第7章立体几何 第6节空间直角坐标系、空间向量及其运算(理)

第七章立体几何第六节空间直角坐标系、空间向量及其运算(理)

主干回顾·夯实基础一、空间向量的有关概念名称定义空间向量在空间中，具有_____和_____的量叫做空间向量，其大小叫做向量的_____或___单位向量长度或模为___的向量零向量______的向量大小方向长度模1模为0名称定义相等向量方向_____且模相等的向量相反向量方向______且模相等的向量共线向量表示空间向量的有向线段所在的直线_________或_____，则这些向量叫做共线向量或平行向量，a平行于b记作a∥b共面向量平行于__________的向量，叫做共面向量相同相反互相平行重合同一平面二、共线向量、共面向量定理和空间向量基本定理1．共线向量定理对空间任意两个向量a，b(b≠0)，a∥b的充要条件是存在实数λ，使得_________.a＝λb1

3．空间向量基本定理如果三个向量a，b，c不共面，那么对空间任一向量p，存在有序实数组{x，y，z}，使得p＝xa＋yb＋zc.其中{a，b，c}叫做空间的一个基底，a，b，c都叫做基向量．三、空间向量的数量积1．定义已知空间两个非零向量a，b，则______________叫做向量a，b的数量积，记作____，即_______________________．其中〈a，b〉为向量a，b的夹角．2．运算律(1)交换律：____________；(2)分配律：____________________；(3)结合律：______________________________．a·b＝b·aa·(b＋c)＝a·b＋a·cλ(a·b)＝(λa)·b＝a·(λb)(λ∈R)|a||b|cos〈a，b〉a·ba·b＝|a||b|cos〈a，b〉四、空间向量的坐标运算a＝(a1，a2，a3)，b＝(b1，b2，b3)(a，b为非零向量)向量和a＋b＝_________________________向量差a－b＝_________________________数量积a·b＝______________________共线a∥b⇒_______________________________(λ∈R)(a1＋b1，a2＋b2，a3＋b3)(a1－b1，a2－b2，a3－b3)a1b1＋a2b2＋a3b3a1＝λb1，a2＝λb2，a3＝λb3a1b1＋a2b2＋a3b3＝01．判断下面结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)空间向量是由平面向量拓展而来的，因此空间向量的概念和性质与平面向量的概念和性质相同或相似．(

)(2)空间中任意两非零向量a，b共面．(

)(3)在立体几何中求线段的长度时，可转化为a·a＝|a|2，或利用空间两点间的距离公式求解．(

)(4)向量a，a＋b，a－b可构成空间的一个基底．(

)(5)空间的基底是任意的，但只要基底确定，空间任一向量则都可由基底唯一确定．(

)[答案及提示](1)√

(2)√

(3)√(4)×向量a，a＋b，a－b共面，故不能作为基底．(5)√考点技法·全面突破空间向量的线性运算(☆☆☆)1．空间向量的线性运算类似于平面向量的线性运算．2．用已知向量表示未知向量时，要正确理解向量加法、减法与数乘的几何意义，同时一定要结合图形，灵活运用三角形法则或平行四边形法则进行求解．[典例1]

已知E、F、G、H分别是空间四边形ABCD的边AB、BC、CD、DA的中点，共线向量、共面向量定理的应用(☆☆☆)[典例2]

如图，四棱柱ABCDA1B1C1D1的各个侧面均为平行四边形，底面ABCD是边长为1的正方形，AA1＝2，∠A1AB＝∠A1AD＝120°.(1)求线段AC1的长；(2)求异面直线AC1与A1D所成角的余弦值；(3)求证：AA1⊥BD.空间向量的数量积及其应用(☆☆☆☆)学科素能·增分宝典易错易误系列之(十八)对向量夹角的定义认识不清致误

[温馨提示]

用定义计算两向量的数量积时，要正确确定两向量夹角的大小，特别是在与二面角结合的问题中，一定要分清向量的夹角与二面角大小的关系．[针对训练]