缩时材料的力学性能

一、试验条件：常温静载。二、试验准备：1、试件——国家标准试件。拉伸试件——两端粗，中间细的等直杆。压缩试件——很短的圆柱型：h=(1.5——3.0)dhdLd圆形截面：L=10d;L=5d。矩形截面：L=11.3;L=5.65低碳钢拉伸试验低碳钢拉伸试验1、拉伸图：（F-ΔL曲线）。2、应力——应变图：（σ-ε曲线）。△LFεσ低碳钢拉伸时的四个阶段⑴、弹性阶段:ob。其中oa为直线段；ab为微弯曲线段。σp——为比例极限；σe——为弹性极限。⑵、屈服阶段:bc。σs——屈服极限（屈服段内最低的应力值）。⑶、强化阶段：ce。σb

——强度极限（拉伸过程中最高的应力值）。σpεσσeσsoabcefσbd⑷、局部变形阶段（颈缩阶段）：ef。在此阶段内试件的某一横截面发生明显的变形，至到试件断裂。材料屈服时，在光滑试样表面可以观察到与轴线成的纹线，称为滑移线。

(b)试样变形集中到某一局部区域，由于该区域横截面的收缩，形成了图示的“颈缩”现象,最后在“颈缩”处被拉断。断口剪断！1.延伸率2.断面收缩率d≥5%—塑性材料d＜5%—脆性材料塑性指标Oσε应力-应变（σ-ε）图l1----试件拉断后的长度A1----试件拉断后断口处的最小横截面面积冷作硬化现象冷作硬化在强化阶段卸载后，如重新加载曲线将沿卸载曲线上升。如对试件预先加载，使其达到强化阶段，然后卸载；当再加载时试件的线弹性阶段将增加，而其塑性降低。----称为冷作硬化现象123OseA0.2%Ss0.24102030e(%)0100200300400500600700800900s(MPa)1、锰钢2、硬铝3、退火球墨铸铁4、低碳钢特点：d较大，为塑性材料。

Ⅱ、其它金属材料拉伸时的力学性能无明显屈服阶段的，规定以塑性应变es=0.2%所对应的应力作为名义屈服极限，记作s0.2

Ⅲ、测定灰铸铁拉伸机械性能

sbOPDL强度极限：Pb①

sb—拉伸强度极限，脆性材料唯一的拉伸力学性能指标。②

应力应变不成比例，无屈服、颈缩现象，变形很小且sb很低。拉断！无明显的直线段；无屈服阶段；无颈缩现象；延伸率很小。Ⅳ.金属材料压缩时的力学性能比例极限sp，屈服极限ss，弹性模量E基本与拉伸时相同。1.低碳钢压缩实验：s(MPa)200400e0.10.2O低碳钢压缩应力应变曲线低碳钢拉伸应力应变曲线seOsb灰铸铁的拉伸曲线sc灰铸铁的压缩曲线

sc>sb，铸铁抗压性能远远大于抗拉性能，断裂面为与轴向大致成45o～55o的滑移面破坏。2.铸铁压缩实验：塑性材料和脆性材料的主要区别：塑性材料的主要特点：塑性指标较高，抗拉断和承受冲击能力较好，其强度指标主要是σs，且拉压时具有同值。脆性材料的主要特点：塑性指标较低，抗拉能力远远低于抗压能力，其强度指标只有σb和σc

。*塑性材料和脆性材料力学性能比较塑性材料脆性材料断裂前有很大塑性变形断裂前变形很小抗压能力与抗拉能力相近抗压能力远大于抗拉能力延伸率δ

>5%延伸率δ

<5%可承受冲击载荷，适合于锻压和冷加工适合于做基础构件或外壳材料的塑性和脆性会因为制造方法工艺条件的改变而改变。温度、加载速率均会影响材料的力学性能。6.轴向拉伸和压缩时的强度计算一安全系数和许用应力极限应力（或危险应力）：不允许超过的应力值。

安全系数：一个大于1的数常用安全系数的范围:1.2-9许用应力：构件工作应力所不允许超过的数值。1强度校核2截面设计3载荷计算二强度条件例题

起重吊钩的上端借螺母固定，若吊钩螺栓内径材料许用应力试校核螺栓部分的强度。

解：计算螺栓内径处的面积吊钩螺栓部分安全。例题

图示一托架，AC是圆钢杆，许用拉应力，BC是方木杆，

试选定钢杆直径d？解：（1）轴力分析。为研究对象。取结点7.拉伸和压缩静不定问题未知力数量超过静力学平衡方程的问题1静不定问题:(3)物理本构关系2静不定问题的解法：(1)平衡关系(2)变形几何关系yxN3N2N1ααPΣy=0,N1cosα-N2cosα-N3-P=0(2)

Δl1

=Δl2

=Δl3cosα

--变形协调条件PlααA132A1Δl1Δl2Δl31静力学平衡关系Σx=0,N1sinα-N2sinα=0(1)2变形几何关系Σy=0,N1cosα-N2cosα-N3-P=0(2)

Σx=0,N1sinα-N2sinα=0(1)

解出:3物理关系8.应力集中的概念

应力集中程度与外形的骤变程度直接相关，骤变越剧烈，应力集中程度越剧烈。静载下，塑性材料可不考虑，脆性材料（除特殊的，如铸铁）应考虑。动载下，塑性和脆性材料均需考虑。因杆件截面形状突然变化而产生的应力局部增大现象，称为应力集中。理论应力集中系数:其中：----最大局部应力----名义应力（平均应力）在静荷载作用下，应力集中对于塑性材料的强度没有什么影响。这是因为当应力集中处最大应力σmax到达屈服极限时，材料将发生塑性变形，应力不再增加。当外力继续增加时，处在弹性变形的其他部分的应力继续增大，直至整个截面上的应力都达到屈服极限时，杆件才达到极限状态。由于材料的塑性具有缓和应力集中的作用，应力集中对塑性材料的强度影响就很小。而脆性材料由于没有屈服阶段，应力集中处的最大应力σmax随荷载的增加而一直上升。当σmax达到σb时，杆件就会在应力集中处产生裂纹，随后在该处裂开而破坏。PΔLP利用能量守恒原理：U（应变能）=W（外力所做的功）单位体积内的应变能----应变能密度u对拉杆进行逐步加载（认为无动能变化）9.拉(压)杆的应变能PlΔl作业1-1(d)、(e)1-61-91-191-24、1-25、1-26、1-27§2-2

轴向拉压杆的内力和内力图一、外力和内力的概念2.内力：物体内部各粒子之间的相互作用力。附加内力：由外力作用而引起的物体内部各粒子之间相互作用力的改变量（材料力学中的内力）。1.外力：一个物体对另一个物体的相互作用力(荷载、支反力)。第二章轴向拉压应力与材料的力学性能解：x坐标向右为正，坐标原点在自由端。取左侧x

段为对象，内力FN(x)为：[例2]图示杆长为L，受分布力q=kx

作用，方向如图，试画出杆的轴力图。Lq(x)FN（x）xq(x)FNxO–x第二章轴向拉压应力与材料的力学性能材料力学性质：材料在外力作用下，强度和变形方面所表现出的性能。5.拉伸和压缩时材料的力学性能

I、低碳钢(C≤0.3%)拉伸实验及力学性能Oσεσeσpσsσb线弹性阶段屈服阶段强化阶段颈缩阶段应力-应变（σ-ε）图σp----比例极限σe----弹性极限σs----屈服极限σb----强度极限例

图示结构中①杆是直径为32mm的圆杆，②杆为2×No.5槽钢。材料均为Q235钢，E=210GPa。求该拖架的许用荷载[F]。1.8m2.4mCABF①②F解：1、计算各杆上的轴力2、按AB杆进行强度计算3、按BC杆进行强度计算4、确定许用荷载温度应力和装配应力温度应力:静不定结构,因温度变化而引起的应力.装配应力:静不定结构,因构件加工误差而引起的应力.1静力学关系

Σx=0RA=RB2物理关系

3几何关系

RB=αΔTEA

Δl=ΔlTBAlΔlT

=ΔlRARBQ235α=12.5×10-6,E=200GPaσT=αΔTE=2.5ΔTΔT=1000CσT=250MPaΔT=400CσT=100MPa

解出:N2N1N3Pyx图示结构,杆1,杆2面积为A杆3面积为2A,材料相同(即E相同),在P力作用时,杆1,杆2温升ΔT.杆3不变.此时梁已与3杆接触,即间隙δ已消除.试求杆1,杆2的内力.解:1静力学关系

ΣMA=0,N1a-N2a=0(1)

ΣY=0,N1+N2+N3-P=0(2)2变形几何关系

Δl1-Δl3=δ3物理关系δlllCDAB123lPd解:(1)200C时,环内应力有多大.铜环环内直径不变,即铜环环向应变为0.铜环加热到600时,恰好套在T=200C的钢轴上,钢轴受套环的压力作用所引起的变形不计.已知E1=200GPa,α1=12.5×10-6(0C).铜E2=100GPa,α2

=16×10-6(0C-1).

求:(1)200C时,环内应力有多大.

(2)00C时,环内应力有多大.

(3)共同加热到多少0C.环内应力为0.(2)00C时,环内应力有多大.铜环与钢轴的径向应变均为铜环由600C到00C是,内径改变量为钢轴由200C到00C是,直径改变量为铜环的环向应变为