立体几何解答题精选

立体几何解答题1.（2014天津理 17）如图，在四棱锥 P-ABCD中，PA 底面ABCD，AD AB，AB//DC，AD=DC=AP=2，AB=1，点E为棱PC的中点. P（1）证明 ：BE DC；E（2）求直线 BE与平面PBD所成角的正弦值；D（3）若F为棱PC上一点，满足 BF AC，求二面角F- AB-P的余弦值.

A

CB2.（2014浙江理 20）如图，在四棱锥 A BCDE中，平面 ABC 平面BCDE， CDE BED 90，AB CD 2,DE BE 1,AC 2. A（1）证明：DE 平面ACD;求二面角B AD E的大小.D CE B3.（2015山东理17）如图所示，三棱台 DEF ABC中，AB 2DE，G，H分别为AC，BC的中点.（1）求证： BD∥平面FGH；（2）若CF 平面ABC，AB BC，CF DE，BAC 45，求平面FGH与平面ACFD所成的角（锐角）的大小 .DFECAGHB4.（2015浙江理17）如图所示，在三棱柱ABCABC中，BAC90，ABAC2，AA4，A在底11111面ABC的射影为BC的中点，D为BC的中点.11（1）证明：AD平面ABC；11（2）求二面角A1BDB1的平面角的余弦值.5.（2015重庆理19）如图所示，在三棱锥PABC中，PC平面PABC,PC3，ACBπAB，BC上的点，.D，E分别为线段2且CDDE2，CE2EB2.（1）证明：DE平面PCD；（2）求二面角APDC的余弦值.CEBAD6.（2016北京理17）如图所示，在四棱锥PABCD中，平面PAD平面ABCD，PAPD，PAPD，ABAD，AB1，AD2，ACCD5.P（1）求证：PD平面PAB；（2）求直线PB与平面PCD所成角的正弦值；DA3AM的值；若不B（）在棱PA上是否存在点M，使得BM//平面PCD?若存在，求APC存在，说明理由 .7.（2017全国 3卷理科 19）如图所示，四面体 ABCD中，△ABC是正三角形， △ACD是直角三角形，ABD CBD，AB BD．（1）求证：平面 ACD 平面ABC；（2）过AC的平面交 BD于点E，若平面AEC把四面体ABCD分成体积相等的两部分，求二面角 D–AE–C的余弦值．（天津理）如图所示，在三棱锥PABC中，底面ABC，BAC90点D，E，N分别为棱PA，8.201717.PC，BC的中点，M是线段AD的中点，PAAC4，AB2.（）求证：MN//平面BDE；（）求二面角CEMN的正弦值；123BE所成角的余弦值为7，求线（）已知点H在棱PA上，且直线NH与直线21段AH的长.

PDEMAB N C答案29.（2014天津理17）（本小题满分13分）如图，在四棱锥P-ABCD中，PA^底面ABCD，AD^AB，AB//DC，AD=DC=AP=2，AB=1，点E为棱PC的中点.（1）证明：BE^DC；P（2）求直线BE与平面PBD所成角的正弦值；（3）若F为棱PC上一点，满足BF^AC，E求二面角F-AB-P的余弦值.DCA B31.（2014浙江理 20）（本题满分 15分）如图，在四棱锥 A BCDE中，平面ABC 平面BCDE， CDE BED 90，AB CD 2,DE BE 1,AC 2.2）证明：DE平面ACD;3）求二面角BADE的大小.DE B38.（2015山东理17）如图所示，三棱台 DEF ABC中，AB 2DE，G，H分别为

ACAC，BC的中点.（1）求证： BD∥平面FGH；（2）若CF 平面ABC，AB BC，CF DE，BAC 45，求平面FGH与平面ACFD所成的角（锐角）的大小 .D

FECA GHB38.解析（1）证法一：连接DG，CD，设CDGFO，连接OH．在三棱台DEFABC中，AB2DE，G为AC的中点，可得DF//GC，DFGC，F所以四边形DFCG为平行四边形，D则O为CD的中点．EO又H为BC的中点，所以OH//BD．CG又OH平面FGH，BD平面FGH，A所以BD//平面FGH．HB证法二：在三棱台DEFABC中，由BC2EF，H为BC的中点，可得BH//EF，BHEF，所以四边形BHFE为平行四边形，可得BE//HF．在△ABC中，G为AC的中点，H为BC的中点，所以GH//AB．又GHHFH，所以平面FGH//平面ABED．因为BD平面ABED，所以BD//平面FGH．（2）解法一：设AB2，则CF1．在三棱台DEFABC中，G为AC的中点，由DF1GC，可得四边形DGCF为平行四边形，因此DG//FC．AC2又FC平面ABC，所以DG平面ABC．在△ABC中，由ABBC，BAC45，G是AC中点，所以ABBC，GBGC，因此GB，GC，GD两两垂直．以G为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系Gxyz，所以G0,0,0，B2,0,0，C0,2,0，D0,0,1，可得H2,2,0，F0,2,1，22zF22D故GH,2,0，GF0,2,1．2E设nx,y,z是平面FGH的一个法向量，yxy0CnGH0AG则由，可得z，HnGF02y0B解得平面FGH的一个法向量n1,1,2．x因为GB是平面ACFD的一个法向量，GB2,0,0，所以cosGB,nGBn21GBn22．2所以平面FGH与平面ACFD所成（锐角）的大小为60．解法二：作HMAC于点M，作MNCF于点N，连接NH．由FC平面ABC，得HMFC．DFC，所以HM又FCAC平面ACFD，E因此GFNH，所以MNH即为所求的角．NM1BG2C在△BGC中，MH//BG，MH，AG22H由△GNM∽△GCF，可得MNGM，BFCGF6．由HM平面ACFD，MN平面ACFD，从而MN6得HMMN，因此tanMNHHM3，所以MNH60，MN所以平面FGH与平面ACFD所成（锐角）的大小为60．40.（2015浙江理17）如图所示，在三棱柱ABCABC111中，BAC90，ABAC2，A1A4，A1在底面ABC的射影为BC的中点，D为BC的中点.11（1）证明：AD平面ABC；11（2）求二面角A1BDB1的平面角的余弦值.E11AEAE.40.解析（1）设BC的中点为，连接AE1111ACAE//AD11111又，所以．又11,所以.而所以ADBC.又BCAEE，所以AD平面A1BC．111（2）解法一：作A1FBD，垂足为F，连接B1F，如图（1）所示则AEEB2，A1BA1A4．AEB190.所以AD1DB,1AB1BB1，所以△ABD≌△BBD11.由A1FBD，得B1FBD，因此A1FB1即为二面角A1BDB1的平面角．又DAB90，所以BD32，所以A1FB1F4.13在△AFB中，由余弦定理得，cosA1FB1111．8解法二（向量法）：以CB的中点E为原点，分别以射线EAEB,,EA1为x,y,z轴的正半轴，建立空间直角坐标系Exyz，如图（2）所示．由题意知各点坐标如下：A1(0,0,14)，B(0,2,0)，D(2,0,14)，B1(2,2,14)．因此A1B(0,2,14)，BD(2,2,14)，DB1(0,2,0)．设平面A1BD的法向量为m(x1,y1,z1)，平面B1BD的法向量为n(x2,y2,z2)．mA1B0,2y114z10，可取m(0,7,1)．由即mBD0,2x12y114z10nDB10,2y20，可取n(由nBD即7,0,1)．0,2x22y214z20于是cosm,nmn1．由题意可知，所求二面角的平面角是钝角，mn8故二面角A1BDB1的平面角的余弦值为1．8zC1C1DA1B1A1DBF1FCECABExAyB图（1）图（2）41.（2015重庆理19）如图所示，在三棱锥PABC中，PC平面ABC,PC3，ACBπ.D，E分别为线段AB，BC上的点，且CDDE2，CE2EB2.21）证明：DE平面PCD；2）求二面角APDC的余弦值.PCEBAD41.解析（1）证明：因为PC平面ABC，DE平面ABC，所以PCDE.由CE2，CDDE2得△CDE为等腰直角三角形，故CDDE．又PCCDC，且PC,CD平面PCD，故DE平面PCD．21DCE，如图所示，4过点D作DF垂直CE于F，易知DFFCFE1，又EB1，故FB2．由ACBDFFB2，得DF//AC，BC，2AC3故AC3DF3．以点C为坐标原点，22分别以，，CP的方向分别为轴，y轴，z轴的正方向建立空间直角坐标系CACBxCxyz，C0,0,0，P0,0,3，A3,0,0，2E0,2,0，D1,1,0，ED1,1,0，，1，1,0.DP1,1,3DA2设平面PAD的法向量为n1x1,y1,z1，z则1，n1DA0，PDP0nx1y13z10即1x1y10，令x12，2CFEABy则y11,z11，故可取n12,1,1．Dx由（1）可知DE平面PCD，故平面PCD的法向量n2可取为ED，即n21,1,0.则cosn1,n2n1n23，又二面角A﹣PD﹣C为锐二面角，n1n26所以二面角A﹣PD﹣C的余弦值为3．649.（2016北京理17）如图所示，在四棱锥PABCD中，平面PAD平面ABCD，PAPD，PAPD，ABAD，AB1，AD2，ACCD5.1平面PAB；（）求证：PD（2）求直线PB与平面PCD所成角的正弦值；（3）在棱PA上是否存在点M，使得BM平面PCD?若存在，求AM的值；若不存在，说明理由.APPD ABC49.解析（1）如题中的图所示，平面PAD平面ABCD，平面PAD平面ABCDAD，AB平面ABCD,ABAD，得AB平面PAD，所以PDAB.又因为PDPA,PA平面PAB，AB平面PAB，ABPAA，所以PD平面PAB.PNAMBC

D2）如图所示，设棱AD的中点是O，由题设可得直线OC,OA,OP两两互相垂直，所以可建立如图所示的空间直角坐标系Oxyz.可得O(0,0,0),A(0,1,0),B(1,1,0),C(2,0,0),D(0,1,0),P(0,0,1)，所以PC(2,0,1),DP(0,1,1)，PB(1,1,1).设平面PCD的一个法向量是n(x,y,z)，得nPC2xz0，所以可得n(1,2,2).nDPyz0设直线PB与平面PCD所成角的大小为，nPB11212(1)33可得sin2，nPB12(2)222121213333即直线PB与平面PCD所成角的正弦值是.3（3）设棱PA上存在点M(x,y,z)，使得BM平面PCD，并设AM(0剟1)，得AMAP，AP即(x,y1,z)(0,1,1)(x,y,z)(0,1,).得M(0,1,),BM(1,,).，即由BM平面PCD，平面PCD的一个法向量是n(1,2,2)，得nBM(1,2,2)(1,,)1220，解得1平面PCD，所以BM平面PCD..又BM，且AM14即在棱PA上存在点M使得BM平面PCD.AP4zPMDAyOBCx58.（2017全国3卷理科19）如图所示，四面体ABCD中，△ABC是正三角形，ACD是直角三角形，ABD CBD，AB BD．（1）求证：平面 ACD 平面ABC；2）过AC的平面交BD于点E，若平面AEC把四面体ABCD分成体积相等的两部分，求二面角D–AE–C的余弦值．58．解析⑴如图所示，取AC的中点为O，联结BO，DO.因为△ABC为等边三角形，所以BOAC，ABBC.ABBC由BDBD，得△ABD△CBD，所以ADCD，即△ACD为等腰直角三角形，ABDDBC从而ADC为直角.又O为底边AC中点，所以DOAC.令ABa，则ABACBCBDa，易得ODa3a，OB，22222DOB，即ODOB.所以ODOBBD，从而由勾股定理的逆定理可得2OD ACOD OB由 AC OB O ，所以OD 平面ABC.AC 平面ABCOB 平面ABC又因为OD平面ADC，由面面垂直的判定定理可得平面ADC平面ABC.DCEOBA⑵由题意可知VDACEVBACE，即B，D到平面ACE的距离相等，即点E为BD的中点.以O为坐标原点，OA为x轴正方向，OB为y轴正方向，OD为z轴正方向，设ACa，建立空间直角坐标系，则O0,0,0，Aa,0,0，Da，B0,3a3a20,0,2,0，E0,a,，244易得AEa,3a,a，ADa,0,a，OAa,0,0.244222设平面的法向量为n1=x1,y1,z1，平面AEC的法向量为n2=x2,y2,z2，AEDAEn103,1,3；AEn20，取n20,1,3.则n1，取n1OAn20AD0设二面角DAEC为，易知为锐角，则cosn1n27n1n2.7zDCEOByxA11.（2017天津理17）如图所示，在三棱锥 P ABC中，PA 底面ABC， BAC 90.点D，E，N分别为棱PA，PC，BC的中点，M是线段AD的中点，PA AC 4，AB 2.（1）求证：MN//平面BDE；（2）求二面角 C EM N的正弦值；（3）已知点H在棱PA上，且直线 NH与直线BE所成角的余弦值为