【优化方案】高考数学总复习 第2章第9课时函数与方程精品课件 文 新人教A

第9课时函数与方程第9课时函数与方程考点探究·挑战高考考向瞭望·把脉高考温故夯基·面对高考温故夯基·面对高考1．函数的零点(1)函数零点的定义对于函数y＝f(x)(x∈D)，把使_______成立的实数x叫做函数y＝f(x)(x∈D)的零点．(2)几个等价关系方程f(x)＝0有实数根⇔函数y＝f(x)的图象与_____有交点⇔函数y＝f(x)有_____．f(x)＝0x轴零点思考感悟1．是否任意函数都有零点？提示：并非任意函数都有零点，只有f(x)＝0有根的函数y＝f(x)才有零点．(3)函数零点的判定(零点存在性定理)如果函数y＝f(x)在区间[a，b]上的图象是连续不断的一条曲线，并且有_________，那么函数y＝f(x)在区间______内有零点，即存在c∈(a，b)，使得______，这个__也就是f(x)＝0的根．f(a)·f(b)<0(a，b)f(c)＝0c思考感悟2．在上面的条件下，(a，b)内的零点有几个？提示：在上面的条件下，(a，b)内的零点至少有一个c，还可能有其他零点，个数不确定．2．二次函数y＝ax2＋bx＋c(a＞0)的图象与零点的关系Δ＞0Δ＝0Δ＜0二次函数y＝ax2＋bx＋c(a＞0)的图象与x轴的交点_____,____(x1,0)或(x2,0)无交点零点个数两个一个零个(x1,0)(x2,0)3.二分法的定义对于在区间[a，b]上连续不断且_________的函数y＝f(x)，通过不断地把函数f(x)的零点所在的区间_________，使区间的两个端点逐步逼近_____，进而得到零点近似值的方法叫做二分法．f(a)·f(b)<0一分为二零点考点探究·挑战高考函数零点的求解与判断考点一考点突破判断函数y＝f(x)在某个区间上是否存在零点，常用以下方法：(1)解方程：当对应方程易解时,可通过解方程，看方程是否有根落在给定区间上；(2)利用函数零点的存在性定理进行判断；(3)通过画函数图象，观察图象与x轴在给定区间上是否有交点来判断．例1【思路分析】借助函数零点存在性定理和函数在[－1,1]上的单调性来判断．【规律律小结结】方程的的根或或函数数零点点的存存在性性问题题，可可以根根据区区间端端点处处的函函数值值的正正负来来确定定，但但要确确定零零点的的个数数还需需进一一步研研究函函数在在区间间上的的单调调性，，在给给定的的区间间上，，如果果函数数是单单调的的，它它至多多有一一个零零点，，如果果不是是单调调的，，可继继续细细分出出小的的单调调区间间，再再结合合这些些小的的区间间的端端点处处函数数值的的正负负，作作出正正确判判断．．互动探究1若例1中x的范围改为为R，试回答原原来问题．．二分法求方程的近似解考点二用二分法求求函数零点点近似值的的步骤，可可借助于计计算器一步步步地求解解，也可以以借助于表表格或数轴轴逐步缩小小零点所在在的区间，，而运算终终止的条件件是区间长长度小于精精确度ε.例2用二分法求求函数f(x)＝x3－x－1在区间[1,1.5]内的一个零零点．(精确度0.1)【思路分析析】依据二分法法求函数f(x)的零点近似似值的步骤骤．【解】由由于f(1)＝1－1－1＝－1<0，f(1.5)＝3.375－1.5－1＝0.875>0，∴f(x)在区间[1,1.5]上存在零点点．取区间间(1，1.5)作为计算的的初始区间间，用二分分法逐次计计算列表如如下：中点的值中点函数值符号零点所在区间区间长度(1,1.5)0.51.25f(1.25)<0(1.25,1.5)0.251.375f(1.375)>0(1.25,1.375)0.1251.3125f(1.3125)<0(1.3125,1.375)0.0625∵|1.375－1.3125|＝0.0625<0.1，∴函数的零点点落在区间间长度小于于0.1的区间[1.3125，1.375]内，故函数数零点的近近似值为1.3125.【方方法法指指导导】】求函函数数零零点点近近似似值值的的关关键键是是判判断断区区间间长长度度是是否否小小于于精精确确度度ε，当当区区间间长长度度小小于于精精确确度度ε时，，运运算算即即告告结结束束，，此此时时区区间间内内的的任任何何一一个个值值均均符符合合要要求求，，而而我我们们通通常常取取区区间间的的一一个个端端点点值值作作为为近近似似解解．．函数零点的综合应用考点三函数数零零点点的的应应用用主主要要体体现现了了函函数数与与方方程程的的思思想想,函数数与与方方程程虽虽然然是是两两个个不不同同的的概概念念，，但但它它们们之之间间有有着着密密切切的的联联系系，，方方程程f(x)＝0的解解就就是是函函数数y＝f(x)的图图象象与与x轴的的交交点点的的横横坐坐标标，，函函数数y＝f(x)也可可以以看看作作二二元元方方程程f(x)－y＝0，然然后后通通过过方方程程进进行行研研究究．．许许多多有有关关方方程程的的问问题题可可以以用用函函数数的的方方法法解解决决，，反反之之，，许许多多函函数数问问题题也也可可以以用用方方程程的的方方法法来来解解决决，，函函数数与与方方程程的的思思想想是是中中学学数数学学的的基基本本思思想想．．例3(2011年江江门门质质检检)已知知f(x)＝x2＋(a2－1)x＋(a－2)的一一个个零零点点比比1大，，一一个个零零点点比比1小，，求求实实数数a的取取值值范范围围．．【思思路路分分析析】】可把把函函数数转转化化为为方方程程，，其其方方程程的的两两根根满满足足x1<1，x2>1，利用(x1－1)(x2－1)<0求解；也可利利用图象求解解．【解】】法法一：：设方方程x2＋(a2－1)x＋(a－2)＝0的两根根分别别为x1，x2(x1<x2)，则(x1－1)(x2－1)<0，∴x1x2－(x1＋x2)＋1<0，由根与系系数的关关系，得(a－2)＋(a2－1)＋1<0，即a2＋a－2<0，∴－2<a<1.法二：函函数图象象大致如如图，则则有f(1)<0，即1＋(a2－1)＋a－2<0，∴－2<a<1.【方法指指导】此类方程程根的分分布问题题通常有有两种解解法：一一是方程程思想，，利用根根与系数数的关系系；二是是函数思思想，构构造二次次函数利利用其图图象分析析，从而而求解．．互动探究究2若例3中函数不不变，后后面的内内容改为为：一个个零点在在0与1之间，另另一个零零点在1与2之间，求求实数a的范围，，应如何何求解？？解：函数图象大致如图：方法感悟方法技巧巧1．函数零零点的判判定常用用的方法法有：(1)零点存在在性定理理；(2)数形结合合；(3)解方程f(x)＝0.2．研究方程f(x)＝g(x)的解，实质就就是研究G(x)＝f(x)－g(x)的零点．3．二分法是是求方程的的根的近似似值的一种种计算方法法．其实质质是通过不不断地“取中点”来逐步缩小小零点所在在的范围，，当达到一一定的精确确度要求时时，所得区区间内的任任一点均是是这个函数数零点的近近似值．失误防范1．把握函数数的零点应应注意的问问题(1)函数的零点点是一个实实数，当函函数的自变变量取这个个实数时，，其函数值值等于零．．(2)函数的零点点也就是函函数y＝f(x)的图象与x轴的交点的的横坐标．．(3)一般我们只只讨论函数数的实数零零点．(4)函数的零点点不是点，，是方程f(x)＝0的根．2．对函数零零点存在的的判断中，，必须强调调：(1)f(x)在[a，b]上连续；(2)f(a)·f(b)<0；(3)在(a，b)内存在零点点．事实上，这这是零点存存在的一个个充分条件件，但不必必要．考向瞭望·把脉高考考情分析从近几年的的广东高考考试题来看看，函数的的零点、方方程根的问问题是高考考的热点，，特别新课课改的省份份更是新点点，题型既既有选择题题、填空题题，又有解解答题．客客观题主要要考查相应应函数的图图象与性质质；主观题题考查较为为综合，在在考查函数数的零点、、方程程根根的的基基础础上上，，又又注注重重考考查查函函数数方方程程、、转转化化与与化化归归、、分分类类讨讨论论、、数数形形结结合合的的思思想想方方法法．．预测测2012年广广东东高高考考仍仍将将以以函函数数的的零零点点、、方方程程根根的的存存在在问问题题为为主主要要考考点点，，重重点点考考查查相相应应函函数数的的图图象象与与性性质质．．真题透析例(2010年高高考考天天津津卷卷)函数数f(x)＝2x＋3x的零零点点所所在在的的一一个个区区间间是是()A．(－2，－－1)B．(－1,0)C．(0,1)D．(1,2)【解解析析】】∵f′(x)＝2∴f(x)＝2x＋3x在R上是增函数．而f(－2)＝2－2－6<0，f(－1)＝2－1－3<0，f(0)＝20＝1>0，f(1)＝2＋3＝5>0，f(2)＝22＋6＝10>0，∴f(－1)··f(0)<0.故函函数数f(x)在区区间间(－1,0)上有有零零点点．．【答答案案】】B【名名师师点点评评】】本题题考考查查零零点点所所在在区区间间的的判判断断，，其其方方法法是是利利用用零零点点存存在在性性定定理理，，试试题题难难度度不不大大，，本本题题f(x)变为为ex＋x－2时，，零零点点所所在在区区间间是是哪哪个个?名师预测1．