2020年中考数学必考34个考点专题17：等腰、等边三角形问题

第第页共19页VZBAQ+ZBQA+ZB=180°,••・5ZB=180°,・・・ZB=36°.(2019•重庆)如图，在△ABC中，AB=AC,AD丄BC于点D.若ZC=42°，求ZBAD的度数；若点E在边AB上,EF〃AC交AD的延长线于点F.求证：AE=FE.【答案】见解析。【解析】(1)VAB=AC,AD丄BC于点D,・.ZBAD=ZCAD,ZADC=90°,又ZC=42°,.\ZBAD=ZCAD=90°-42°=48°；(2)VAB=AC,AD丄BC于点D,.°.ZBAD=ZCAD,•••EF〃AC,.*.ZF=ZCAD,.°.ZBAD=ZF,・AE=FE.(2019•南岸区)如图，直线AB〃CD,ZACD的平分线CE交AB于点F,ZAFE的平分线交CA延长线于点G.证明：AC=AF；若ZFCD=30°，求ZG的大小.答案】见解析。【解析】(1)证明：TZACD的平分线CE交AB于点F,.•・ZACF=ZDCF,•.•AB〃CD,.\ZAFC=ZDCF,.\ZACF=ZAFC,.•・AC=AF；(2)解：•••ZFCD=30°,AB〃CD,.\ZACD=ZGAF=60°,ZAFC=30°,VZAFE的平分线交CA延长线于点G.・••仙G』GFE#/AFE#X150°=75°,••・ZG=180°-ZGAF-ZAFG=180°-60°-75°=45°.(2019•攀枝花)如图，在△ABC中，CD是AB边上的高，BE是AC边上的中线，且BD=CE.求证:点D在BE的垂直平分线上；ZBEC=3ZABE.【答案】见解析。【解析】(1)连接DE,CD是AB边上的高，・ZADC=ZBDC=90°,BE是AC边上的中线，・・・AE=CE,.・.DE=CE,•BD=CE，.BD=DE，.点D在BE的垂直平分线上；°.°DE=AE,.°.ZA=ZADE,VZADE=ZDBE+ZDEB,BD=DE,.°.ZDBE=ZDEB,.°.ZA=ZADE=2ZABE,VZBEC=ZA+ZABE,.ZBEC=3ZABE.(2019•湖北十堰)如图，△ABC中，AB=AC，以AC为直径的OO交BC于点D,点E为C延长线上1r1一点，且/CDE电ZBAC.(1)求证：DE是OO的切线；ACDE(2ACDE(2)若AB=3BD，CE=2,求OO的半径.【答案】见解析。【解析】本题考查了圆的切线的判定定理、圆周角定理、等腰三角形的性质、三角形相似的判定和性质解题的关键是作出辅助线构造直角三角形或等腰三角形.(1)如图，连接OD，AD，VAC是直径，.•・ZADC=90°,:.AD丄BC,VAB=AC，.•・ZCAD=ZBAD气ZBAC,VZCDE^-ZBAC.AZCDE=ZCAD,VOA=OD,AZCAD=ZADO,VZADO+ZODC=90°,：・/ODC+/CDE=90°:.ZODE=90°又TOD是OO的半径:・DE是OO的切线；(2)解:•:AB=AC,AD丄BC,:.BD=CD,•:AB=3BD,:.AC=3DC,设DC=x,则AC=3x,•••AD=［扎~2x,•:ZCDE=ZCAD,ZDEC=ZAED,：・△CDEs^dae,CE_DCDE即2__x_DE…丽页=丽丘=「=s7kzDE=4一：2,x=^"•AC=3x=14,OCDE•OCDE•OO的半径为7.(2019甘肃武威)如图，在△ABC中，AB=AC，ZBAC=120°，点D在BC边上,OD经过点A和点B且与BC边相交于点E.求证：AC是OD的切线；若CE=2；3,求OD的半径.【答案】见解析。【解析】连接AD,根据等腰三角形的性质得到ZB=ZC=30°,ZBAD=ZB=30°，求得ZADC=60°,根据三角形的内角和得到ZDAC=180°-60°-30°=90°，于是得到AC是OD的切线；连接AE,推出△ADE是等边三角形，得到AE=DE,ZAED=60。，求得ZEAC=ZAED-ZC=30。，得到AE=CE=2】乜，于是得到结论.(1)证明：连接AD，VAB=AC，ZBAC=120°，AZB=ZC=30°，VAD=BD，AZBAD=ZB=30°，AZADC=60°，.\ZDAC=180°-60°-30°=90°，AAC是OD的切线；(2)解：连接AE，VAD=DE，ZADE=60°，A^ADE是等边三角形，AAE=DE，ZAED=60°，AZEAC=ZAED-ZC=30°，.•・ZEAC=ZC,・・・AE=CE=2l'3，AQD的半径AD=2;319・(2019•湖南衡阳)如图，在等边△ABC中,AB=6cm，动点P从点A出发以lcm/s的速度沿AB匀速运动.动点Q同时从点C出发以同样的速度沿BC的延长线方向匀速运动，当点P到达点B时，点P、Q同时停止运动.设运动时间为以t(s).过点P作PE丄AC于E,连接PQ交AC边于D.以CQ、CE为边作平行四边形CQFE．当t为何值时，ABP。为直角三角形；是否存在某一时刻t,使点F在ZABC的平分线上？若存在，求出t的值，若不存在，请说明理由；求DE的长；取线段BC的中点M,连接PM,将ABPM沿直线PM翻折，得MPM,连接AB',当t为何值时,AB，的值最小？并求出最小值.【答案】见解析。【解析】本题属于四边形综合题，考查了等边三角形的性质，平行四边形的判定和性质，翻折变换，全等三角形的判定和性质，解直角三角形等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，学会利用参数构建方程解决问题，属于中考压轴题．("•「△ABC是等边三角形，AZB=60°,・•・当BQ=2BP时，ZBPQ=90°,.°.6+t=2(6-t),・.t=3,:・t=3时，ABP。是直角三角形.(2)存在．理由：如图1中，连接BF交AC于M.•:BF平分ZABC,BA=BC,；.BF丄AC,AM=CM=3cm,•:EF//BQ,.•・ZEFM=ZFBC=*ZABC=30°,:.EF=2EM,.：t=2・(3-寺t),解得t=3.(3)如图2中，作PKHBC交AC于K.•.•△ABC是等边三角形，・：ZB=ZA=60°,•:PK//BC,AZAPK=ZB=60°,AZA=ZAPK=ZAKP=60°,:.△APK是等边三角形，:.PA=PK,:PE丄AK,：・AE=EK,:AP=CQ=PK,ZPKD=ZDCQ,ZPDK=ZQDC,:、△PK