2023 年九年级数学中考一轮复习 方程与不等式 解答综合练习题（含解析）

2022-2023学年九年级数学中考一轮复习《方程与不等式》解答综合练习题（附答案）1．解方程：（1）2x2﹣x﹣9＝0（配方法）；（2）x2+2x+10＝0（公式法）．2．关于x的一元二次方程x2﹣（k+3）x+2k+2＝0．（1）求证：方程总有两个实数根；（2）若方程有一个根大于5，求k的取值范围．3．解不等式组．4．请阅读下列材料：问题：解方程（x2﹣1）2﹣5（x2﹣1）+4＝0，小明的做法是将x2﹣1视为一个整体，然后设x2﹣1＝y，则（x2﹣1）2＝y2，原方程可化为y2﹣5y+4＝0，解得y1＝1，y2＝4．当y＝1时，x2﹣1＝1，解得x＝±；当y＝4时，x2﹣1＝4，解得x＝±．综合，可得原方程的解为x1＝，x2＝﹣，x3＝，x4＝﹣．请你参考小明的思路，解下列方程：x4﹣4x2﹣5＝0．5．解方程：（1）；（2）．6．已知关于x的方程x2﹣（m+1）x+m＝0．（1）判断该方程是否有实数根？（2）设此方程的两实数根为x1，x2，且，求m的值．7．我们把形如x+＝a+b（a，b不为零），且两个解分别为x1＝a，x2＝b的方程称为“十字分式方程”．例如x+＝4为十字分式方程，可化为x+＝1+3，∴x1＝1，x2＝3．再如x+＝﹣6为十字分式方程，可化为x+＝（﹣2）+（﹣4），∴x1＝﹣2，x2＝﹣4．应用上面的结论解答下列问题：（1）若x+＝﹣11为十字分式方程，则x1＝，x2＝；（2）若十字分式方程x﹣＝4的两个解分别为x1＝m，x2＝n，求的值．8．如图，在数轴上点A表示的数是﹣3，点B在点A的右侧，且到点A的距离是18；点C在点A与点B之间，且到点B的距离是到点A距离的2倍．（1）点B表示的数是；点C表示的数是；（2）若点P从点A出发，沿数轴以每秒4个单位长度的速度向右匀速运动；同时，点Q从点B出发，沿数轴以每秒2个单位长度的速度向左匀速运动．设运动时间为t秒，在运动过程中，当t为何值时，点P与点Q之间的距离为8？（3）在（2）的条件下，若点P与点C之间的距离表示为PC，点Q与点B之间的距离表示为QB，在运动过程中，是否存在某一时刻使得PC+QB＝4？若存在，请求出此时点P表示的数：若不存在，请说明理由．9．解下列方程组：（1）；（2）．10．数学来源与生活．学习数学一定要多观察、多总结、多反思、多纠错．同学们学习了《一元一次方程》后，在数学社团活动中刘老师出了这样一个实际问题：如图，请同学们根据图中提供的信息，回答下面问题：（1）一个暖瓶与一个水杯分别是多少元？（2）甲、乙两家商场同时出售同样的暖瓶和水杯，为了迎接新年，两家商场都在搞促销活动，甲商场规定：这两种商品都打九折；乙商场规定：买一个暖瓶赠送一个水杯．若某单位想要买4个暖瓶和15个水杯，请问选择哪家商场购买更合算，并说明理由．11．元旦前，商场举行“满100元减50元“的促销活动．比如，某顾客购物298元，只需要付款198元．（1）若一款运动鞋标价为330元，则该款鞋子实际付款是多少元？（2）若这款标价为330元的运动鞋实行满“100元减50元”后，商场可获利20%，则这款运动鞋的进价是多少元？（3）元旦当天，又推出“先打折”，再参与“满100元减50元的活动．张先生买了标价为330元的运动鞋，竞然发现比不打折购买多付了17元钱．问元日当天商场推出的促销活动是先打多少折？12．为保障师生健康安全，学校计划从商场购进一批免洗手消毒液和医用口罩．两商场的标价相同，如果按照商场标价购买，购买60瓶免洗手消毒液和20包医用口罩，共需花费2100元，如果购买45瓶免洗手消毒液和40包医用口罩，共需花费1950元．（1）求商场每瓶免洗手消毒液和每包医用口罩的标价分别是多少元？（2）甲乙商场开展促销活动：甲商场，所有购买商品均打八折；乙商场，商品按照标价销售，每购买20瓶免洗手消毒液送10包医用口罩．某校计划购进免洗手消毒液80瓶，50包医用口罩，到哪家商场购买更合算？请说明理由．13．一些关于方程组的问题，若求的结果不是每一个未知数的值，而是关于未知数的式子的值，如以下问题：已知实数x，y满足3x﹣y＝5①，2x+3y＝7②，求x﹣4y和7x+5y的值．本题的常规思路是将①②两式联立组成方程组，解得x，y的值再代入欲求值的式子得到答案，常规思路运算量比较大．其实，仔细观察两个方程未知数的系数之间的关系，本题还可以通过适当变形整体求得式子的值，如由①﹣②可得x﹣4y＝﹣2，由①+②×2可得7x+5y＝19．这样的解题思想就是通常所说的“整体思想”．（1）已知二元一次方程组，则x﹣y＝，x+y＝．（2）某班开展安全教育知识竞赛需购买奖品，买5支铅笔、3块橡皮、2本日记本共需32元，买9支铅笔、5块橡皮、3本日记本共需58元，则购买1支铅笔、1块橡皮、1本日记本共需多少元？（3）对于实数x，y，定义新运算：x※y＝ax+by+c，其中a，b，c是常数，等式右边是通常的加法和乘法运算．已知1※4＝16，1※5＝21，求1※1的值．14．为迎接“六一”儿童节，某儿童品牌玩具专卖店购进了A、B两种玩具，其中A类玩具的进价比B玩具的进价每个多5元，经调查：用1000元购进A类玩具的数量与用800元购进B类玩具的数量相同．（1）求A、B两类玩具的进价分别是每个多少元？（2）该玩具店共购进了A、B两类玩具共100个，若玩具店将每个A类玩具定价为35元出售，每个B类玩具定价25元出售，且全部售出后所获得利润不少于800元，则商店至少购进A类玩具多少个？15．为了维护交通安全，山西各地出台了电动自行车的相关规定，规定中要求驾驶人和乘坐人员应该佩戴安全头盔．某商店用1800元购进一批电动车头盔，销售发现供不应求，于是，又用7200元再购进一批头盔，第二批头盔的数量是第一批的3倍，但单价比第一批贵20元．（1）则第一批头盔进货单价多少元？（2）若两次购进头盔按同一价格销售，两批全部售完后，获利不少于4200元，那么销售单价至少为多少元．16．北京2022官方特许商品旗舰店在北京冬奥会召开期间，购进一批A、B不同型号的盲盒，购进3个A型号的盲盒和4个B型号的盲盒需要566元；购进2个A型号的盲盒和1个B型号的盲盒需要264元．（1）A、B不同型号的盲盒单价各是多少元？（2）该旗舰店计划购进A、B不同型号的盲盒共100件，其中B型号的盲盒的个数不大于A型号的盲盒个数，并且计划费用不超过8450元，请问共有几种购买方案？17．巴蜀中学两江校区和鲁能校区联合准备重庆市中学生新年文艺汇演，准备参加汇演的学生共102人（其中鲁能校区人数多于两江校区人数，且鲁能校区人数不足100人），按要求准备统一购买服装（一人买一套）参加演出，下面是服装厂给出的演出服装的价格表：购买服装的套数1套至50套50套至100套100套及以上每套服装的价格80元70元60元如果两校区分别单独购买服装，一共应付7500元．（1）如果两校区联合起来购买服装，那么比各自单独购买服装共可以节省多少钱？（2）两江校区和鲁能校区各有多少学生准备参加演出？（3）如果鲁能校区有7名参加演出的同学临时接到通知将参加某大学的自主招生考试而不能参加演出，那么你认为有几种购买方案，通过比较，你该如何购买服装才能最省钱？18．某超市销售一款“免洗洗手液”，这款“免洗洗手液”的成本价为每瓶16元，当销售单价定为20元时，每天可售出80瓶．根据市场行情，现决定降价销售．市场调查反映：销售单价每降低0.5元，则每天可多售出20瓶（销售单价不低于成本价），若设这款“免洗洗手液”的销售单价为x（元），每天的销售量为y（瓶）．（1）求每天的销售量y（瓶）与销售单价x（元）之间的函数关系式；（2）当销售单价为多少元时，销售这款“免洗洗手液”每天的销售利润为320元？19．某快递公司今年8月份与10月份投递的快递件数分别为10万件和12.1万件，假定每月投递的快递件数的增长率相同．（1）求该快递公司投递的快递件数的月平均增长率．（2）如果每个快递小哥平均每月最多可投递0.8万件快递，该公司现有16个快递小哥，请通过计算说明按此快递件数的增长速度，在不增加人手的情况下，该公司能否完成今年11月份的投递任务．20．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝8m，BC＝6m，点P由C点出发以2m/s的速度向终点A匀速移动，同时点Q由点B出发以1m/s的速度向终点C匀速移动，当一个点到达终点时另一个点也随之停止移动．（1）经过几秒，△PCQ的面积为△ACB的面积的？（2）经过几秒，△PCQ与△ACB相似？

参考答案1．解：（1）2x2﹣x﹣9＝0，2x2﹣x＝9，x2﹣x＝，配方得：x2﹣x+（）2＝+（）2，（x﹣）2＝，开方得：x﹣＝，解得：x1＝，x2＝；（2）x2+2x+10＝0，∵Δ＝b2﹣4ac＝（2）2﹣4×1×10＝﹣20＜0，∴方程无实数根．2．（1）证明：x2﹣（k+3）x+2k+2＝0，Δ＝[﹣（k+3）]2﹣4×1×（2k+2）＝k2﹣2k+1＝（k﹣1）2，∵不论k为何值，（k﹣1）2≥0，∴方程总有两个实数根；（2）解：x2﹣（k+3）x+2k+2＝0，（x﹣2）[x﹣（k+1）]＝0，x﹣2＝0或x﹣（k+1）＝0，解得：x1＝2，x2＝k+1，∵方程有一个根大于5，∴k+1＞5，∴k＞4，即k的取值范围是k＞4．3．解：，解①得：x≥﹣2，解②得：x＜3，∴﹣2≤x＜3．4．解：设x2＝t，x4﹣4x2﹣5＝0可化为t2﹣4t﹣5＝0，则（t+1）（t﹣5）＝0，解得t1＝﹣1，t2＝5，当t＝﹣1时，方程x2＝﹣1无解；当t＝5时，x2＝5，解得，综合，可得原方程的解为，．5．解：（1）方程：，移项合并：，去分母整理得：3x＝﹣1，系数化为1：，经检验：是原方程的根．（2）解方程：，变形整理：，去分母：x﹣1＝1+3（x﹣2），移项合并：﹣2x＝﹣4，系数化为1：x＝2，检验：把x＝2代入最简公分母x﹣2中，x﹣2＝2﹣2＝0，∴x＝2是增根，即原方程无解．6．解：（1）∵Δ＝b2﹣4ac＝[﹣（m+1）]2﹣4m＝m2+2m+1﹣4m＝m2﹣2m+1＝（m﹣1）2≥0，∴原方程有实数根；（2）由（1）知，b2﹣4ac＝（m﹣1）2，∴，∵x1，x2为方程的两个实数根，∴x1＝m，x2＝1，∵，∴，解得m＝﹣3，经检验：m＝﹣3是原方程的解．7．解：（1）方程变形得：x+＝（﹣3）+（﹣8），则x1＝﹣3，x2＝﹣8；故答案为：﹣3，﹣8；（2）方程变形得：x+＝6+（﹣2），∴x1＝m＝6，x2＝n＝﹣2，则原式＝+＝﹣3．8．解：（1）点B表示的数是﹣3+18＝15；点C表示的数是；故答案为：15，3；（2）由题意可知，分两种情况：点P与点Q相遇前：4t+2t＝18﹣8，解得；②点P与点Q相遇后：4t+2t＝18+8，解得；综上所述，当t为或时，点P与点Q之间的距离为8；（3）假设存在，当点P在点C左侧时，PC＝6﹣4t，QB＝2t，∵PC+QB＝4，∴6﹣4t+2t＝4，解得t＝1，此时点P表示的数是﹣3+4×1＝1；当点P在点C右侧时，PC＝4t﹣6，QB＝2t，∵PC+QB＝4，∴4t﹣6+2t＝4，解得，此时点P表示的数是，综上所述，在运动过程中存在PC+QB＝4，此时点P表示的数为1或．9．解：（1），把①代入②，得x+5＝3（x+1），解得x＝1，把x＝1代入①，得y＝2，故方程组的解为；（2），由①，得6x﹣2y＝13③，由②，得x﹣2y＝﹣7④，③﹣④，得5x＝20，解得x＝4，把x＝4代入②，得y＝，故方程组的解为．10．解：（1）设一个暖瓶x元，则一个水杯（38﹣x）元，由题意得：2x+3（38﹣x）＝84，解得：x＝30，则38﹣x＝38﹣30＝8，答：一个暖瓶30元，一个水杯8元；（2）到乙商场购买更合算，理由如下：若到甲商场购买，所需费用为：（4×30+15×8）×0.9＝216（元）；若到乙商场购买，所需费用为：4×30+（15﹣4）×8＝208（元）；∵208＜216，∴到乙商场购买更合算．11．解：（1）设该款鞋子实际付款是x元，根据题意得x＝330﹣50×3，解得x＝180，答：该款鞋子实际付款是180元．（2）这款运动鞋的进价是y元，根据题意得y+20%y＝180，解得y＝150，答：这款运动鞋的进价是150元．（3）设元旦当天商场推出的促销活动是先打m折，后减50n元（0≤n≤3，且n为正整数），根据题意得330×﹣50n﹣180＝17，整理得330×＝50n+197，当n＝0时，330×＝197，折后可优惠1×50＝50（元），与n＝0相矛盾；当n＝1时，330×＝247，折后可优惠2×50＝100（元），与n＝1相矛盾；当n＝2时，330×＝297，折后可优惠2×50＝100（元），符合题意，此时m＝9；当n＝3时，330×＝347，不符合题意，综上所述，元旦当天商场推出的促销活动是先打9折．12．解：（1）设商场每瓶免洗手消毒液的标价为x元，每包医用口罩的标价为y元，由题意得：，解得：，答：商场每瓶免洗手消毒液的标价为30元，每包医用口罩的标价为15元；（2）到甲商场购买更合算，理由如下：到甲商场购买的花费为：（30×80+15×50）×0.8＝2520（元），到乙商场购买的花费为：30×80+15×（50﹣80÷20×10）＝2550（元），∵2520＜2550，∴到甲商场购买更合算．13．解：（1），①﹣②得：2x﹣2y＝﹣8，∴x﹣y＝﹣4，①+②得：4x+4y＝16，∴x+y＝4，故答案为：﹣4，4；（2）设1支铅笔x元，1块橡皮y元，1本日记本z元，由题意得：，①×2﹣②得：x+y+z＝6，∴20x+20y+20z＝20（x+y+z）＝20×6＝120，即购买20支铅笔、20块橡皮、20本日记本共需120元；（3）∵x※y＝ax+by+c，∴1※4＝a+4b+c＝16①，1※5＝a+5b+c＝21②，②﹣①得：b＝5，∴a+c＝16﹣4b＝﹣4，∴a+b+c＝1，∴1※1＝a+b+c＝1．14．解：（1）设B的进价为x元，则a的进价是（x+5）元由题意得＝，解得x＝20，经检验x＝20是原方程的解．所以20+5＝25（元）答：A的进价是25元，B的进价是20元；（2）设A玩具a个，则B玩具（100﹣a）个，由题意得：10a+5（100﹣a）≥800，解得a≥60．答：至少购进A类玩具60个．15．解：（1）设第一批头盔进货单价为x元，则第二批头盔进货单价为（x+20）元，根据题意，得：，解得：x＝60．经检验，x＝60是原方程的解，且符合题意．答：第一批头盔进货单价为60元；（2）第一批头盔进货数量为：＝30（个），则第一批头盔进货数量为：3×30＝90（个），设销售单价为y元，根据题意得：（30+90）y﹣1800﹣7200≥4200，解得：y≥110．答：销售单价至少为110元．16．解：（1）设A种型号的盲盒的单价为x元，B种型号的盲盒的单价为y元，根据题意，得，，解得，∴A种型号的盲盒的单价为98元，B种型号的盲盒的单价为68元；（2）设购进A种型号盲盒m件，则购进B种型号盲盒（100﹣m）件，根据题意，得，解得50≤m≤55，且m为正整数，∴m可取50，51，52，53，54，55，共6种方案．17．解：（1）由题意，得：7500﹣102×60＝1380（元）．即两校区联合起来购买服装比各自购买服装共可以节省1380元．（2）设两江校区各有x名、鲁能校区有y名学生准备参加演出．由题意，得：，解得：．答：两江校区各有36名、鲁能校区有66名学生准备参加演出．（3）∵鲁能校区有7人