平面向量的概念【新教材】人教A版高中数学必修同步讲义（Word）

第六章平面向量及其应用平面向量的概念【课程标准】通过对力、速度、位移等物理量的分析，了解平面向量的实际背景，理解平面向量的意义和两个向量相等的含义理解平面向量的几何表示和基本要素【知识要点归纳】1．向量的概念及表示概念：既有大小又有方向的量．2.有向线段①定义：具有方向的线段．②三个要素：起点、方向、长度．③表示：在有向线段的终点处画上箭头表示它的方向．以A为起点、B为终点的有向线段记作．④长度：线段AB的长度也叫做有向线段的长度，记作.注意：(1)判断一个量是否为向量，就要看它是否具备大小和方向两个因素．(2)用有向线段表示向量时，要注意的方向是由点A指向点B，点A是向量的起点，点B是向量的终点．3．向量的有关概念(1)向量的模(长度)：向量的大小，称为向量的长度(或称模)，记作．(2)零向量：长度为0的向量，记作0.(3)单位向量：长度等于1个单位长度的向量．4．两个向量间的关系(1)平行向量：方向相同或相反的非零向量，也叫做共线向量．若a，b是平行向量，记作a∥b.规定：零向量与任意向量平行，即对任意向量a，都有0∥a．(2)相等向量：长度相等且方向相同的向量，若a，b是相等向量，记作a＝b.注意：(1)平行向量也称为共线向量，两个概念没有区别．(2)共线向量所在直线可以平行，与平面几何中的共线不同．(3)平行向量可以共线，与平面几何中的直线平行不同．5.向量的表示【经典例题】例题1.判断下列命题是否正确，请说明理由：(1)若向量a与b同向，且|a|>|b|，则a>b；(2)若向量|a|＝|b|，则a与b的长度相等且方向相同或相反；(3)对于任意向量|a|＝|b|，若a与b的方向相同，则a＝b；(4)由于0方向不确定，故0不与任意向量平行；(5)向量a与向量b平行，则向量a与b方向相同或相反．【答案】（1）不正确（2）不正确（3）正确（4）不正确（5）不正确【解析】(1)不正确．因为向量由两个因素来确定，即大小和方向，所以两个向量不能比较大小．(2)不正确．由|a|＝|b|只能判断两向量长度相等，不能确定它们的方向关系．(3)正确．因为|a|＝|b|，且a与b同向，由两向量相等的条件，可得a＝b.(4)不正确．依据规定：0与任意向量平行．(5)不正确．因为向量a与向量b若有一个是零向量，则其方向不定．例题2：某人从A点出发向东走了5米到达B点，然后改变方向沿东北方向走了102米到达C点，到达C点后又改变方向向西走了10米到达D点．(1)作出向量，，；(2)求的模．【解析】(1)作出向量，，，如图所示：(2)由题意得，△BCD是直角三角形，其中∠BDC＝90°，BC＝102米，CD＝10米，所以BD＝10米．△ABD是直角三角形，其中∠ABD＝90°，AB＝5米，BD＝10米，所以AD＝52＋102＝55(米)，所以||＝55米.例题3.如图所示，O是正六边形ABCDEF的中心，且＝a，＝b，＝c.(1)与a的长度相等、方向相反的向量有哪些？(2)与a共线的向量有哪些？(3)请一一列出与a，b，c相等的向量．【解析】由图可得，牢牢把控定义【当堂检测】一．选择题（共6小题）1．下列说法正确的是A．零向量没有方向 B．向量就是有向线段 C．只有零向量的模长等于0 D．单位向量都相等2．有下列命题：①两个相等向量，若它们的起点相同，终点也相同；②若，则；③若，则四边形是平行四边形；④若，，则；⑤若，，则；⑥有向线段就是向量，向量就是有向线段．其中，假命题的个数是A．2 B．3 C．4 D．53．下列说法正确的是A．若 B．若 C．若 D．若4．（共线向量的概念）下列命题中，正确的是A．若，则与方向相同或相反 B．若，，则 C．若两个单位向量互相平行，则这两个单位向量相等 D．若，，则5．在四边形中，且，则四边形的形状一定是A．正方形 B．矩形 C．菱形 D．等腰梯形6．给出下列命题：①零向量的长度为零，方向是任意的：②若，都是单位向量，则；③向量与相等，则所有正确命题的序号是A．① B．③ C．①③ D．①②二．多选题（共1小题）7．下列有关向量命题，不正确的是A．若，则 B．已知，且，则 C．若，，则 D．若，则且当堂检测答案一．选择题（共6小题）1．下列说法正确的是A．零向量没有方向 B．向量就是有向线段 C．只有零向量的模长等于0 D．单位向量都相等【分析】根据零向量，单位向量、有向线段的定义即可判断出结论．【解答】解：零向量的方向是任意的，故选项错误；有向线段只是向量的一种表示形式，两者不等同，故选项错误；只有零向量的模长等0，故选项正确；单位向量模长相等，单位向量若方向不同，则不是相等向量，故选项错误．故选：．【点评】本题考查了零向量，单位向量、有向线段的定义，考查了推理能力与概念辨析能力，属于基础题．2．有下列命题：①两个相等向量，若它们的起点相同，终点也相同；②若，则；③若，则四边形是平行四边形；④若，，则；⑤若，，则；⑥有向线段就是向量，向量就是有向线段．其中，假命题的个数是A．2 B．3 C．4 D．5【分析】根据平面向量的基本概念，对选项中的命题判断真假性即可．【解答】解：对于①，两个相等向量时，它们的起点相同，则终点也相同，①正确；对于②，若，则、不一定相同，②错误；对于③，若，、不一定相等，四边形不一定是平行四边形，③错误；对于④，若，，则，④正确；对于⑤，若，，当时，不一定成立，⑤错误；对于⑥，有向线段不是向量，向量可以用有向线段表示，⑥错误；综上，假命题是②③⑤⑥，共4个．故选：．【点评】本题考查了平面向量的基本概念与应用问题，是综合题．3．下列说法正确的是A．若 B．若 C．若 D．若【分析】根据平面向量的基本概念，对选项中的命题分析、判断正误即可．【解答】解：对于，向量是矢量，不能比较大小，错误；对于，向量相等时，模长相等且方向相同，错误；对于，若时，与方向相同，则、共线，正确；对于，若时，也可能与方向相同或相反，即、可能共线，错误．故选：．【点评】本题考查了平面向量的基本概念与应用问题，是基础题．4．（共线向量的概念）下列命题中，正确的是A．若，则与方向相同或相反 B．若，，则 C．若两个单位向量互相平行，则这两个单位向量相等 D．若，，则【分析】本题考查的主要知识点是向量平行（共线）的定义及性质，根据平面向量平行（共线）的定义和性质，对四个答案逐一进行分析，不难得到答案．【解答】解：由于零向量的方向是任意的，取，则对于任意向量，都有，知错；取，则对于任意向量，都有，，但得不到，知错；两个单位向量互相平行，方向可能相反，知错；由两向量相等的概念知正确．故选：．【点评】在判断两个向量的关系时，特别是在判断两个向量的平行（共线）关系，一定要注意两个向量的平行（共线）的定义分为两部分：①与任何向量都平行（共线）②如果两个非零向量的方向相同（或相反），则两个向量平行（共线）．故一定要考虑条件中的向量是否为零向量．5．在四边形中，且，则四边形的形状一定是A．正方形 B．矩形 C．菱形 D．等腰梯形【分析】利用向量的平行四边形法则、菱形的定义即可判断出结论．【解答】解：在四边形中，，可得四边形的形状一定平行四边形，又，因此平行四边形是菱形．故选：．【点评】本题考查了向量的平行四边形法则、菱形的定义，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．6．给出下列命题：①零向量的长度为零，方向是任意的：②若，都是单位向量，则；③向量与相等，则所有正确命题的序号是A．① B．③ C．①③ D．①②【分析】根据零向量和单位向量的定义，易知①正确②错误，由向量的表示方法可知③错误．【解答】解：根据零向量的定义可知①正确；根据单位向量的定义，单位向量的模相等，但方向可不同，故两个单位向量不一定相等，故②错误；与向量互为相反向量，故③错误．故选：．【点评】本题考察了向量的基本概念，熟记定义和向量间的相等与相反的含意义，是解决本题的关键，属基础题．二．多选题（共1小题）7．下列有关向量命题，不正确的是A