复数的三角表示【新教材】2022年人教A版高中数学必修讲义

复数的三角表示复数的三角表示1、了解复数的三角表示式2、掌握复数相等的充要条件探索新知3、理解复数乘、除运算的三角表示及其几何意义探索新知一、复数的三角表示式

记向量的模==r,由图可以得到，

所以，=rcos=r（cos+sin），

其中r=，

cos=，

sin=.

这样，我们就用刻画向量大小的模r和刻画向量方向的角表示复数z.

（1）一般地，任何一个复数z=a+bi,都可以表示为r=（cos+icos）的形式

其中，r是复数z的模；是以x轴的非负半轴为始，向量所在射线（射线OZ)为终边的角，叫做复数z=a+bi的辐角．r(cos+isin)叫做复数z=a+bi的三角表示式，简称三角形式。为了与三角形式区分开来，a+bi叫做复数的代数表示式，简称代数形式。

（2)规定：在0≤<2π范围内的辐角的值为辐角的主值．通常记作argz,即0≤argz<2π.3π例如，,,=π,=二、复数乘、除运算的三角表示及其几何意义概念辨析根据复数的乘法法则以及两角和的正弦、余弦公式，可以得到，

=（cos+isin）·（cos+isin）

=（cos+isin）（cos+isin）

=[(coscos-sinsin)]

=[cos（+）+isin（+）

则

(cos+isin)·(cos+isin)

=[cos(+)+isin(+)]

这就是说，两个复数相乘，积的模等于各复数的模的积，积的辐角等于各复数的辐角的和.

1、复数除法运算的三角表示

设=(cos+isin),=(cos,+isin),且≠.因为

(cos+isin)·[cos(-)+isin(-)]=(cos+isin)，

所以根据复数除法的定义，有，

[cos(-)+isin(-]

这就是说，两个复数相除，商的模等于被除数的模除以除数的模所得的商，商的辐角等于被除数的辐角减去除数的辐角所得的差.

概念辨析思考思考11.已知正六棱锥S-ABCDEF的底面边长为2，高为1．现从该棱锥的7个顶点中随机选取3个点构成三角形，设随机变量X（1）求概率P(X=（2）求X的分布列，并求其数学期望E(X)【答案】（1）解：从7个顶点中随机选取3个点构成三角形，共有C73=35种取法，其中X=3这类三角形共有6个因此P=(（2）解：由题意，X的可能取值为3,2,其中X=3的三角形如ΔABF，这类三角形共有6其中X=2的三角形有两类，，如ΔPAD（3个），ΔPAB（6个），共有9其中X=6的三角形如ΔPBD，这类三角形共有6其中X=23的三角形如ΔCDF，这类三角形共有12其中X=33的三角形如ΔBDF，这类三角形共有2因此P=(P=(所以随机变量的概率分布列为：X3262333P(6359356351235235所求数学期望E(【考点】古典概型及其概率计算公式，离散型随机变量及其分布列，离散型随机变量的期望与方差【解析】（1）先求出共有C73=35种取法，再得到满足X=3的三角形共有6个，即可求出概率P(X=3)的值；

（2）由题意写出思考思考22.已知复数z=（m2﹣8m+15）+（m2﹣9m+18）i在复平面内表示的点为A，实数m取什么值时：（1）z为实数？（2）z为纯虚数？（3）A位于第三象限？【答案】（1）解：∵z为实数，∴m2﹣9m+18=0，解得m=3或6．∴当m=3或6时，z=0，3为实数（2）解：∵z为纯虚数，∴{m2-8m+15=0m2-9m+18≠0∴{m解得3＜m＜5．∴当3＜m＜5时，A位于第三象限【考点】复数的代数表示法及其几何意义思考3【解析】思考33.已知复数z=m（m﹣1）+（m2+2m﹣3）i，当实数m取什么值时，复数z是：（1）零；（2）纯虚数；（3）z=2+5i；（4）表示复数z对应的点在第四象限．【答案】解：（1）由mm-1=0m2+2m-3=0可得m=1；（2）由mm-1=0m2+2m-3≠0可得m=0；（3）由【考点】复数的基本概念【解析】（1）实部与虚部同时为零，求解即可；

（2）实部为0，虚部不为0，复数是纯虚数，求出m即可；

（3）实部为2，虚部为5求解即可得到m的值，使得z=2+5i思考4

（4）表示复数z对应的点在第四象限．实部大于0，虚部小于哦，求出m思考44.将甲、乙两颗骰子先后各抛一次，a、b分别表示抛掷甲、乙两颗骰子所出现的点数.图中三角形阴影部分的三个顶点为(0,0)、(4,0)）和（1）若点Q(a,b)落在如图阴影所表示的平面区域（包括边界）的事件记为A，求事件（2）若点Q(a,b)落在直线x+y=m（m【答案】（1）解：基本事件总数为6×6=36,如图满足在阴影三角形内的有：当a=1时，b=1，2，3当a=2时，b=1，2当a=3时，b=1共有（1，1），（1，2），（1，3），（2，1），（2，2），（3，1）6个点落在条件区域内，∴P（2）解：点Q(a,b)落在x+y=m由x,y∈[1,6]，将直线x+y=m即当m=7时，（1，6），（2，5），（3，4），（4，3），（5，2），（6，1）基本事件最多，共有6此时P=636【考点】二元一次不等式的几何意义，古典概型及其概率计算公式【解析】（1）由题意知，本题是一个古典概型，试验发生包含的基本事件总数为6×6，画出图形，满足条件的事件A可以列举出有6个整点，根据古典概型概率公式得到结果．（2）点Q(a,b)落在x+y=m（m为常数）的直线上，且使此事件的概率最大，只需基本事件最多，由x,y∈[1,6]，画出图形，直线x1.已知复数z满足iz=-2+i，则在复平面内复数zA.

第一象限

B.

第二象限

C.

第三象限

D.

第四象限2.已知复数z=3+4i，z表示复数z的共轭复数，则复数iz的模是（A.

5

B.

25

C.

5

D.

63.欧拉公式为eix=cosx+isinx,(i虚数单位)是由瑞士著名数学家欧拉发现的，它将指数函数的定义域扩大到复数，建立了三角函数和指数函数的关系，它在复变函数论里非常重要，被誉为“数学中的天桥”A.

第一象限

B.

第二象限

C.

第三象限

D.

第四象限4.已知i是虚数单位，复数z满足z(3+4i)=1+i，则zA.

第一象限

B.

第二象限

C.

第三象限

D.

第四象限参考答案1.【答案】D【解析】设z=a+bi（a，b∈R），其共轭复数为：由条件可得：i(a-bi)=