2023年浙江省中考数学第一轮复习卷：10四边形（含解析）

2023年浙江省中考数学第一轮复习卷：10四边形一．选择题（共12小题）1．（2022•衢江区二模）如图，在平行四边形ABCD中，AB＝5，AD＝8，∠BAD的平分线交BC于点E，交DC的延长线于点F．若AE＝6，则△CEF的周长为（）A．13 B．10.5 C．10 D．9.62．（2022•鄞州区校级模拟）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，以AB为边向上作正方形ABDE，以AC为边作正方形ACFG，点E落在GF上，连结CD，DF．若要求出五边形ACDFE的面积，则只要知道（）A．AB的长 B．AC的长 C．△ABC的面积 D．△DEF的面积3．（2022•洞头区模拟）由四个全等的矩形围成了一个大正方形ABCD，如图所示．连结CH，延长EF交CH于点G，作PG⊥CH交AB于点P，若AH＝2DH，则APBPA．97 B．1611 C．32 4．（2022•宁海县校级模拟）将矩形ABCD和矩形CEFG分割成5块图形（如图中①②③④⑤），并把这5块图形重新组合，恰好拼成矩形BEHN，若AM＝1，DE＝4，EF＝3，那么矩形BEHN的面积为（）A．20 B．24 C．30 D．455．（2022•温州校级模拟）如图，菱形ABCD中，过点C作CE⊥BC交BD于点E，若∠BAD＝118°，则∠CEB＝（）A．59° B．62° C．69° D．72°6．（2022•乐清市三模）如图，在正方形ABCD内有一点E，∠AEB＝90°，以CE，DE为邻边作▱CEDF，连结EF，若A，E，F三点共线，且△ADF的面积为10，则CF的长为（）A．2 B．5 C．22 D．7．（2022•嘉兴）如图，在△ABC中，AB＝AC＝8，点E，F，G分别在边AB，BC，AC上，EF∥AC，GF∥AB，则四边形AEFG的周长是（）A．8 B．16 C．24 D．328．（2022•鄞州区模拟）如图，正方形ABCD的边长为22，直线EF经过正方形的中心O，并能绕着O转动，分别交AB、CD边于E、F点，过点B作直线EF的垂线BG，垂足为点G，连接AG，则AGA．2 B．2-1 C．5 D9．（2022•宁波模拟）如图，正方形ABCD的顶点B在直线l上，将直线l向上平移线段AB的长得到直线m，直线m分别交AD，CD于点E，F．若求△DEF的周长，则只需知道（）A．AB的长 B．FE的长 C．DE的长 D．DF的长10．（2022•宁波模拟）两个全等的矩形ABCD和矩形BEFG如图放置，且FG恰好过点C．过点G作MN平行AD交AB，CD于M，N．知道下列哪个式子的值，即可求出图中阴影部分的面积（）A．CF•CD B．CF•CN C．CF•CG D．CF•CB11．（2022•宁波）将两张全等的矩形纸片和另两张全等的正方形纸片按如图方式不重叠地放置在矩形ABCD内，其中矩形纸片和正方形纸片的周长相等．若知道图中阴影部分的面积，则一定能求出（）A．正方形纸片的面积 B．四边形EFGH的面积 C．△BEF的面积 D．△AEH的面积12．（2022•丽水）如图，已知菱形ABCD的边长为4，E是BC的中点，AF平分∠EAD交CD于点F，FG∥AD交AE于点G．若cosB=14，则A．3 B．83 C．2153 二．填空题（共7小题）13．（2022•吴兴区校级二模）七巧板是我国祖先的一项卓越创造，被誉为“东方魔板”．由边长为22的正方形可以制作一副如图1所示的七巧板，现将这副七巧板在拼成如图2所示的造型恰好放入矩形ABCD中（其中点E，F，G，H都在矩形边上），若AB：BC＝7：6，则∠AGF的正切值为14．（2022•永嘉县三模）如图，在正方形ABCD中，BC＝6，点P在正方形内，PF⊥PC，交边AD于点F，ED∥PC，交PF延长线于点E，且PC＝PE，连结AP，AE．若五边形AEDCP的面积为24，则∠AEP的度数为，PC的长为．15．（2022•下城区校级二模）如图，在正方形ABCD中，点E，F分别在BC，AB上，且DE＝DF，AC分别交DE，DF于点M，N．（1）若∠ADF＝∠EDF，则DN：AN的值为．（2）设△DMN和△AFN的面积分别为S1和S2，若S2＝2S1，则tan∠ADF的值为．16．（2022•金东区一模）已知由8个边长为1的正方形组成的L型模板如图放置，其顶点E，F，G，H，I都在矩形ABCD的边上，则矩形ABCD的面积为．17．（2022•长兴县模拟）如图，在矩形ABCD中，AB＝7cm，BC＝2cm，点N在边CD上，CN＝1cm点M是矩形ABCD的边AB上一动点，现将四边形BCNM沿MN折叠，使点B，C分别落在点B′，C′上．边MB′与边CD交于点E，当点M从点A运动到点B的过程中，点E运动的路径长为cm．18．（2022•诸暨市模拟）正方形ABCD的边长为4，点E是射线AD上的一个动点，连结CE，以CE为边往右侧作正方形CEFG，连结DF、DG．（1）当点E在AD延长线上，且DE＝AD时，DG＝．（2）当点E在线段AD上，且△DGF为等腰三角形时，DG＝．19．（2022•温州）如图，在菱形ABCD中，AB＝1，∠BAD＝60°．在其内部作形状、大小都相同的菱形AENH和菱形CGMF，使点E，F，G，H分别在边AB，BC，CD，DA上，点M，N在对角线AC上．若AE＝3BE，则MN的长为．三．解答题（共12小题）20．（2022•鹿城区校级模拟）如图，四边形ABCD是平行四边形，分别以AD，BC为边向外构造等边△ADE和等边△BCF，连接BE，DF，BD．（1）求证：四边形BFDE是平行四边形．（2）若AD与BE交于点G，且AD＝BD，∠DFB＝45°，BG=2，求△21．（2022•吴兴区校级二模）（1）如图1，在等腰Rt△ABC中，∠BAC＝90°，∠MAN＝ɑ，∠MAN绕点A顺时针旋转，它的两边与BC边分别交于M，N两点．①当∠BAM＝∠CAN时，求证：BM＝CN；②如图2，作斜边BC上的高AH，若AB＝1，ɑ＝45°，且CN=13BC时，求（2）如图3，在正方形ABCD中，∠MAN＝45°，∠MAN绕点A顺时针旋转，它的两边分别交BC，CD于点M，N．当点N恰为DC的中点时，求BMDN22．（2022•义乌市模拟）浙教版教材八年级下册第5章“4.2平行四边形及其性质（3）”中有这样一道例题：如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC，BD交于点E，AC⊥BC，若AC＝4，AB＝5，求BD的长．请你完成求解过程．小明的解题过程如下：在平行四边形ABCD中∵AC＝4，AB＝5，∴EA=EC=∵AC⊥BC∴BC=AB∴BE=BC∴BD=2EB=2你认为他的解题过程正确吗？若正确，请再用其他方法求出BD的长；若不正确，请指出错误（从第几步开始错），并求出正确的BD长．23．（2022•婺城区校级模拟）如图1，在矩形ABCD中，AB＝4，P为CD边所在直线上一点（不与点D重合），连结AP，把△ADP沿着AP折叠后得到△AD′P，连结CD′，记DP的长为a．（1）当P为DC的中点时，判断△PD′C的形状，并说明理由．（2）若AD＝3，在点P的运动过程中，满足PD′⊥D′C，试求a的值．（3）若AD＝2，如图2，过点C作CH⊥直线PD′，垂足为点H，连结AH，在点P的运动过程中，是否存在AH＝CD′？若存在，求出相应的a的值；若不存在，请说明理由．24．（2022•金华模拟）方法学习如图1，在边长为1的正方形网格中，连结格点D，N和E，C，DN和EC相交于点P，求tan∠CPN的值．思考：求一个锐角的三角函数值，我们往往需要找出（或构造出）一个直角三角形．观察发现：∠CPN不在直角三角形中，并且顶点不在格点处，我们可以利用网格画平行线等方法解决此类问题，比如连接格点M，N，可得MN∥EC，则∠DNM＝∠CPN，连接DM，那么∠CPN就变换到格点处，并且恰好在Rt△DMN中．可以方便求出tan∠CPN的值为；问题解决（1）如图2，在边长为1的正方形网格中，AN与CM相交于点P，则cos∠CPN的值为；（2）如图3，在边长为1的正方形网格中，AN与CM相交于点P，则sin∠CPA的值为；思维拓展如图4，若干个形状、大小完全相同的菱形组成网格，网格顶点称为格点，已知菱形的较小内角为60度，点A，B，C，D都在格点处，线段AB与CD相交于点P求cos∠CPA的值．25．（2022•常山县模拟）如图，在矩形ABCD中，AE平分∠BAD交射线BC于点E，过点C作CF⊥AE交射线AE于点F，连结BD交AE于点G，连结DF交射线BC于点H．（1）当AB＜AD时，①求证：BE＝CD；②猜想∠BDF的度数，并说明理由．（2）若ABAD=k时，求tan∠CDF26．（2022•衢州）如图，在菱形ABCD中，AB＝5，BD为对角线．点E是边AB延长线上的任意一点，连结DE交BC于点F，BG平分∠CBE交DE于点G．（1）求证：∠DBG＝90°．（2）若BD＝6，DG＝2GE．①求菱形ABCD的面积．②求tan∠BDE的值．（3）若BE＝AB，当∠DAB的大小发生变化时（0°＜∠DAB＜180°），在AE上找一点T，使GT为定值，说明理由并求出ET的值．27．（2022•台州）图1中有四条优美的“螺旋折线”，它们是怎样画出来的呢？如图2，在正方形ABCD各边上分别取点B1，C1，D1，A1，使AB1＝BC1＝CD1＝DA1=45AB，依次连接它们，得到四边形A1B1C1D1；再在四边形A1B1C1D1各边上分别取点B2，C2，D2，A2，使A1B2＝B1C2＝C1D2＝D1A2=45A1B1，依次连接它们，得到四边形A2B2C（1）求证：四边形A1B1C1D1是正方形．（2）求A1（3）请研究螺旋折线BB1B2B3…中相邻线段之间的关系，写出一个正确结论并加以证明．28．（2022•湖州）如图，已知在Rt△ABC中，∠C＝Rt∠，D是AB边上一点，以BD为直径的半圆O与边AC相切，切点为E，过点O作OF⊥BC，垂足为F．（1）求证：OF＝EC；（2）若∠A＝30°，BD＝2，求AD的长．29．（2022•湖州）已知在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，a，b分别表示∠A，∠B的对边，a＞b．记△ABC的面积为S．（1）如图1，分别以AC，CB为边向形外作正方形ACDE和正方形BGFC．记正方形ACDE的面积为S1，正方形BGFC的面积为S2．①若S1＝9，S2＝16，求S的值；②延长EA交GB的延长线于点N，连结FN，交BC于点M，交AB于点H．若FH⊥AB（如图2所示），求证：S2﹣S1＝2S．（2）如图3，分别以AC，CB为边向形外作等边三角形ACD和等边三角形CBE，记等边三角形ACD的面积为S1，等边三角形CBE的面积为S2．以AB为边向上作等边三角形ABF（点C在△ABF内），连结EF，CF．若EF⊥CF，试探索S2﹣S1与S之间的等量关系，并说明理由．30．（2022•杭州）在正方形ABCD中，点M是边AB的中点，点E在线段AM上（不与点A重合），点F在边BC上，且AE＝2BF，连接EF，以EF为边在正方形ABCD内作正方形EFGH．（1）如图1，若AB＝4，当点E与点M重合时，求正方形EFGH的面积．（2）如图2，已知直线HG分别与边AD，BC交于点I，J，射线EH与射线AD交于点K．①求证：EK＝2EH；②设∠AEK＝α，△FGJ和四边形AEHI的面积分别为S1，S2．求证：S2S1=4sin231．（2022•绍兴）如图，在矩形ABCD中，AB＝6，BC＝8，动点E从点A出发，沿边AD，DC向点C运动，A，D关于直线BE的对称点分别为M，N，连结MN．（1）如图，当E在边AD上且DE＝2时，求∠AEM的度数．（2）当N在BC延长线上时，求DE的长，并判断直线MN与直线BD的位置关系，说明理由．（3）当直线MN恰好经过点C时，求DE的长．

2023年浙江省中考数学第一轮复习卷：10四边形参考答案与试题解析一．选择题（共12小题）1．（2022•衢江区二模）如图，在平行四边形ABCD中，AB＝5，AD＝8，∠BAD的平分线交BC于点E，交DC的延长线于点F．若AE＝6，则△CEF的周长为（）A．13 B．10.5 C．10 D．9.6【解答】解：∵在▱ABCD中，CD＝AB＝5，BC＝AD＝8，∠BAD的平分线交BC于点E，∴AB∥DC，∠BAF＝∠DAF，∴∠BAF＝∠F，∴∠DAF＝∠F，∴DF＝AD＝8，同理BE＝AB＝5，∴CF＝DF﹣CD＝8﹣5＝3，∵AE＝6，∴△ABE的周长等于5+5+6＝16，∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB∥CF，∴△CEF∽△BEA，相似比为3：5，∴△CEF的周长为9.6，故选：D．2．（2022•鄞州区校级模拟）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，以AB为边向上作正方形ABDE，以AC为边作正方形ACFG，点E落在GF上，连结CD，DF．若要求出五边形ACDFE的面积，则只要知道（）A．AB的长 B．AC的长 C．△ABC的面积 D．△DEF的面积【解答】解：∵四边形ABDE是正方形，∴AB＝AE，∠BAE＝90°，∵四边形ACFG是正方形，∴CF＝AG＝AC，∠ACF＝∠CAG＝90°，∴∠CAB＝∠EAG，在△ABC和△AEG中，AC=∴△ABC≌△AEG（SAS），∴S△ABC＝S△AEG，过点D作DH⊥BF于点H，则∠DBH＝∠BAC，∠DHB＝∠ACB＝90°，BD＝BA，∴△ABC≌△BDH（AAS），∴BC＝DH，∴S△DCF=12CF•DH=12AC•AB＝∴五边形ACDFE的面积＝S△DCF+S正方形ACFG﹣S△AEG＝S正方形ACFG，故只要知道AC的长即可求出五边形ACDFE的面积．故选：B．3．（2022•洞头区模拟）由四个全等的矩形围成了一个大正方形ABCD，如图所示．连结CH，延长EF交CH于点G，作PG⊥CH交AB于点P，若AH＝2DH，则APBPA．97 B．1611 C．32 【解答】解：设DH＝x，则AK＝FH＝x，AH＝BK＝FK＝2x，CD＝3x，∵PG⊥CH，∴∠FGP+∠HGF＝90°，∵∠HGF+∠FHG＝90°，∴∠FGP＝∠FHG，由矩形的性质可得CD∥FH，∴∠DCH＝∠FHG，∴∠DCH＝∠FHG＝∠FGP，∵tan∠DCH=DH∴tan∠FHG=FG解得FG=13∴KG＝KF+FG＝2x+13x=∴tan∠FGP=1解得KP=7∴AP＝AK+KP＝x+79BP＝BK﹣KP＝2x-79∴APBP故选：B．4．（2022•宁海县校级模拟）将矩形ABCD和矩形CEFG分割成5块图形（如图中①②③④⑤），并把这5块图形重新组合，恰好拼成矩形BEHN，若AM＝1，DE＝4，EF＝3，那么矩形BEHN的面积为（）A．20 B．24 C．30 D．45【解答】解：∵NA＝EF＝3，AM＝1，∴CB＝MN＝NA+AM＝4，∵IB＝DE＝4，∴IB＝CB，∴四边形ABCD、四边形BEHN、四边形CEFG都是矩形，∴∠EBN＝∠ABC＝90°，∴∠JBI＝∠EBC＝90°﹣∠ABE，∵∠BIJ＝∠D＝90°，∠BCE＝90°，∴∠BIJ＝∠BCE，在△BIJ和△BCE中，∠BIJ∴△BIJ≌△BCE（ASA），∴IJ＝CE，∵IA＝CE，∴AB＝IB+IA＝4+CE，∵IJ∥AN，∴△BIJ∽△BAN，∴IJNA∴CE3∴CE＝2或CE＝﹣6（不符合题意，舍去），∴AB＝4+4＝8，∴S矩形BEHN＝S矩形ABCD+S矩形CEFG＝8×3+3×2＝30，∴矩形BEHN的面积为30，故选：C．5．（2022•温州校级模拟）如图，菱形ABCD中，过点C作CE⊥BC交BD于点E，若∠BAD＝118°，则∠CEB＝（）A．59° B．62° C．69° D．72°【解答】解：∵四边形ABCD是菱形，∴AB＝AD，∠ABD＝∠CBE，∴∠ABD＝∠ADB，∵∠BAD＝118°，∴∠ABD=180°-118°2∴∠CBE＝31°，∵CE⊥BC，∴∠BCE＝90°，∴∠CEB＝90°﹣31°＝59°．故选：A．6．（2022•乐清市三模）如图，在正方形ABCD内有一点E，∠AEB＝90°，以CE，DE为邻边作▱CEDF，连结EF，若A，E，F三点共线，且△ADF的面积为10，则CF的长为（）A．2 B．5 C．22 D．【解答】解：设EF、CD的交点为G，过E作EH⊥AD交于H，∵四边形ECFD是平行四边形，∴DG＝CG=12设正方形的边长为2x，则AD＝AB＝CD＝2x，DG＝CG＝x，在Rt△ADG中，AG=5x∵∠AEB＝90°，∴∠BAE+∠DAE＝90°，∵∠ABE+∠BAE＝90°，∴∠BAE＝∠DAE，∴△ABE∽△GAD，∴ABAG=AE∴AE=25∴EG=35∴EGAG∴S△设S△ADG＝5m，则S△DEG＝3m，∵G点是CD的中点，∴S△ECG＝S△DEG＝3m，∴S△DEC＝6m，∵S△DEC＝S△CDF＝6m，∴S▱ECFD＝12m，∴S△EDF＝6m，∴S△ADF＝6m+2m＝8m，∵S△ADF＝10，∴8m＝10，∴m=5∴S△ADG＝5m=254=∴x=5∴AD＝5，EA=5∵S△ADE=12×5×∴HE＝1，在Rt△AHE中，AH＝2，∴HD＝3，在Rt△HED中，ED=10故选：D．7．（2022•嘉兴）如图，在△ABC中，AB＝AC＝8，点E，F，G分别在边AB，BC，AC上，EF∥AC，GF∥AB，则四边形AEFG的周长是（）A．8 B．16 C．24 D．32【解答】解：∵EF∥AC，GF∥AB，∴四边形AEFG是平行四边形，∠B＝∠GFC，∠C＝∠EFB，∵AB＝AC，∴∠B＝∠C，∴∠B＝∠EFB，∠GFC＝∠C，∴EB＝EF，FG＝GC，∵四边形AEFG的周长＝AE+EF+FG+AG，∴四边形AEFG的周长＝AE+EB+GC+AG＝AB+AC，∵AB＝AC＝8，∴四边形AEFG的周长＝AB+AC＝8+8＝16，故选：B．8．（2022•鄞州区模拟）如图，正方形ABCD的边长为22，直线EF经过正方形的中心O，并能绕着O转动，分别交AB、CD边于E、F点，过点B作直线EF的垂线BG，垂足为点G，连接AG，则AGA．2 B．2-1 C．5 D【解答】解：连接AC、BD，交于点O，由题意可知，EF经过点O，取OB中点M，连接MA，MG，∵四边形ABCD是正方形，∴AC⊥BD，AO＝OB，∵AB＝22，∴OA＝OB＝2．∴OM＝1．∴AM=O在Rt△BOG中，M是OB的中点，∴GM=12OB＝∵AG≥AM﹣MG=5-当A，M，G三点共线时，AG最小=5-故选：D．9．（2022•宁波模拟）如图，正方形ABCD的顶点B在直线l上，将直线l向上平移线段AB的长得到直线m，直线m分别交AD，CD于点E，F．若求△DEF的周长，则只需知道（）A．AB的长 B．FE的长 C．DE的长 D．DF的长【解答】解：过B作BH⊥m于H，连接BE，BF，∵直线l向上平移线段AB的长得到直线m，∴AH＝AB，而∠A＝∠BHE＝90°，EB＝EB，∴Rt△AEB≌Rt△HEB（HL），∴AE＝EH，同理Rt△FCB≌Rt△FHB（HL），∴HF＝CF，∴△DEF的周长为：DE+EF+DF＝DE+EH+HF+DF＝DE+AE+DF+CF＝AD+CD＝2AB．∴求△DEF的周长，则只需知道AB的长．故选：A．10．（2022•宁波模拟）两个全等的矩形ABCD和矩形BEFG如图放置，且FG恰好过点C．过点G作MN平行AD交AB，CD于M，N．知道下列哪个式子的值，即可求出图中阴影部分的面积（）A．CF•CD B．CF•CN C．CF•CG D．CF•CB【解答】解：作CH⊥BE于点H，由已知条件和图形可知：S△CHG+S△BMG＝S△CGB＝S△BCH，∵矩形ABCD和矩形BEFG全等，∴图中阴影部分的面积与矩形CHEF的面积一样，CH＝CD，∴当知道CF•CD的值时，即可得到CF•CH的值，故选：A．11．（2022•宁波）将两张全等的矩形纸片和另两张全等的正方形纸片按如图方式不重叠地放置在矩形ABCD内，其中矩形纸片和正方形纸片的周长相等．若知道图中阴影部分的面积，则一定能求出（）A．正方形纸片的面积 B．四边形EFGH的面积 C．△BEF的面积 D．△AEH的面积【解答】解：设PD＝x，GH＝y，则PH＝x﹣y，∵矩形纸片和正方形纸片的周长相等，∴2AP+2（x﹣y）＝4x，∴AP＝x+y，∵图中阴影部分的面积＝S矩形ABCD﹣2△ADH﹣2S△AEB＝（2x+y）（2x﹣y）﹣2×12•（x﹣y）（2x+y）﹣2×12•（2x＝4x2﹣y2﹣（2x2+xy﹣2xy﹣y2）﹣（2x2﹣xy）＝4x2﹣y2﹣2x2+xy+y2﹣2x2+xy＝2xy，A、正方形纸片的面积＝x2，故A不符合题意；B、四边形EFGH的面积＝y2，故B不符合题意；C、△BEF的面积=12•EF•BQ=12D、△AEH的面积=12•EH•AM=12y（x﹣y）=12xy故选：C．12．（2022•丽水）如图，已知菱形ABCD的边长为4，E是BC的中点，AF平分∠EAD交CD于点F，FG∥AD交AE于点G．若cosB=14，则A．3 B．83 C．2153 【解答】解：方法一，如图，过点A作AH⊥BE于点H，过点F作FQ⊥AD于点Q，∵菱形ABCD的边长为4，∴AB＝AD＝BC＝4，∵cosB=BH∴BH＝1，∴AH=A∵E是BC的中点，∴BE＝CE＝2，∴EH＝BE﹣BH＝1，∴AH是BE的垂直平分线，∴AE＝AB＝4，∵AF平分∠EAD，∴∠DAF＝∠FAG，∵FG∥AD，∴∠DAF＝∠AFG，∴∠FAG＝∠AFG，∴GA＝GF，设GA＝GF＝x，∵AE＝CD＝4，FG∥AD，∴DF＝AG＝x，cosD＝cosB=DQ∴DQ=14∴FQ=DF∵S梯形CEAD＝S梯形CEGF+S梯形GFDA，∴12×（2+4）×15=12（2+x）×（15-154x解得x=8则FG的长是83或者：∵AE＝CD＝4，FG∥AD，∴四边形AGFD的等腰梯形，∴GA＝FD＝GF，则x+14x+14解得x=8则FG的长是83方法二：如图，作AH垂直BC于H，延长AE和DC交于点M，∵菱形ABCD的边长为4，∴AB＝AD＝BC＝4，∵cosB=BH∴BH＝1，∵E是BC的中点，∴BE＝CE＝2，∴EH＝BE﹣BH＝1，∴AH是BE的垂直平分线，∴AE＝AB＝4，所以AE＝AB＝EM＝CM＝4，设GF＝x，则AG＝x，GE＝4﹣x，由GF∥BC，∴△MGF∽△MEC，∴2x解得x=8故选：B．二．填空题（共7小题）13．（2022•吴兴区校级二模）七巧板是我国祖先的一项卓越创造，被誉为“东方魔板”．由边长为22的正方形可以制作一副如图1所示的七巧板，现将这副七巧板在拼成如图2所示的造型恰好放入矩形ABCD中（其中点E，F，G，H都在矩形边上），若AB：BC＝7：6，则∠AGF的正切值为310【解答】解：如图1，∵四边形PQMN是矩形为22的正方形，∴∠NPQ＝90°，PN＝PQ＝22，∴QN=PN由七巧板的构造可知，图形①、②、③、④、⑤都是等腰直角三角形，图形⑥是正方形，∴PK＝NK＝QK=12QN＝∴LK＝JK＝JI＝JQ=12QK＝∴LN＝NK﹣LK＝1，如图2，∵四边形ABCD是矩形，∴AD＝BC，∠D＝∠B＝∠A＝90°，由图1可知，EF＝GH＝2+1＝3，FG＝2+2＝4，∠EFG＝∠FGH＝90°，∵∠DFE＝90°﹣∠AFG＝∠AGF，∠BHG＝90°﹣∠BGH＝∠AGF，∴∠DFE＝∠BHG，∴△DFE≌△BHG（AAS），∴DE＝BG，∵∠D＝∠A，∠DFE＝∠AGF，∴△DFE∽△AGF，∴DEAF∴DE=34AF，AG=∴BG=34∴AB＝AG+BG=43DF+∵AB：BC＝7：6，∴AB=76BC=76AD=7∴76（AF+DF）=43DF∴AF=25∴tan∠AGF=AF故答案为：31014．（2022•永嘉县三模）如图，在正方形ABCD中，BC＝6，点P在正方形内，PF⊥PC，交边AD于点F，ED∥PC，交PF延长线于点E，且PC＝PE，连结AP，AE．若五边形AEDCP的面积为24，则∠AEP的度数为45°，PC的长为26【解答】解：过C作CG⊥ED于G，过A作AM⊥DE于M，AN⊥PE于N，连结PB，∵PF⊥PC，ED∥PC，PC＝PE，CG⊥ED，∴四边形PCGE是正方形，∴PC＝PE＝CG＝EG，∠PCG＝90°，∵正方形ABCD，∴BC＝CD＝AD＝AB，∠BCD＝90°，∴∠PCB＝∠DCG＝90°﹣∠PCD，∴△DCG≌△BCP（SAS），∴∠DGC＝∠BPC＝90°，∴∠CPE+∠BPC＝180°，∴E、F、P、B四点在一条直线上，∴∠PCB＝∠DCG＝∠ABN＝∠ADM，∵AM⊥DE于M，AN⊥PE，∴四边形AMEN是矩形，∴△ABN≌△ADM（AAS），∴AM＝AN，∴矩形AMEN是正方形，AE平分∠MEN，∴∠AEP＝45°，AM＝AN＝EM，设AM＝AN＝EM＝x，PC＝PE＝CG＝EG＝y，∵∠DCG＝∠ADM，∴△DCG≌△ADM（AAS），∴AM＝AN＝DG＝PB＝x，∵S五边形∴24=y∴y=2即PC=215．（2022•下城区校级二模）如图，在正方形ABCD中，点E，F分别在BC，AB上，且DE＝DF，AC分别交DE，DF于点M，N．（1）若∠ADF＝∠EDF，则DN：AN的值为2．（2）设△DMN和△AFN的面积分别为S1和S2，若S2＝2S1，则tan∠ADF的值为3-1【解答】解：（1）过N作NK⊥AD于K，如图：∵四边形ABCD是正方形，∴∠DAC＝45°，∴△ANK是等腰直角三角形，∴KN=22又CD＝AD，∠DAF＝∠DCE＝90°，且DF＝DE，∴Rt△ADF≌Rt△CDE（HL），∴∠ADF＝∠CDE，∵∠ADF＝∠EDF，∴∠ADF＝∠EDF＝∠CDE＝30°，∴KN=12∴22AN=1∴DN：AN=2故答案为：2；（2）过N作NH⊥AB于H，如图：∵∠FHN＝∠FAD＝90°，∴HN∥AD，∴∠ADF＝∠HNF，设tan∠ADF＝tan∠FNH＝k，设NH＝AH＝b，则FH＝kb，∴AF＝b+kb，∵tan∠ADF=AF∴AD=b+∴S2=12AF•HN=12b2（1+k），S1＝S△ADC﹣2S△ADN=12（1+kkb）2﹣∵S2＝2S1，∴12b2（1+k）＝2•[12（1+kkb）2﹣2×12•整理得：k2+2k﹣2＝0，解得：k=3-1或-∴tan∠ADF＝k=3-故答案为：3-116．（2022•金东区一模）已知由8个边长为1的正方形组成的L型模板如图放置，其顶点E，F，G，H，I都在矩形ABCD的边上，则矩形ABCD的面积为28013【解答】解：依题意，可得∠B＝∠C＝90°，∵∠EFB+∠CFG＝90°，∠EFB+∠BEF＝90°，∴∠CFG＝∠BEF，在△BEF和△CFG中，∠B∴△BEF≌△CFG（AAS），设BF＝x，CF＝y，则线段CG＝x，BE＝y，∵∠FGC+∠DGH＝90°，∠CFG+∠FGC＝90°，∴∠CFG＝∠DGH，∵∠C＝∠D＝90°，∴△CFG∽△DGH，∵△BEF≌△CFG，∴△BEF∽△DGH，同里可证△BEF∽△AIE，则AEBF=EI则AE=x4，DG∵AB＝CD，∴x4+y＝x即3x＝2y，∴x=23在Rt△FCG中，FC2+CG2＝FG2，∴y2+x2＝42，∴y2+（23y）2＝解得：y=12∴x=8∴AB=1413，BC∴矩形ABCD的面积为2801317．（2022•长兴县模拟）如图，在矩形ABCD中，AB＝7cm，BC＝2cm，点N在边CD上，CN＝1cm点M是矩形ABCD的边AB上一动点，现将四边形BCNM沿MN折叠，使点B，C分别落在点B′，C′上．边MB′与边CD交于点E，当点M从点A运动到点B的过程中，点E运动的路径长为（5-23【解答】解：如图1中，∵四边形ABCD是矩形，∴AB∥CD，∴∠1＝∠3，由翻折的性质可知：∠1＝∠2，BM＝MB′，∴∠2＝∠3，∴MB′＝NB′，∵NB′=B'C∴BM＝NB′=5（cm如图2中，当点M与A重合时，AE＝EN，设AE＝EN＝xcm，在Rt△ADE中，则有x2＝22+（6﹣x）2，解得x=10∴DE＝6-103=如图3中，当点M运动到MB′⊥AB时，DE′的值最大，DE′＝7﹣1﹣2＝4（cm），如图4中，当点M运动到点B′落在CD时，DB′（即DE″）＝7﹣1-5=（6-5∴点E的运动轨迹E→E′→E″，运动路径＝EE′+E′B′＝4-83+4﹣（6-5）＝（故答案为：（5-18．（2022•诸暨市模拟）正方形ABCD的边长为4，点E是射线AD上的一个动点，连结CE，以CE为边往右侧作正方形CEFG，连结DF、DG．（1）当点E在AD延长线上，且DE＝AD时，DG＝45（2）当点E在线段AD上，且△DGF为等腰三角形时，DG＝4或42或25．【解答】解：（1）如图1，连接EG，∵正方形ABCD的边长为4，DE＝AD，∴AD＝DE＝CD＝4，∠ADC＝90°，∴∠CDE＝180°﹣90°＝90°，∴△CDE是等腰直角三角形，∴CE=2DE＝42，∠DCE＝∠DEC＝45∵四边形CEFG是正方形，∴CE＝CG＝42，∠ECG＝90°，∴△CEG是等腰直角三角形，∴∠CEG＝45°，EG=2CE=2×4∴∠DEG＝∠DEC+∠CEG＝45°+45°＝90°，在Rt△DEG中，DG=DE2故答案为：45；（2）如图2，过点F作FH⊥AD交AD的延长线于点H，过点G作GK⊥CD于点K，则∠H＝∠CKG＝∠DKG＝90°，∵四边形ABCD，四边形CEFG均为正方形，∴AD＝CD＝4，EF＝CE＝CG＝FG，∠CDE＝∠CEF＝∠ECG＝90°，∵∠FEH+∠CED＝90°，∠CED+∠ECD＝90°，∠ECD+∠GCK＝90°，∴∠FEH＝∠ECD，∠GCK＝∠CED，在△CED和△EFH中，∠CDE∴△CED≌△EFH（AAS），∴DE＝FH，CD＝EH＝4，同理，△CED≌△GCK（AAS），∴DE＝CK，CD＝GK＝4，设DE＝m（0≤m≤4），则FH＝CK＝m，∴DH＝4﹣m，DK＝4﹣m，在Rt△DFH中，DF2＝DH2+FH2＝（4﹣m）2+m2＝2m2﹣8m+16，在Rt△DGK中，DG2＝DK2+GK2＝（4﹣m）2+42＝m2﹣8m+32，在Rt△CED中，CE2＝DE2+CD2＝m2+16，∴FG2＝m2+16，当DF＝DG时，2m2﹣8m+16＝m2﹣8m+32，解得：m＝﹣4（舍去）或m＝4，∴DG=m2当DF＝FG时，2m2﹣8m+16＝m2+16，解得：m＝0或m＝8（舍去），∴DG=m2-当DG＝FG时，m2﹣8m+32＝m2+16，解得：m＝2，∴DG=m2-综上所述，DG＝4或42或25．故答案为：4或42或25．19．（2022•温州）如图，在菱形ABCD中，AB＝1，∠BAD＝60°．在其内部作形状、大小都相同的菱形AENH和菱形CGMF，使点E，F，G，H分别在边AB，BC，CD，DA上，点M，N在对角线AC上．若AE＝3BE，则MN的长为32【解答】解：方法一：连接DB交AC于点O，作MI⊥AB于点I，作FJ⊥AB交AB的延长线于点J，如图1所示，∵四边形ABCD是菱形，∠BAD＝60°，AB＝1，∴AB＝BC＝CD＝DA＝1，∠BAC＝30°，AC⊥BD，∵△ABD是等边三角形，∴OD=1∴AO=A∴AC＝2AO=3∵AE＝3BE，∴AE=34，BE∵菱形AENH和菱形CGMF大小相同，∴BE＝BF=14，∠FBJ＝∴FJ＝BF•sin60°=1∴MI＝FJ=3∴AM=MI同理可得，CN=3∴MN＝AC﹣AM﹣CN=3故答案为：32方法二：连接DB交AC于点O，连接EF，由题意可得，四边形AMFE是平行四边形，四边形EFCN是平行四边形，∴EF＝AM＝CN，∵EF∥AC，∴△BEF∽△BAC，∴EFAC∵AE＝3BE，AB＝1，∴AB＝4BE，∴EFAC∴AM＝CN=14∴MN=12AC＝∵∠BAD＝60°．AB＝AD＝1，AO垂直平分BD，∴OD=1∴OA=A∴MN=3故答案为：32三．解答题（共12小题）20．（2022•鹿城区校级模拟）如图，四边形ABCD是平行四边形，分别以AD，BC为边向外构造等边△ADE和等边△BCF，连接BE，DF，BD．（1）求证：四边形BFDE是平行四边形．（2）若AD与BE交于点G，且AD＝BD，∠DFB＝45°，BG=2，求△【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD＝BC，AD∥BC，∴∠ADB＝∠DBC，∵等边△ADE和等边△BCF，∴DE＝AD，BC＝BF，∠EDA＝∠CBF＝60°，∴DE＝BF，∠EDB＝∠DBF，∴DE∥BF，∴四边形BFDE是平行四边形；（2）解：∵AD＝BD，AD＝DE＝BF，∴DE＝BD＝BF，又∵∠DFB＝45°，∴∠DBF＝180°﹣2∠DFB＝90°＝∠EDB，∴∠DBC＝∠DBF﹣∠CBF＝30°，∠DEB＝∠DBE＝45°，∴∠ADB＝∠DBC＝30°，过G作GH⊥BD于H，在Rt△GHB中，BG=2，∠HBG＝45°，BG2＝GH2+HB∴GH=在Rt△GHD中，∠GDH＝30°，GH＝1，∴DG＝2GH＝2，∴DH=∴BD=∴△BDG的面积为1221．（2022•吴兴区校级二模）（1）如图1，在等腰Rt△ABC中，∠BAC＝90°，∠MAN＝ɑ，∠MAN绕点A顺时针旋转，它的两边与BC边分别交于M，N两点．①当∠BAM＝∠CAN时，求证：BM＝CN；②如图2，作斜边BC上的高AH，若AB＝1，ɑ＝45°，且CN=13BC时，求（2）如图3，在正方形ABCD中，∠MAN＝45°，∠MAN绕点A顺时针旋转，它的两边分别交BC，CD于点M，N．当点N恰为DC的中点时，求BMDN【解答】（1）①证明：∵AB＝AC，∠BAC＝90°，∴∠B＝∠C＝45°，∵∠BAM＝∠CAN，∴△BAM≌△CAN（ASA），∴BM＝CN；②解：如图2中，将△ACN绕点A顺时针旋转90°得到△ABT，连接MT．∵∠CAN＝∠BAT，∴∠NAT＝∠CAB＝90°，∵∠MAN＝45°，∴∠MAT＝∠MAN，∵AM＝AM，AT＝AN，∴△MAT≌△MAN（SAS），∴MT＝MN，∵AB＝AC＝1，∴BC=2∵CN=13BC∴BN=2设BM＝x，则MN＝MT=22∵∠ABT＝∠C＝∠ABC＝45°，∴∠TBN＝90°，∴MT2＝BT2+BM2，∴（223-x）2＝x2+（2∴x=2∴BM=2（2）如图3中，将△ABM绕点A逆时针旋转旋转90°得到△ADR，连接MN．同法可证△ANM≌△ANR（SAS），∴MN＝NR＝DR+DN＝BM+DN，设BC＝CD＝2a，则DN＝CN＝a，NM＝BM+a，∴CM＝2a﹣BM，∵MN2＝CM2+CN2，∴（BM+a）2＝（2a﹣BM）2+a2，∴BM=23∴BMDN22．（2022•义乌市模拟）浙教版教材八年级下册第5章“4.2平行四边形及其性质（3）”中有这样一道例题：如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC，BD交于点E，AC⊥BC，若AC＝4，AB＝5，求BD的长．请你完成求解过程．小明的解题过程如下：在平行四边形ABCD中∵AC＝4，AB＝5，∴EA=EC=∵AC⊥BC∴BC=AB∴BE=BC∴BD=2EB=2你认为他的解题过程正确吗？若正确，请再用其他方法求出BD的长；若不正确，请指出错误（从第几步开始错），并求出正确的BD长．【解答】解：小明的解题过程不正确，从第③步开始错；在平行四边形ABCD中，∵AC＝4，AB＝5，∴EA＝EC=12AC=12×4＝2∵AC⊥BC，∴BC=∴BE=B∴BD＝2EB＝213．23．（2022•婺城区校级模拟）如图1，在矩形ABCD中，AB＝4，P为CD边所在直线上一点（不与点D重合），连结AP，把△ADP沿着AP折叠后得到△AD′P，连结CD′，记DP的长为a．（1）当P为DC的中点时，判断△PD′C的形状，并说明理由．（2）若AD＝3，在点P的运动过程中，满足PD′⊥D′C，试求a的值．（3）若AD＝2，如图2，过点C作CH⊥直线PD′，垂足为点H，连结AH，在点P的运动过程中，是否存在AH＝CD′？若存在，求出相应的a的值；若不存在，请说明理由．【解答】解：（1）等腰三角形．理由如下：∵P为DC的中点，∴PD＝PC，由折叠性质知，PD＝PD′，∴PD′＝PC，∴△PCD′是等腰三角形；（2）由折叠知，PD＝PD′＝a，AD＝AD′＝3，∠AD′P＝90°，∵PD′⊥D′C，∴∠PD′C＝90°，∴A、D′、C三点共线，当点P在D点的右侧时，如图，∵AC=A∴CD′＝AC﹣AD′＝5﹣3＝2，∵PC2﹣PD′2＝CD′2，PC＝CD﹣DP＝4﹣a，∴（4﹣a）2﹣a2＝22，解得a=3当P点在D点左侧时，如图，∵PD′2+CD′2＝PC2，∴a2+（3+5）2＝（4+a）2，解得a＝6，综上，a=32或（3）存在．由折叠性质知，AD＝AD′＝2，∠ADP＝∠AD′P＝90°，∵CH⊥PD′，∴∠AEP＝∠EHC＝90°，∵AH＝CD′，D′H＝HD′，∴Rt△AD′H≌Rt△CHD′（HL），∴AD′＝CH，∴四边形AHCD′是平行四边形，如图，当点P在线段DC上，点H在PD′上时，连接AC交PD′于O，∵AD＝2，BC＝CD，∴AC=A∵四边形AHCD′是平行四边形，∴AO＝CO=5，D′O＝OH，AD′＝CH＝2∴OD′＝HO=C在Rt△PCH中，PC2＝CH2+PH2，∴（4﹣a）2＝4+（a﹣2）2，∴a＝2；如图，当点P在线段DC上，点H在PD′的延长线上时，∵四边形AHCE是平行四边形，∴AO＝CO=5，OD′＝OH，AD′＝CH＝2∴OD′＝HO=C在Rt△PCH中，PC2＝CH2+PH2，∴（4﹣a）2＝4+（a+2）2，∴a=2如图，当点P在CD的延长线上时，同理可证：四边形ACHD′是平行四边形，又∵∠CHD′＝90°，∴四边形ACHD′是矩形，∴AD′＝CH＝2，AC＝D′H＝25，在Rt△PCH中，PC2＝CH2+PH2，∴（4+a）2＝4+（25-a）2∴t＝25-4当点P在DC的延长线上时，如图，∵四边形ACHD′是矩形，∴AD′＝CH＝2，AC＝D′H＝25，DP＝D′P＝a，在Rt△PCH中，PC2＝CH2+PH2，∴（a4＝﹣4）2＝4+（a﹣25）2，∴m＝25+4综上所述：当a＝1.5或a＝25+4或a=23或a＝25-4时，存在24．（2022•金华模拟）方法学习如图1，在边长为1的正方形网格中，连结格点D，N和E，C，DN和EC相交于点P，求tan∠CPN的值．思考：求一个锐角的三角函数值，我们往往需要找出（或构造出）一个直角三角形．观察发现：∠CPN不在直角三角形中，并且顶点不在格点处，我们可以利用网格画平行线等方法解决此类问题，比如连接格点M，N，可得MN∥EC，则∠DNM＝∠CPN，连接DM，那么∠CPN就变换到格点处，并且恰好在Rt△DMN中．可以方便求出tan∠CPN的值为2；问题解决（1）如图2，在边长为1的正方形网格中，AN与CM相交于点P，则cos∠CPN的值为22（2）如图3，在边长为1的正方形网格中，AN与CM相交于点P，则sin∠CPA的值为7210思维拓展如图4，若干个形状、大小完全相同的菱形组成网格，网格顶点称为格点，已知菱形的较小内角为60度，点A，B，C，D都在格点处，线段AB与CD相交于点P求cos∠CPA的值．【解答】解：思考：如图1中，∵CE∥MN，∴∠MND＝∠CPN，∴tan∠MND＝tan∠CPN，∵∠DMN＝90°，∴tan∠CPN＝tan∠MND=DMMN故tan∠CPN的值为2．故答案为：2；问题解决（1）如图2中，取格点Q，连接QM，CQ．∵CQ∥AN，∴∠CPN＝∠QCM，∵△QCM是等腰直角三角形，∴∠CPN＝∠QCM＝45°，∴cos∠CPN＝cos∠QCM=2故答案为：22（2）如图3中，取格点Q，连接QM，CQ，过点C作CG⊥QM于点G，∵QM∥AN，∴∠CPA＝∠CMG，∴sin∠CPA＝sin∠CMG=CG∵CM=12+2∴12×10CG＝3×3-12×1×2-12∴CG=7∴sin∠CPA＝sin∠CMG=CG∴sin∠CPA的值为72故答案为：72思维拓展如图4，取格点E，连接EA、EB．设小菱形的边长为1．由题意：EA∥CD，∴∠APC＝∠BAE，∵∠AEO＝60°，∠BEO＝30°，∴∠AEB＝90°，过点B作BF⊥AG交AG延长线于点F，∵BG＝1，∠GBF＝30°，∴GF=1∴BF=3∴AF＝AG+GF＝3+1∴AB=A∵AE＝1，∴cos∠CPA＝cos∠BAE=AE∴cos∠CPA的值为131325．（2022•常山县模拟）如图，在矩形ABCD中，AE平分∠BAD交射线BC于点E，过点C作CF⊥AE交射线AE于点F，连结BD交AE于点G，连结DF交射线BC于点H．（1）当AB＜AD时，①求证：BE＝CD；②猜想∠BDF的度数，并说明理由．（2）若ABAD=k时，求tan∠CDF【解答】（1）①∵四边形ABCD是矩形，∴∠BAD＝∠ABC＝90°，AB＝CD，∵AE平分∠BAD，∴∠BAE＝∠DAE＝45°，∴△ABE是等腰直角三角形，∴AB＝BE，∴BE＝CD；②解：猜想∠BDF＝45°，理由如下：如图，连接BF，∵CF⊥AF，∴∠AFC＝90°，∵∠CEF＝∠AEB＝45°，∴△CEF是等腰直角三角形，∴∠ECF＝45°，EF＝CF，∴∠BEF＝∠DCF＝135°，由①知：BE＝CD，∴△BEF≌△DCF（SAS），∴BF＝DF，∠BFE＝∠DFC，∴∠BFD＝∠CFE＝90°，∴△BDF是等腰直角三角形，∴∠BDF＝45°；（2）解：∵ABAD∴设AD＝x，则AB＝kx，CE＝BC﹣BE＝x﹣kx，如图，过点F作FH⊥BC于H，作FP⊥DC于P，则∠CHF＝∠P＝90°，∵△ECF是等腰直角三角形，∴EH＝CH，∴FH=12∵∠CHF＝∠P＝∠PCH＝90°，∴四边形CHFP是矩形，∴FH＝PC，∵∠ECF＝∠FCP＝45°，FH⊥BC，FP⊥DC，∴FH＝FP，∴FP＝PC=12CE∴tan∠CDF=FP26．（2022•衢州）如图，在菱形ABCD中，AB＝5，BD为对角线．点E是边AB延长线上的任意一点，连结DE交BC于点F，BG平分∠CBE交DE于点G．（1）求证：∠DBG＝90°．（2）若BD＝6，DG＝2GE．①求菱形ABCD的面积．②求tan∠BDE的值．（3）若BE＝AB，当∠DAB的大小发生变化时（0°＜∠DAB＜180°），在AE上找一点T，使GT为定值，说明理由并求出ET的值．【解答】（1）证明：如图1，∵四边形ABCD是菱形，∴CB＝AB，CD＝AD，∵BD＝BD，∴△ABD≌△CBD，∴∠CBD＝∠ABD=12∠∵∠CBG＝∠EBG=12∠∴∠DBG＝∠CBD+∠CBG=12（∠ABC+∠EBC）=12（2）解：①如图2，连结AC交BD于点K，交DE于点L，∵AC⊥BD，∴∠AKB＝90°，∵AB＝5，BD＝6，∴BK＝DK=12BD＝∴AK=AB∴CK＝AK＝4，∴AC＝8，∴S菱形ABCD=12AC•BD=12×②∵∠DKL＝∠DBG＝90°，∴AC∥BG，∴DLGL=∴DL＝GL=12∵DG＝2GE，∴GE=12∴DL＝GL＝GE，∵CD∥AB，∴CLAL∴CL=13AC=1∴KL＝4-8∴tan∠BDE=KL（3）解：如图3，过点G作GT∥BC，交AE于点T，则GT为定值，理由：连结AC交BD于点K，交DE于点L，∵∠DKL＝∠DBG＝90°，∴当∠DAB的大小发生变化时，始终都有BG∥AC，∴△BGE∽△ALE，∵BE＝AB，∴EGLG=∴EG＝LG，∵KL∥BG，∴DLLG=∴DL＝LG＝EG=13∵AD∥BC，∴GT∥AD，∴△ETG∽△EAD，∴GTDA∵BE＝AB＝DA＝5，∴GT=13DA=1∴GT为定值；∵EA＝BE+AB＝10，∴ET=13EA=127．（2022•台州）图1中有四条优美的“螺旋折线”，它们是怎样画出来的呢？如图2，在正方形ABCD各边上分别取点B1，C1，D1，A1，使AB1＝BC1＝CD1＝DA1=45AB，依次连接它们，得到四边形A1B1C1D1；再在四边形A1B1C1D1各边上分别取点B2，C2，D2，A2，使A1B2＝B1C2＝C1D2＝D1A2=45A1B1，依次连接它们，得到四边形A2B2C（1）求证：四边形A1B1C1D1是正方形．（2）求A1（3）请研究螺旋折线BB1B2B3…中相邻线段之间的关系，写出一个正确结论并加以证明．【解答】（1）证明：∵四边形ABCD为正方形，∴AB＝BC＝CD＝DA，∠A＝∠B＝90°，∵AB1＝BC1＝CD1＝DA1=45∴AA1＝BB1=15在△A1AB1和△B1BC1中，AA∴△A1AB1≌△B1BC1（SAS），∴A1B1＝B1C1，∠AB1A1＝∠BC1B1，∵∠BB1C1+∠BC1B1＝90°，∴∠AB1A1+∠BB1C1＝90°，∴∠A1B1C1＝90°，同理可证：B1C1＝C1D1＝D1A1，∴四边形A1B1C1D1是正方形．（2）解：设AB＝5a，则AB1＝4a，AA1＝a，由勾股定理得：A1B1=17a∴A1（3）相邻线段的比为51717或证明如下：∵BB1=15AB，B1B2=15A∴BB同理可得：B1∴相邻线段的比为51717或17528．（2022•湖州）如图，已知在Rt△ABC中，∠C＝Rt∠，D是AB边上一点，以BD为直径的半圆O与边AC相切，切点为E，过点O作OF⊥BC，垂足为F．（1）求证：OF＝EC；（2）若∠A＝30°，BD＝2，求AD的长．【解答】（1）证明：连接OE，∵AC是⊙O的切线，∴OE⊥AC，∴∠OEC＝90°，∵OF⊥BC，∴∠OFC＝90°，∴∠OF