第四章 图像变换

图像变换傅立叶变换图像FFTDCT变换点运算

用途：改变亮度，对比度等代数运算

是图像之间点对点的运算几何运算

涉及到空间位置变化，和灰度插值点运算线性灰度变换（线性点运算）非线性灰度变换（非线性点运算）分段线性灰度变换（分段线性点运算）MATLAB中文论坛http:///forum.php第三章小结

基本运算matlab实现

Imadd(A,B)对图像进行加法运算J=imnoise(I,‘gaussian’,m,v)

m:均值v：方差imresize(A,m,method)J=imrotate(A,m,method);默认最邻近差值法进行插值，默认旋转出界的部分不被截出C:\ProgramFiles\MATLAB\R2007a\toolbox\images\imdemosMatlab软件图片库消除背景影响cleara=imread('rice.png');subplot(1,3,1);imshow(a);background=imopen(a,strel('disk',15));在a上进行形态学运算；IM2=imopen(IM,NHOOD)使用结构元素strel(NHOOD)进行开运算，这里的NHOOD是一个指定结构元素邻域的由0和1组成的数组。strel('disk',15)：创建一个半径为15个像素的盘状的结构元素。

ap=imsubtract(a,background);subplot(1,3,2);imshow(background);subplot(1,3,3);imshow(ap);图像裁剪I1=imcrop(I)I可以是灰度图像、真彩色图像或逻辑阵列。返回一个裁剪后的图像为I1，和I类型相同。I1=imcrop(I,[xmin

yminwidthheight])对单次剪裁而言：xmin

ymin是剪裁的起始坐标，也就是剪裁后图的左上角顶点，所以用xmin

ymin表示，是剪裁后图的最小坐标。I=imread('cameraman.jpg');I1=imcrop(I,[80605050]);figure;subplot(121);imshow(I);subplot(122);imshow(I1);图像裁剪动画I=imread('cameraman.jpg');n=50;m=50;figure;imshow(I);fori=1:50n=n-1;m=m+1;I1=imcrop(I,[n,n,m,m]);figure;imshow(I1);end图像旋转clearall;I=imread('cameraman.jpg');figure;subplot(131);imshow(I);I1=imrotate(I,30,'crop');subplot(132);imshow(I1);I2=imrotate(I,30);subplot(133);imshow(I2);使用imrotate函数旋转图像，制作动画效果I=imread('cameraman.jpg');fori=1:25I1=imrotate(I,15*i,'crop');figure;imshow(I1);end第四章图像变换4.1引言4.2数字图像的傅立叶变换4.3数字图像的离散余弦变换图像傅里叶变换的意义我们四周无时不被变化着色彩的光和变化着音调的声音等在周期变化着的现象包围着。频率是最基本的感觉之一。4.1引言

空间域表示法变换域表示法空间域处理法（或称空域法）频域法（或称变换域法）图像表示法图像处理法像素的二维阵列（矩阵）傅里叶变换-把图像看成一组正弦、余弦谐波合成

1、图像变换：把图像从空间域转换到变换域。方法：对图象信息进行变换，使能量保持但重新分配。

2、图像变换的意义：在变换域实现图像处理，用于图像去噪、图像压缩、特征提取和图像识别。如图象增强：低通滤波，平滑噪声；高通滤波，锐化边缘。空间域->变换域->处理->逆变换->空间域

一般来说，图像的边缘和噪声对应Fourier变换中的高频部分，所以低通滤波能够平滑图像、去除噪声。图像灰度发生聚变的部分与频谱的高频分量对应，所以采用高频滤波器衰减或抑制低频分量，能够对图像进行锐化处理。所谓频域，就是由图像f(x,y)的二维傅立叶变换和相应的频率变量(u,v)的值所组成的空间。在空间域图像强度的变化模式（或规律）可以直接在该空间得到反应。F(0,0)是频域中的原点，反应图像的平均灰度级，即图像中的直流成分；低频反映图像灰度发生缓慢变化的部分；而高频对应图像中灰度发生更快速变化的部分，如边缘、噪声等。但频域不能反应图像的空间信息。★图像变换应用原理图像空间域数据图像频率域数据处理后的频率域数据最终图像正变换处理反变换4.2数字图像的傅里叶变换图像可看作线性叠加系统图像变换是一维数字信号处理的推广一维信号：任何波形=基波加权和图像：image=基图像加权和

在数字图像处理中应用傅立叶变换，需要解决两个问题：在数学中进行傅立叶变换的f(x)为连续（模拟）信号，而计算机处理的是数字信号（图像数据）；数学上采用无穷大概念，而计算机只能进行有限次计算。通常，将受这种限制的傅立叶变换称为离散傅立叶变换（DiscreteFourierTransform，DFT)。设{f(x)|f(0),f(1),f(2),…,f(N-1)}为一维信号f(x)的N个抽样，其离散傅立叶变换对为式中：x，u=0，1，2，…,N－1。

N为阶数(order)

考虑两个变量，将一维离散傅立叶变换推广到二维。二维离散傅立叶变换对定义为

式中：u,x=0,1,2,…,M-1；v,y=0,1,2,…,N-1；x,y为时域变量，u,v为频域变量。二维离散函数的傅立叶频谱、相位谱和能量谱分别为

式中，R(u,v)和I(u,v)分别是F(u,v)的实部和虚部。

离散傅立叶变换的性质

二维离散傅立叶变换的性质

1.可分离性

由可分离性可知，一个二维傅立叶变换可分解为两步进行，其中每一步都是一个一维傅立叶变换。先对f(x,y)按行进行傅立叶变换得到F(x,v)，再对F(x,v)按列进行傅立叶变换，便可得到f(x,y)的傅立叶变换结果。显然，对f(x,y)先按列进行离散傅立叶变换，再按行进行离散傅立叶变换也是可行的。

用两次一维DFT计算二维DFT

用两次一维DFT计算二维DFT

DFT取的区间是[0,N-1]，在这个区间内频谱是由两个背靠背的半周期组成的，要显示一个完整的周期，必须将变换的原点移至u=N/2点。

将f(x,y)与一个指数项相乘就相当于把其变换后的频域中心移动到新的位置。类似地，将F(u，v)与一个指数项相乘就相当于把其反变换后的空域中心移动到新的位置。2.平移性质对f(x，y)旋转对应于将其傅里叶变换F(u，v)也旋转。3.旋转不变性卷积定理如果f(x)的傅立叶变换是F(u)，并且g(x)的傅立叶变换是G(u)，那么即f(x)*g(x)的傅立叶变换是F(u)G(u)

一个类似的结果是，在频域中的卷积归结为在x域中的乘积，即

以上两个结论称为卷积定理。空域中的卷积等价于频域中的相乘，可借助此特性来计算空域中的卷积。卷积是空间域滤波和频率域滤波之间的纽带。直流成分DFT的原点，即F(0,0)被设置在u=M/2和v=N/2上。(0,0)点的变换值为：即f(x,y)的平均值。如果是一幅图像，在原点的傅里叶变换F(0,0)等于图像的平均灰度级，也称作频率谱的直流成分。DFT变换进行图像处理时有如下特点：（1）直流成分为F(0,0)。（2）幅度谱|F(u,v)|对称于原点。（3）图像f(x,y)平移后，幅度谱不发生变化，仅有相位发生了变化。离散函数的傅里叶变换数字图像的二维离散傅里叶变换所得结果的频率成分的分布示意图如图所示。即变换结果的左上、右上、左下、右下四个角的周围对应于低频成分，中央部位对应于高频成分。为使直流成分出现在变换结果数组的中央，可采用图示的换位方法。（a）原始图像(b)中心化前的频谱图(c)中心化后的频谱图图像频谱的中心化

图像的傅立叶变换原图像

幅度谱相位谱

对于一幅图像，图像中灰度变化比较缓慢的区域可以用较低频谱的正弦信号近似，而灰度变化比较大的边缘地带则要用高频正弦信号近似。一幅图像中大部分都是灰度变化缓慢的区域，只有一小部分是边缘，因此，其变换域的图像，能量主要集中在低频部分（对应幅值较高），只有一小部分能量集中在高频部分（对应幅值较低）。图像傅立叶变换从幅度谱中我们

可以看出明亮线

反映出原始图像

的灰度级变化，

这正是图像的轮

廓边图像傅立叶变换从幅度谱中我们

可以看出明亮线

和原始图像中对

应的轮廓线是垂

直的。如果原始

图像中有圆形区

域那么幅度谱中

也呈圆形分布图像傅立叶变换图像中的颗粒状对

应的幅度谱呈环状，

但即使只有一颗颗

粒，其幅度谱的模

式还是这样。图像傅立叶变换这些图像没有特定

的结构，左上角到

右下角有一条斜线，

它可能是由帽子和

头发之间的边线产

生的两个图像都存在一

些小边界例

实际图像的傅里叶频谱

下图给出两幅实际图像和他们的傅里叶频谱图。图(a)的图像反差比较柔和，反映在傅里叶频谱上低频分量较多，频谱图中心值较大（中心为频域原点）。图(b)的图象中有较规则的线状物，反映在傅里叶频谱上也有比较明显的射线状条带。

(a)(b)★ＭＡＴＬＡＢ中图像的FFT注意：为了能看出细节，显示时一般用log|F（u，v）|或log（1+k|F（u，v）|）！fft2()fftshift()ifftshift()ifft2()频域变换MatLab实现例：傅立叶正反变换I=imread('lena.jpg');J=fft2(I);K=ifft2(J);subplot(2,2,1);imshow(I);subplot(2,2,2);imshow(log(abs(J)),[]);subplot(2,2,3);imshow(log(abs(fftshift(J))),[]);subplot(2,2,4);imshow(uint8(abs(K)));原始图像频谱（无平移）频谱（平移）逆变换图像DFT的应用-图像频谱显示

【例】频谱图像二维显示clfI=imread('demo.jpg');imshow(I,[]);

结果1clfI=imread('demo.jpg');I1=fftshift(fft2(I));imshow(abs(I1),[]),colormap(jet(256)),colorbar

%在坐标轴中显示颜色标尺

用colormap来定义图像显示用的颜色查找表，比如用colormap(pink)，可以把黑白图像显示成带粉红色的图像.结果2clfI=imread('demo.jpg');I1=fftshift(fft2(I));imshow(log(1+10*abs(I1)),[])colormap(jet(256)),colorbarabs:求绝对值或者复数的模

DFT的应用-图像频谱显示

【例】频谱图像三维显示I=zeros(256,256);构造原始图像I(28:228,108:148)=1;imshow(I);求原始图像的傅里叶频谱J=fft2(I);F=abs(J);J1=fftshift(F);figureimshow(J1,[550]);构造原始图像I=zeros(256,256);I(28:228,108:148)=1;J=imrotate(I,315,‘bilinear’,‘crop’);旋转figureimshow(J);J1=fft2(J);求旋转后傅里叶频谱F=abs(J1);J2=fftshift(F);figureimshow(J2,[550])验证二维离散傅立叶变换的旋转性a）原始图像（b）原图像的傅里叶频谱（c）旋转后的图像（d）旋转后图像的傅里叶频谱上例表明，对旋转一个角度对应于将其傅里叶变换也旋转相同的角度。

真彩图及其傅里叶变换谱I=imread('lena

color.jpg');figure(1);subplot(131);imshow(I);B=rgb2gray(I);subplot(132);imshow(B);s=fftshift(fft2(B));subplot(133);imshow(log(abs(s)),[]);将一幅图加入高斯噪声，得出一个有颗粒噪声的图，并求其中心移到零点的频谱图I=imread('lena.jpg');J=imnoise(I,'gaussian',0,0.01);figure;imshow(J);P=fftshift(fft2(J));figure;imshow(log(abs(P)),[8,10]);图像如果存在明显的颗粒噪声，变换后的高频幅值数值增加，分布增多。由此得出，图像灰度变化缓慢的区域，对应它变换后的低频分量部分：图像灰度呈阶跃变换的区域，对应变换后的高频分量部分。除颗粒噪声外，图像细节的边缘，轮廓处都是灰度变化突变区域。它们都具有变换后的高频分量特征。DFT总结：

可以将傅里叶变换比作一个玻璃棱镜。棱镜是可以将光分解为不同颜色的物理仪器，每个成分的颜色由波长（或频率）来决定。傅里叶变换可以看作是数学上的棱镜，将函数基于频率分解为不同的成分。当我们考虑光时,讨论它的光谱或频率谱。同样,傅立叶变换使我们能通过频率成分来分析一个函数。

图像的频率是表征图像中灰度变化剧烈程度的指标，是灰度在平面空间上的梯度。

数学意义上看，傅立叶变换是将一个函数转换为一系列周期函数来处理的。从效果看，傅立叶变换是将图像从空间域转换到频率域，其逆变换是将图像从频率域转换到空间域。换句话说，傅立叶变换是将图像的灰度分布函数变换为图像的频率分布函数，傅立叶逆变换是将图像的频率分布函数变换为灰度分布函数。Fourier变换有两个好处：1）可以得出信号在各个频率点上的强度。2）可以将卷积运算化为乘积运算。1.傅立叶变换在图像滤波中的应用

Fourier变换后的图像，中间部分为低频部分，越靠外边频率越高。因此，可以在Fourier变换图中，选择所需要的高频或是低频滤波。傅立叶变换在图象处理中的应用傅里叶变换在图像处理中的应用(a)有栅格影响的原始图像

(b)傅里叶变换频谱图(c)去除高频成分(d)傅里叶反变换结果图像的平坦区域，占有图像的低频（中心）位置，对于栅格部分，可以认为是一种正弦波，对应频率在频谱图上出现较高的值，即原点两侧的亮点，把正弦波信号去除后，再求傅里叶逆变换，就会达到去除噪声的目的。(a)原始图像(b)原始图像的频谱(c)增强纵轴上的某一谱段的强度

(d)傅里叶逆变换的结果同样，对一幅图像频谱的纵向中心轴上增加一个谱段上的强度时就会有横向的波纹出现2.

傅立叶变换在卷积中的应用

傅立叶变换在卷积中的应用图像显示常用lg(|F(u,v)|)显示其傅立叶谱，目的是更好的显示高频，利于对图像频谱的视觉理解Matlab实现函数fft2(X)fftshift(F)ifft2(F)4.3数字图像的离散余弦变换傅立叶变换计算的对象是复数，计算速度慢，但功能强大为了提高计算速度，提出了计算对象是实数的变换，如离散余弦变换（DCT）余弦变换应用广泛图像压缩编码(JPEG)语音信号处理。。。离散余弦变换DCTDCT是先将整体图像分成N*N像素块，然后对N*N像素块逐一进行DCT变换。特性：对一幅典型图像来说，其大部分可视化信息集中在少数DCT系数上。基于这个特性，DCT常被用于图像压缩，如目前的国际压缩标准的JPEG格式中就用到了DCT变换。应用MATLAB实现图像的DCT变换。解：MATLAB程序如下：

A=imread('pout.tif'); %