函数的概念(二)同步练习（含答案）

课时2函数的概念(二)1．判断下列说法是否正确(正确的打“√”，错误的打“×”)．(1)对应关系相同的两个函数一定是同一个函数．(×)(2)[a，a－1]表示一个区间．(×)(3)函数的定义域和值域都相同，这两个函数不一定是同一个函数．(√)(4)函数y＝eq\f(k,x)的值域为R.(×)题型1区间的概念2．用区间表示数集{x|2<x≤4}＝__(2,4]__．3．若[a,3a－1]为一确定区间，则a的取值范围是eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，＋∞)).题型2同一个函数4．下列四组函数中表示同一个函数的是(C)A．f(x)＝x，g(x)＝(eq\r(x))2B．f(x)＝x2，g(x)＝(x＋1)2C．f(x)＝eq\r(x2)，g(x)＝|x|D．f(x)＝0，g(x)＝eq\r(x－1)＋eq\r(1－x)解析：因为f(x)＝x(x∈R)与g(x)＝(eq\r(x))2(x≥0)两个函数的定义域不同，所以A中两个函数不表示同一个函数；因为f(x)＝x2，g(x)＝(x＋1)2两个函数的对应关系不一致，所以B中两个函数不表示同一个函数；因为f(x)＝eq\r(x2)＝|x|与g(x)＝|x|，两个函数的定义域均为R，对应关系相同，所以C中两个函数表示同一个函数；f(x)＝0，g(x)＝eq\r(x－1)＋eq\r(1－x)＝0(x＝1)两个函数的定义域不同，所以D中两个函数不表示同一个函数，故选C.5．下列各组函数是同一个函数的是(C)①f(x)＝eq\r(－2x3)与g(x)＝xeq\r(－2x)；②f(x)＝x与g(x)＝eq\r(x2)；③f(x)＝x0与g(x)＝eq\f(1,x0)；④f(x)＝x2－2x－1与g(t)＝t2－2t－1.A．①② B．①③C．③④ D．①④解析：①f(x)＝eq\r(－2x3)＝|x|eq\r(－2x)与g(x)＝xeq\r(－2x)的对应关系和值域不同，故不是同一个函数．②g(x)＝eq\r(x2)＝|x|与f(x)＝x的对应关系和值域不同，故不是同一个函数．③f(x)＝x0与g(x)＝eq\f(1,x0)都可化为y＝1且定义域是{x|x≠0}，故是同一个函数．④f(x)＝x2－2x－1与g(t)＝t2－2t－1的定义域都是R，对应关系也相同，而与用什么字母表示无关，故是同一个函数．由上可知是同一个函数的是③④.6．下列各组函数为同一个函数的是(C)A．f(x)＝x，g(x)＝eq\r(x2)B．f(x)＝1，g(x)＝(x－1)0C．f(x)＝eq\f(\r(x)2,x)，g(x)＝eq\f(x,\r(x)2)D．f(x)＝eq\f(x2－9,x＋3)，g(x)＝x－3解析：A项中，g(x)＝|x|，则f(x)与g(x)的对应关系不同，f(x)与g(x)不是同一个函数；B项中，f(x)的定义域为R，g(x)的定义域为{x|x≠1}，则f(x)与g(x)的定义域不同，f(x)与g(x)不是同一个函数；C项中，f(x)＝1(x>0)，g(x)＝1(x>0)，f(x)与g(x)的定义域和对应关系相同，则f(x)与g(x)是同一个函数；D项中，f(x)＝x－3(x≠－3)，g(x)＝x－3，f(x)与g(x)的定义域不同，则f(x)与g(x)不是同一个函数．7．下列各对函数中是同一个函数的是__②④__.①f(x)＝2x－1与g(x)＝2x－x0；②f(x)＝eq\r(2x＋12)与g(x)＝|2x＋1|；③f(n)＝2n＋2(n∈Z)与g(n)＝2n(n∈Z)；④f(x)＝3x＋2与g(t)＝3t＋2.解析：①函数g(x)＝2x－x0＝2x－1，定义域为{x|x≠0}，两函数的定义域不同，不是同一个函数；②f(x)＝eq\r(2x＋12)＝|2x＋1|与g(x)＝|2x＋1|的定义域和对应关系相同，是同一个函数；③f(n)＝2n＋2(n∈Z)与g(n)＝2n(n∈Z)的对应关系不同，不是同一个函数；④f(x)＝3x＋2与g(t)＝3t＋2的定义域和对应关系相同，是同一个函数．题型3函数的值域8．函数y＝1－eq\f(1,x2－1)的值域为__(－∞，1)∪[2，＋∞)__．解析：因为x2－1≥－1，所以eq\f(1,x2－1)≤－1或eq\f(1,x2－1)>0，所以－eq\f(1,x2－1)≥1或－eq\f(1,x2－1)<0，所以y＝1－eq\f(1,x2－1)≥2或y＝1－eq\f(1,x2－1)<1，故答案为(－∞，1)∪[2，＋∞)．9．函数y＝eq\f(x＋1,x－1)在区间[2,5]上的值域是eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(3,2)，3)).解析：由题意y＝eq\f(x＋1,x－1)＝eq\f(2,x－1)＋1，此函数在区间[2,5]上是减函数，所以有eq\f(3,2)≤y≤3，故函数的值域是eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(3,2)，3)).10．求下列函数的值域：(1)y＝eq\f(3－x,2x－1)；(2)y＝－x2－x＋1(1≤x≤2)．解：(1)y＝－eq\f(1,2)·eq\f(x－3,x－\f(1,2))＝－eq\f(1,2)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(\f(5,2),x－\f(1,2)))).因为eq\f(\f(5,2),x－\f(1,2))≠0，所以y≠－eq\f(1,2)，即函数的值域为eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－∞，－\f(1,2)))∪eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)，＋∞)).(2)y＝－x2－x＋1＝－eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(1,2)))2＋eq\f(5,4).因为1≤x≤2，所以－5≤－eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(1,2)))2＋eq\f(5,4)≤－1，所以函数y＝－x2－x＋1的值域为[－5，－1]．易错点1忽略定义域致错11．下列各组函数中，是同一个函数的是(A)A．f(x)＝|x|，g(x)＝eq\r(2,x2)B．f(x)＝2x，g(x)＝2(x＋1)C．f(x)＝eq\r(－x2)，g(x)＝(eq\r(－x))2D．f(x)＝eq\f(x2＋x,x＋1)，g(x)＝x解析：A中两函数定义域相同，对应关系相同，所以是同一个函数；B中对应关系不同；C中定义域不同；D中定义域不同．[误区警示]两函数为同一个函数只有在定义域、对应关系相同的前提下才成立．易错点2忽视所换元的取值范围致错12．求函数y＝x＋eq\r(x＋1)的值域．解：设t＝eq\r(x＋1)，则x＝t2－1(t≥0)，于是f(t)＝t2－1＋t＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(t＋\f(1,2)))2－eq\f(5,4).又因为t≥0，故f(t)≥－1.所以函数的值域是{y|y≥－1}．[误区警示]二次函数求值域要注意自变量的取值范围．(限时30分钟)一、选择题1．已知函数f(x)＝eq\f(x,2)＋eq\f(1,3)的定义域为[0,1]，则它的值域为(A)A．eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(1,3)，\f(5,6))) B．RC．eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(1,3)，\f(1,2))) D．eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(0，1))2．[2020·辽源期中]下列四个区间能表示数集A＝{x|0≤x<5或x>10}的是(B)A．(0,5)∪(10，＋∞) B．eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，5))∪(10，＋∞)C．eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(0，5))∪[10，＋∞) D．[0,5]∪(10，＋∞)3．已知函数f(x)＝eq\f(2－2x,x＋1)(x>1)，则它的值域为(D)A．(0，＋∞) B．(－∞，0)C．(－1,0) D．(－2,0)解析：f(x)＝eq\f(2－2x,x＋1)＝eq\f(－2x＋1＋4,x＋1)＝－2＋eq\f(4,x＋1)(x>1)，设t＝x＋1(t>2)，易知：y＝eq\f(4,t)∈(0,2)，故f(x)＝－2＋eq\f(4,x＋1)(x>1)的值域为(－2,0)．4．下列各组函数中表示同一个函数的是(D)A．f(x)＝x－1，g(x)＝eq\f(x2,x)－1B．f(x)＝x2，g(x)＝(eq\r(x))4C．f(x)＝eq\f(x2,|x|)，g(x)＝|x|D．f(x)＝eq\f(xx－2,x2)，g(x)＝1－eq\f(2,x)解析：A项中，f(x)的定义域为R，g(x)的定义域为{x|x≠0}，定义域不同，不是同一个函数；B项中，f(x)的定义域为R，g(x)的定义域为{x|x≥0}，定义域不同，不是同一个函数；C项中，f(x)的定义域为{x|x≠0}，g(x)的定义域为R，定义域不同，不是同一个函数；D项中，f(x)＝eq\f(xx－2,x2)＝eq\f(x－2,x)＝1－eq\f(2,x)的定义域为{x|x≠0}，g(x)＝1－eq\f(2,x)的定义域为{x|x≠0}，定义域和对应关系都相同，表示同一个函数．5．(多选题)函数f(x)＝[x]的函数值表示不超过x的最大整数，当－eq\f(1,2)≤x≤eq\f(7,2)时，下列函数中，其值域与f(x)的值域相同的函数为(ABD)A．y＝x，x∈eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(－1，0，1，2，3))B．y＝2x，x∈eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)，0，\f(1,2)，1，\f(3,2)))C．y＝eq\f(1,x)，x∈eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(－1，1，\f(1,2)，\f(1,3)，\f(1,4)))D．y＝x2－1，x∈eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(0，1，\r(2)，\r(3)，2))解析：由题意，可得当x∈eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)，0))时，f(x)＝－1；当x∈[0,1)时，f(x)＝0；当x∈[1,2)时，f(x)＝1；当x∈[2,3)时，f(x)＝2；当x∈eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(3，\f(7,2)))时，f(x)＝3.所以当x∈eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)，\f(7,2)))时，函数f(x)的值域为{－1,0,1,2,3}．对于A选项，y＝x，x∈{－1,0,1,2,3}，该函数的值域为{－1,0,1,2,3}；对于B选项，y＝2x，x∈eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)，0，\f(1,2)，1，\f(3,2)))，该函数的值域为{－1,0,1,2,3}；对于C选项，y＝eq\f(1,x)，x∈eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(－1，1，\f(1,2)，\f(1,3)，\f(1,4)))，该函数的值域为{－1,1,2,3,4}；对于D选项，y＝x2－1，x∈eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(0，1，\r(2)，\r(3)，2))，该函数的值域为{－1,0,1,2,3}．故选ABD.二、填空题6．若函数f(x)的定义域为[2a－1，a＋1]，值域为[a＋3,4a]，则a的取值范围是__(1,2)__．7.[2020·重庆高一月考]函数f(x)＝eq\r(x2－2x)的定义域为__(－∞，0]∪[2，＋∞)__，值域为__[0，＋∞)__．解析：要使函数有意义，则需x2－2x≥0，解得x≥2或x≤0，即定义域为(－∞，0]∪[2，＋∞)．因为f(x)＝eq\r(x2－2x)＝eq\r(x－12－1)，结合函数的定义域可得f(x)≥0，即函数的值域为[0，＋∞)．8.[2020·郑州高一月考]由“不超过x的最大整数”这一关系所确定的函数称为取整函数，通常记为y＝[x]，例如[]＝1，[－]＝－1，则函数y＝2[x]＋1，x∈[－1,3)的值域为__{－1,1,3,5}__．三、解答题9．判断下列各组中的两个函数是否为同一个函数．(1)y1＝eq\f(x＋3x－5,x＋3)，y2＝x－5；(2)y1＝eq\r(x＋1)·e