第三章 平面任意力系(Y)

第三章平面任意力系一、平面任意力系的简化二、简化结果的分析三、平面任意力系的平衡条件四、平面平行力系的平衡方程五、静定与静不定问题六、物体系的平衡平面任意力系实例平面任意力系实例一、平面任意力系向作用面内一点的简化

1、力的平移定理AFBdF′F′′AF′BM=F.d=MB(F)作用于刚体上A点的力F可以平行移到任一点B，但必须同时附加一个力偶，这个附加力偶的矩等于原来的力F对新作用点B的矩。MAFBd2、平面任意力系向作用面内一点的简化——主矢和主矩O——简化中心平面任意力系向作用面内任一点O简化，可得一个力和一个力偶，这个力等于该力系的主矢，作用线通过简化中心。这个力偶的矩等于力系对于点O的主矩。——主矢(矢量)主矢——平面任意力系中所有各力的矢量和。主矩——平面任意力系中所有各力对简化中心之矩的代数和。——主矩(代数量)若选取不同的简化中心，对主矢、主矩有无影响？如何求出主矢、主矩?主矢大小方向作用于简化中心上的主矩二、平面任意力系的简化结果分析（1）（2）（3）（4）——不平衡——平衡1、平面任意力系简化为一个力偶的情形因为力偶对于平面内任意一点的矩都相同，因此当力系合成为一个力偶时，主矩与简化中心的选择无关。2、平面任意力系简化为一个合力的情形（1）平面任意力系简化为一个合力，合力作用线过简化中心。（2）′O′FROFROO′dFRFR′′dFR′OMoO′平面任意力系简化为一个合力，合力作用线通过简化中心的另一侧，合力的作用线到简化中心的距离d。（3）3、平面任意力系简化为一个合力和一个力偶的情形平面任意力系的合力FR

对作用面内任一点之矩等于力系中各力对同一点之矩的代数和。=F1F2F3O=4、合力矩定理定理的应用：（1）当力臂不好确定时，将该力分解后求力矩；（2）求分布力的合力作用线位置。F1F2F3F4OABCxy2m3m30°60°已知：在长方形平板的O，A，B，C点上分别作用着有四个力：F1=1kN，F2=2kN，F3=F4=3kN。

试求：以上四个力构成的力系对O点的简化结果，以及该力系的最后合成结果。解：求向O点简化结果1、求主矢建立如图坐标系Oxy。2、求主矩MOFROABCxyMOd由于主矢和主矩都不为零，所以最后合成结果是一个合力FR。如右图所示。主矢的方向：合力FR到O点的距离F1F2F3F4OABCxy2m3m30°60°三、平面任意力系的平衡条件和平衡方程平面任意力系平衡的充要条件是：力系的主矢和对任意点的主矩都等于零。

所有各力在两个任选的坐标轴上的投影的代数和分别等于零，以及各力对于任意一点矩的代数和也等于零。平面任意力系的平衡方程平面任意力系平衡方程的三种形式一般式二矩式A、B

两点的连线，不得与投影轴x垂直平面任意力系对任意点的主矩等于零。合力的作用线通过AB两点的连线。力与x轴垂直时，力在轴上的投影为零——不平蘅三矩式A、B、C三点不共线平面任意力系对任意点的主矩等于零。合力的作用线通过AB两点的连线。A、B、C三点共线时，合力的作用线通过AB两点的连线。四、平面平行力系的平衡方程平面平行力系的方程为两个，有两种形式各力不得与投影轴垂直A，B两点连线不得与各力平行

已知：M=Pa

求：A、B

处约束反力。xy解法1:（1）取刚架为研究对象（2）画受力图（3）建立坐标系,列方程求解0=+BAyFF解法2解法3解：取AB梁为研究对象已知：

求：固定端的反力。FDECBAaaaMPFAFB已知:

求：三杆对三角平板ABC的约束反力。

解：取三角形板ABC为研究对象FCPACaaaMBFAFBFCPACaaaMBFAFBFCPACaaaMBPADEBCrFBxFByFAPADEBCaara已知:

a=4m，r=1m，P=12kN

求：A、B

处的反力。解：取整体为研究对象D1m2m1mABCFq解：取梁ABCD为研究对象已知：F=2kN，q=1kN/m

求：

A、B支座反力。FNAFNBPFTEPADBrFAxFAyFB45°已知：a=4m，r=1m，P=12kN

求：A、B

处的反力。解：取整体梁为研究对象ABq3m1mM1mDαP已知：P=100kN

，F=400kN

，M=20kN·m

，q=20kN/m求：支座A的约束力AB3m1mM1mDαP1m解：分布力的合力作用位置如图AB3m1mM1mDαP1mP=100kN

，F=400kN

，

M=20kN·m

，q=20kN/m对ABD杆列平衡方程已知：起重机重G1=10kN，可绕铅直轴AB转动；起重机的挂钩上挂一重为G2=40kN的重物。起重机的重心C

到转动轴的距离为1.5m，其它尺寸如图所示。求：在止推轴承A和轴承B处的约束力。ABCxy3.5m1.5m5mG1G2ABCxy3.5m1.5m5mG1G2FBFAyFAx解：

1.取起重机为研究对象。ABCxy3.5m1.5m5mG1G22.受力分析如图所示。3.列写平衡方程。FBFAyFAx（1）满载时，其限制条件是：FNA≥0P2P1ABPbealFNBFNA求：欲使起重机满载和空载时均不翻倒，平衡锤的重量。解：取起重机为研究对象满载时，为不安全状况已知：起重机自重为P，平衡锤重量为P2，载重量为P1。（2）空载时，其限制条件是：FNB≥0P2P1ABPbealFNBFNA因此，P2必须满足：空载时，为不安全状况五、物体系的平衡·静定和静不定问题静定体系：未知量数目等于独立平衡方程数目超静定体系：未知量数目多于独立平衡方程数目PABCFAFBFCPABFBFAD1m2m1mABCFqEPAQCBDE求：A、C

的约束反力和DC杆内力。解:

(1)取杆DH和圆盘为研究对象（2）取图示部分为研究对象已知:

a=2m，q=3kN/m

求：支座A、D的反力。qABFByFBx解：（1）取AB部分为研究对象FAyFAxqABCDaaaqABCDFAyFAxFDyFDx（2）取整体为研究对象qABCDaaaABCPαDrE

已知：绳索BC水平,AB＝l

。

求：绳索的拉力T。解：

(1)取球为研究对象PDEFEFD

(2)取AB杆为研究对象ABCPαDrE已知：OA=R,AB=l,当OA水平时，冲压力为F时，不计物体自重与摩擦,系统在图示位置平衡;求:力偶矩M的大小，轴承O处的约束力，连杆AB受力，冲头给导轨的侧压力。解:取冲头B,画受力图.取轮,画受力图.已知:F=20kN,q=10kN/m,l=1m;求:A,B处的约束力.解:取CD梁,画受力图.FB=45.77kNABCDqllllFMCBDqFCxFCyFFB取整体,画受力图.BCDAqllllFMAFAyFBMFAxABCDqllllFM已知：齿轮传动机构如图所示。齿轮Ⅰ的半径为r，自重P1。

齿轮Ⅱ的半径为R=2r，其上固定一半径为r的塔轮Ⅲ，轮Ⅱ与Ⅲ共重为P2=2P1。齿轮压力角为α=20°被提升的物体C重为P=20P1。求：（1）保持物C匀速上升时，作用于轮上力偶的矩M；（2）光滑轴承A，B的约束力。ABrrRMCⅠⅡⅢPP1P2CBKPFBxFByFFnP2解:取塔轮及重物C,画受力图.CBKPFBxFByFFnP2取轮I，画受力图。ABrrRMCⅠⅡⅢPP1P2AKMP1FAxFAy已知:DC=CE=CA=CB=2l,R=2r=l,P,各构件自重不计。求:A,E支座处约束力及BD杆受力。解:(1)取整体,画受力图。DⅡKCABEⅠPRrDⅡKCABEⅠFAPFExFEyDⅡKCABEⅠFAPFExFEy整体受力分析(2)取DCE杆,画受力图.(拉)DⅡKCABEⅠFAPFExFEyECKDTFEyFEx已知：q,a,M,P作用于销钉B上；求：固定端A

处的约束力和销钉B对BC杆,

销钉B

对AB

杆的作用力。解:(1)取CD杆，画受力图。(2)取BC杆（不含销钉B)，画受力图。(3)取销钉B

，画受力图。(4)取AB杆（不含销钉B），画受力图。已知：

P,

a,各杆重不计；求：B铰处约束反力。解:(1)取整体，画受力图aBCDAGEFaaaFCxFCyFBxFByaBCDAGEFaaa(2)取DEG杆，画受力图FDGEFEBaBCDAGEFaaaFCxFCyFBxFBy(2)取ADB杆，画受力图aBCDAGEFaaaFCxFCyFBxFByBDAFDyFDxFBxFByFAxFAyFDGEFEB已知：a,b,P,各杆重不计，C,E处光滑；求证：

AB杆始终受压，且大小为P。解:(1)取整体，画受力图。(2)取BC，画受力图。(3)取销钉A，画受力图对销钉A(4)取ADC杆，画受力图。已知：荷载与尺寸如图；求：每根杆所受力。解:(1)取整体，画受力图。取节点Ｃ取节点Ｄ取节点Ｅ取节点A(2)求各杆内力求：１，２，３杆所受力。解：求支座约束力从1，2，3杆处截取左边部分已知：P1,P2,P3,尺寸如图。取节点Ｄ若再求４,５杆受力EqaaaaaABCDFAyFAxFB求：A、B

的约束反力和BC

杆内力。CDqFDxFDy解：(1)取整体为研究对象(2)取曲杆CD为研究对象FC500NDCEFDxFDyFExFEy500N500NAHDCGEB2m2m2m2m2m2mFAxFAyFB求：D、E

的约束反力。解：(1)取CDE为研究对象(2)取整体为研究对象PPABCDaaaa2a2aPFBxFByFCyFCxBCFAyPFAxAB求：A、D的约束反力。解：(1)取BC杆为研究对象(2)取AB杆为研究对象代入（3）式解得：CDPPABCDaaaa2a2aPFBxFByFCyFCxBCFAyPFAxAB(3)取CD杆为研究对象FDxFDyMDFAyPFAxABPPABCFCyFCxFAxFAyPPABCDa