2023 年九年级数学中考复习 解直角三角形的应用解答题 专题训练（含解析）

2022-2023学年九年级数学中考复习《解直角三角形的应用解答题》专题训练（附答案）1．如图是某种云梯车的示意图，云梯OD升起时，OD与底盘OC夹角为α，液压杆AB与底盘OC夹角为β；已知：液压杆AB＝3m，当α＝37°，β＝53°时，（1）求液压杆顶端B到底盘OC的距离BE的长；（2）求AO的长．（参考数据：sin37°≈，tan37°≈，sin53°≈，tan53°≈）2．线上教学期间，很多同学采用笔记本电脑学习，九年级一班同学为保护眼睛，开展实践探究活动．如图，当张角∠AOB＝150°时，顶部边缘A处离桌面的高度AC的长为11cm，此时用眼舒适度不太理想．小组成员调整张角大小继续探究，最后联系黄金比知识发现当张角∠A'OB＝108°时（点A'是A的对应点），用眼舒适度较为理想．求此时顶部边缘A'处离桌面的高度A'D的长．（结果精确到1cm；参考数据：sin18°≈0.31，cos18°≈0.95，tan18°≈0.32）3．图1是一种三角车位锁，其主体部分是由两条长度相等的钢条组成．当位于顶端的小挂锁打开时，钢条可放入底盒中（底盒固定在地面下），此时汽车可以进入车位；当车位锁上锁后，钢条按图1的方式立在地面上，以阻止底盘高度低于车位锁高度的汽车进入车位．图2是其示意图，经测量，钢条，AB＝AC＝50cm，∠ABC＝47°．（1）求车位锁的底盒长BC；（2）若一辆汽车的底盘高度为35cm，当车位锁上锁时，问这辆汽车能否进入该车位？通过计算说明理由．（参考数据：sin47°≈0.73，cos47°≈0.68，tan47°≈1.07）4．某大型超市为缓解停车难问题，建筑设计师提供了楼顶停车场的设计示意图．按规定，停车场坡道口上坡要张贴限高标志，以便告知车辆能否安全驶入．请根据如图，求出汽车通过坡道口的限高DF的长（结果精确到0.1m，sin28°≈0.47，cos28°≈0.88，tan28°≈0.53）．5．我们知道当人们的视线与物体的表面互相垂直且视线恰好落在物体中心位置时的视觉效果最佳，如图是小然站在地面MN欣赏悬挂在墙壁PM上的油画AD（PM⊥MN）的示意图，设油画AD与墙壁的夹角∠PAD＝α，此时小然的眼睛与油画底部A处于同一水平线上，视线恰好落在油画的中心位置E处，且与AD垂直．已知油画的长度AD为100cm．（1）视线∠ABD的度数为.（用含α的式子表示）（2）当小然到墙壁PM的距离AB＝250cm时，求油画顶部点D到墙壁PM的距离．6．数学兴趣小组想利用所学的知识了解某广告牌的高度，已知CD＝2m．经测量，得到其它数据如图所示．其中∠CAH＝30°，∠DBH＝45°，AB＝10m，请你根据以上数据计算GH的长．（结果保留根号）7．如图，警务员甲骑电瓶车从A出发，以20km/h的速度沿A→B→C方向巡逻，已知∠ABD＝∠CBD＝30°，∠BDC＝45°，BD＝10km，BC＝2AB．（1）警务员甲需要多少分钟到达C处？（2）警务员甲出发15min后，警务员乙开擎车以50km/h的速度沿A→D→C方向巡逻．试问：甲、乙两人谁先到达C处？（参考数据：≈1.414，≈1.732，≈2.499）8．如图1，图2分别是某种型号拉杆箱的实物图与示意图，根据商品介绍，获得了如下信息：滑竿DE、箱长BC、拉杆AB的长度都相等，即DE＝BC＝AB＝50cm，点B、F在线段AC上，点C在DE上，支杆DF＝30cm．（1）若EC＝36cm时，B，D相距48cm，试判定BD与DE的位置关系，并说明理由；（2）当∠DCF＝45°，CF＝AC时，求CD的长．9．如图1是小明在健身器材上进行仰卧起坐锻炼时的情景，图2是小明锻炼时上半身由ON位置运动到底面CD垂直的OM位置时的示意图，已知AC＝0.66米，BD＝0.26米，α＝30°．（参考数据：＝1.732，＝1.414）（1）求AB的长；（2）若ON＝0.6米，求M，N两点的距离（精确到0.01）．10．桔槔俗称“吊杆”“称杆”（如图1），是我国古代农用工具，始见于《墨子•备城门》，是一种利用杠杆原理的取水机械．如图2所示的是桔槔示意图，OM是垂直于水平地面的支撑杆，OM＝3米，AB是杠杆，且AB＝6米，OA：OB＝2：1．当点A位于最高点时，∠AOM＝127°．（1）求点A位于最高点时到地面的距离；（2）当点A从最高点逆时针旋转54.5°到达最低点A1时，求此时水桶B上升的高度．（参考数据：sin37°≈0.6，sin17.5°≈0.3，tan37°≈0.8）11．有一种升降熨烫台如图1所示，其原理是通过改变两根支撑杆夹角的度数来调整熨烫台的高度．图2是这种升降熨烫台的平面示意图．AB和CD是两根相同长度的活动支撑杆，点O是它们的连接点，OA＝OC，h（cm）表示熨烫台的高度．（1）如图2．若AO＝CO＝80cm，∠AOC＝120°，求AC的长（结果保留根号）；（2）爱动脑筋的小明发现，当家里这种升降熨烫台的高度h为124cm时，两根支撑杆的夹角∠AOC是74°（如图3）．求该熨烫台支撑杆AB的长度．（参考数据：sin37°≈0.6，cos37°≈0.8，sin53°≈0.8，cos53°≈0.6）12．近几年中学生近视的现象越来越严重，为响应国家的号召，某公司推出了如图1所示的护眼灯，其侧面示意图（台灯底座高度忽略不计）如图2所示，其中灯柱BC＝20cm，灯臂CD＝34cm，灯罩DE＝22cm，BC⊥AB，CD、DE分别可以绕点C、D上下调节一定的角度．经使用发现：当∠DCB＝140°，且ED∥AB时，台灯光线最佳．求此时点D到桌面AB的距离．（精确到0.1cm，参考数值：sin50°≈0.77，cos50°≈0.64，tan50°≈1.19）13．图1是某小型汽车的示意图，图2是其后备厢的箱盖打开过程侧面简化示意图，五边形ABCDE表示该车的后备厢的厢体侧面，在打开后备厢的过程中，箱盖AED可以绕点A逆时针方向旋转，当旋转角为60°时，箱盖AED落在AE′D′的位置．若∠EAB＝∠ABC＝∠BCD＝90°，∠AED＝150°，AE＝80厘米，ED＝40厘米，DC＝25厘米，且后备厢底部BC离地面的高CN＝25厘米．（1）求点D′到地面MN的距离（结果保留根号）；（2）求箱盖打开60°时的宽D，D′两点的距离（参考数据：≈1.73，≈2.91，≈116.3，结果取整数）．14．动感单车是一种新型的运动器械，是经过科学地实验设计，它不仅不劳损腰部，还能使得健身达到最大的效果．图①是一辆动感单车的实物图，图②是它的侧面示意图，△DEB为主车架，AB为调节管，点A，B，E在一条直线上，其中AC∥DE，AC∥PQ，点G在线段PQ上，GQ的延长线与BD交于点H，GF∥AE．（1）求证：△BED∽△FGH．（2）已知BE的长为90cm，∠FGH＝70°，当AB的长度调节至30cm时，求点A到DE的距离（参考数据：sin70°≈0.94，cos70°≈0.34，tan70°≈2.75）．15．如图1，是某校操场上边的监控摄像头，图2是其侧面结构示意图，四边形ABCD为机罩，AD∥BC，∠D＝90°，∠A＝75°，机头部分为EFBG，点G在CB的延长线上，已知EF∥CB∥AD，∠E＝90°，BC＝32cm，CD＝20cm，EF＝6cm，EG＝15cm．（1）求监控摄像头的总长GC；（2）若GC与水平地面所成的角为15°，且点G到地面的距离为400cm，求点D到地面的距离．（参考数据：sin75°≈0.97，cos75°≈0.26，tan75°≈3.73，结果精确到0.1cm）16．小亮周末到公园散步，当他沿着一段平坦的直线跑道行走时，前方出现一棵树AC和一栋楼房BD，如图，假设小亮行走到F处时正好通过树顶C看到楼房的E处，此时∠BFE＝30°，已知树高AC＝10米，楼房BD＝30米，E处离地面25米．（1）求树与楼房之间的距离AB的长；（2）小亮再向前走多少米从树顶刚好看不到楼房BD？（结果保留根号）17．小颖的数学学习日记：x月x日：测量旗杆的高度．（1）今天上午王老师要带我们去操场测量旗杆的高度，昨天我们小组设计了一个方案，方案如下：小亮拿着标杆垂直于地面放置，我和小聪用卷尺测量标杆、标杆的影长和旗杆的影长，如图1所示，标杆AB＝a，影长BC＝b，旗杆的影长DF＝c，则可求得旗杆DE的高度为．（2）但今天测量时，阴天没有阳光，就不能用以上的方案了．如图2所示，王老师将升旗用的绳子拉直，使绳子的底端G刚好触到地面，用仪器测得绳子与地面的夹角为37°，然后又将绳子拉到一个0.5米高的平台上，拉直绳子使绳子上的H点刚好触到平台，剩余的绳子长度为5米，此时测得绳子与平台的夹角为54°，利用这些数据能求出旗杆DE的高度吗？（参考数据：sin37°≈0.6，cos37°≈0.8，tan37°≈0.75；sin54°≈0.8，cos54°≈0.58，tan54°≈1.45）请你回答小颖的问题．若能，请求出旗杆的高度；若不能，请说明理由．18．如图，不透明圆锥体DEC放在直线BP所在的水平面上，且BP过圆锥体底面圆的圆心，圆锥体的离为2m，底面半径为2m，某光源位于点A处，照射圆锥体在水平面上留下的影长BE为4m．（1）求∠B的度数；（2）若∠ACP＝60°，求光源A距水平面BP的距离．19．如图①是某市地铁站的一组智能通道闸机，当行人通过智能闸机时会自动识别行人身份，识别成功后，两侧的圆弧翼闸会自动收回到机箱内，行人即可通行．图②是一个智能通道闸机的截面图，已知∠ABC＝∠DEF＝28°，AB＝DE＝60cm，点A、D在同一水平线上，且A、D之间的距离是10cm．（1）试求闸机通道的宽度（参考数据：sin28°≈0.47，cos28°≈0.88，tan28°≈0.53）（2）实验数据表明，一个智能闸机通道平均每分钟检票通过的人数是一个人工检票口通过的人数的2倍．若有240人的团队通过同一个人工检票口比通过同一个智能闸机检票口多用4分钟，求一个人工检票口和一个智能闸机通道平均每分钟检票各通过多少人？20．光线从空气射入水中会发生折射现象，发生折射时，满足的折射定律如图①所示：折射率n＝（α代表入射角，β代表折射角）．小明为了观察光线的折射现象，设计了图②所示的实验：通过细管可以看见水底的物块，但从细管穿过的直铁丝，却碰不上物块．图③是实验的示意图，点A，C，B在同一直线上，测得BC＝7cm，BF＝12cm，DF＝16cm，求光线从空气射入水中的折射率n．参考答案1．解：（1）∵sinβ＝sin53°＝，∴＝，∴BE＝m；（2）∵tanα＝tan37°＝，∴＝，∴OE＝m，∵tanβ＝tan53°＝，∴＝，∴AE＝m，∴OA＝OE﹣AE＝m．2．解：∵∠AOB＝150°，∴∠AOC＝180°﹣∠AOB＝30°，在Rt△ACO中，AC＝11cm，∴AO＝2AC＝22（cm），由题意得：AO＝A′O＝22cm，∵∠A′OB＝108°，∴∠A′OD＝180°﹣∠A′OB＝72°，在Rt△A′DO中，A′D＝A′O•cos18°≈22×0.95＝21（cm），∴此时顶部边缘A'处离桌面的高度A'D的长约为21cm．3．解：（1）过点A作AH⊥BC于点H，如图：∵AB＝AC，∴，在Rt△ABH中，∠ABC＝47°，AB＝50cm，∴BH＝AB×cosB＝50×cos47°≈50×0.68＝34（cm），∴BC＝2BH＝68cm；（2）在Rt△ABH中，∴AH＝AB×sinB＝50×sin47°≈50×0.73＝36.5（cm），∴36.5cm＞35cm，∴当车位锁上锁时，这辆汽车不能进入该车位．4．解：如图，连接AC，过点D作DF⊥AB，垂足为F，延长CD交AE于点B，在Rt△ABC中，∠A＝28°，AC＝10，∴BC＝AC•tan28°≈10×0.53＝5.3，∴BD＝BC﹣CD＝5.3﹣0.5＝4.8．在Rt△BDF中，∠BDF＝∠A＝28°，BD＝4.8，∴DF＝BD•cos28°≈4.8×0.88＝4.224≈4.2．答：坡道口的限高DF的长是4.2m．5．解：（1）连接BD，∵AE⊥BE，PM⊥MN，AB∥MN，∴AB⊥PM，∴∠PAB＝90°，∠AEB＝90°，∴∠ABE＝∠PAD＝90°﹣∠BAE＝α，∵AE＝DE，BE⊥AD，∴AB＝BD，∴∠ABE＝∠DBE，∴∠ABD＝∠DBE+∠ABE＝2α，故答案为：2α；（2）过点D作DC⊥PM交PM于点C，由题意得AB＝250cm，AD＝100cm，则AE＝50cm，∵∠CAD＝∠ABE＝α，∠ACD＝∠AEB＝90°，∴△ACD∽△BEA，∴＝，∴＝，∴CD＝20cm，∴油画顶部到墙壁的距离CD是20cm．解：延长CD交AH于点E，则CE⊥AH，如图所示，设DE＝xm，则CE＝（x+2）m，在Rt△AEC和Rt△BED中，tan30°＝，tan45°＝，∴AE＝，BE＝，∵AE﹣BE＝AB，∴﹣＝10，﹣＝10，解得：x＝4+2，∴DE＝（4+2）m，∴GH＝CE＝CD+DE＝2m+（4+2）m＝（4+4）m．答：GH的长为（4+4）m．7．解：（1）如图，过点E作CE⊥BD于E，∴∠BEC＝∠DEC＝90°，设AB＝x，则BC＝2x，在Rt△BCE中，∠CBD＝30°，∴BE＝BC•cos30°＝x，CE＝x，在Rt△DCE中，∠EDC＝45°，∴DE＝＝x，∵BE+DE＝BD＝10km，∴x+x＝10，解得：x＝AB＝5（﹣1）km，∴BC＝2AB＝10（﹣1）km，∴≈32.94（min），∴警务员甲需要32.94分钟到达C处；（2）警察乙先到达C处．理由：如图，过点A作AF⊥BD于F，∴∠BFA＝∠DFA＝90°，在Rt△BFA中，∠ABF＝30°，∴AF＝AB•sin30°＝（km），BF＝AB•cos30°＝（km），∴DF＝10﹣＝（km），在Rt△DFA中，AD＝＝5（km），在Rt△CDE中，∠EDC＝45°，由（1）知CE＝5（﹣1）km，∴CD＝＝5（）km，∴＝≈29.694＜32.94，∴警察乙先到达C处．8．解：（1）BD⊥DE，理由：连接BD，∵EC＝36cm，DE＝50cm，∴CD＝DE﹣EC＝14cm，∵BC＝50cm，BD＝48cm，∴CD2+BD2＝142+482＝2500，BC2＝502＝2500，∴CD2+BD2＝BC2，∴△BCD是直角三角形，∴∠BDC＝90°，∴BD⊥DE；（2）过点F作FH⊥CD，垂足为H，∵BC＝AB＝50cm，∴AC＝AB+BC＝100（cm），∵CF＝AC，∴CF＝×100＝20（cm），在Rt△CFH中，∠DCF＝45°，∴FH＝CF•sin45°＝20×＝10（cm），CH＝CF•cos45°＝20×＝10（cm），∵DF＝30cm，∴DH＝＝＝10（cm），∴CD＝CH+DH＝（10+10）cm，∴CD的长为（10+10）cm．9．解：（1）如图，过B作BE⊥AC于E，则四边形CDBE为矩形，∴CE＝BD＝0.26米，AC＝0.66米，∴AE＝AC﹣EC＝0.66﹣0.26＝0.40（米）在Rt△AEB中，∵α＝30°∴AB＝2AE＝2×0.40＝0.80（米）；（2）如图，过N作NF⊥MO交射线MO于F点，则FN∥EB，∴∠ONF＝α＝30°，∵ON＝0.6，∴ON＝0.3，∵OM＝ON＝0.6，∴MF＝0.9，∴∠FON＝90°﹣30°＝60°，∴，在Rt△MFN中，（米），∴M，N两点的距离约为1.04米．10．解：（1）过O作EF⊥OM于O，过A作AG⊥EF于G，∵AB＝6米，OA：OB＝2：1，∴OA＝4米，OB＝2米，∵∠AOM＝127°，∠EOM＝90°，∴∠AOE＝127°﹣90°＝37°，在Rt△AOG中，AG＝AO×sin37°≈4×0.6＝2.4（米），点A位于最高点时到地面的距离为2.4+3＝5.4（米），答：点A位于最高点时到地面的距离为5.4米；（2）过O作EF⊥OM，过B作BC⊥EF于C，过B1作B1D⊥EF于D，∵∠AOE＝37°，∴∠BOC＝∠AOE＝37°，∠B1OD＝∠A1OE＝17.5°，∵OB1＝OB＝2（米），在Rt△OBC中，BC＝sin∠OCB×OB＝sin37°×OB≈0.6×2＝1.2（米），在Rt△OB1D中，B1D＝sin17.5°×OB1≈0.3×2＝0.6（米），∴BC+B1D＝1.2+0.6＝1.8（米），∴此时水桶B上升的高度为1.6米．11．解：（1）如图2，过点O作OE⊥AC，垂足为E，∵AO＝CO，∴∠AOE＝∠AOC＝×120°＝60°，AC＝2AE．在Rt△AEO中，AE＝AO•sin∠AOE＝80×＝40（cm），∴AC＝2AE＝2×40＝80（cm）．答：AC的长为80cm.（2）如图3，过点B作BF⊥AC，垂足为F，则BF＝128cm．∵AO＝CO，∠AOC＝74°，∴∠OAC＝∠OCA＝＝53°．在Rt△ABF中，AB＝＝＝160（cm）．答：支撑杆AB长160cm．12．解：过点D作DG⊥AB，垂足为G，过点C作CF⊥DG，垂足为F，如右图所示，∵CB⊥AB，FG⊥AB，CF⊥FG，∴∠B＝∠BGF＝∠GFC＝90°，∴四边形BCFG为矩形，∴∠BCF＝90°，FG＝BC＝20cm，又∵∠DCB＝140°，∴∠DCF＝50°，∵CD＝34cm，∠DFC＝90°，∴DF＝CD•sin50°≈34×0.77＝26.18（cm），∴DG≈26.18+20≈46.2（cm），答：点D到桌面AB的距离约为46.2cm．13．解：（1）延长CD，AE相交于点F，过点E′作E′G⊥AF，垂足为G，过点D′作D′H⊥BC，垂足为H，交AF于点P，过点E′作E′Q⊥D′H，垂足为Q，由题意得：E′G＝QP，AB＝PH＝FC，∠GE′Q＝90°，∠AFD＝90°，∵∠AED＝150°，∴∠FED＝180°﹣∠AED＝30°，在Rt△EFD中，ED＝40厘米，∴FD＝ED＝20（厘米），∵DC＝25厘米，∴AB＝PH＝FC＝FD+CD＝45（厘米），由旋转得：DE＝E′D′＝40厘米，AE′＝AE＝80厘米，∠AED＝∠AE°D′＝150°，∠E′AE＝60°，∵∠AGE′＝90°，∴∠AE′G＝90°﹣∠E′AG＝30°，∴∠D′E′Q＝∠AE′D′﹣∠AE′G﹣∠GE′Q＝30°，在Rt△D′E′Q中，D′Q＝D′E′＝20（厘米），在Rt△AE′G中，E′G＝AE′•sin60°＝80×＝40（厘米），∴QP＝E′G＝40厘米，∴点D′到地面MN的距离＝D′Q+QP+PH+CN＝20+40+45+25＝（90+40）厘米，∴点D′到地面MN的距离为（90+40）厘米；（2）连接AD′，AD，DD′，由旋转得：AE＝AE′＝80厘米，∠DAD′＝60°，AD＝AD′，∴△ADD′是等边三角形，∴DD′＝AD，在Rt△EFD中，∠FED＝30°，DF＝20厘米，∴EF＝DF＝20（厘米），∴AF＝AE+EF＝（80+20）厘米，在Rt△ADF中，AD＝＝≈116（厘米），∴AD＝DD′＝116厘米，∴箱盖打开60°时的宽D，D′两点的距离约为116厘米．14．（1）证明：∵AC∥DE，AC∥PQ，∴PQ∥DE，∴∠GHF＝∠EDB，又∵GF∥AE，∴∠GFH＝∠DBE，∴△BED∽△FGH；（2）解：如图，过点A作AM⊥DE于点M．∵△GFH∽△EBD，∴∠E＝∠FGH＝70°．在Rt△EAM中，sinE＝，即sin70°＝，∴AM≈120×0.94＝112.8cm，答：点A到DE的距离约为112.8cm．15．解：（1）过点F作FH⊥GB，垂足为H，∴∠FHG＝∠FHB＝90°∵EF∥BC，∠E＝90°，∴∠G＝180°﹣∠E＝90°，∴四边形EGHF是矩形，∴EF＝GH＝6cm，EG＝FH＝15cm，∵AD∥BC，∴∠A＝∠FBH＝75°，在Rt△FHB中，BH＝≈≈4.02（cm），∴GC＝GH+BH+BC＝42.0（cm），∴监控摄像头的总长GC约为42.0cm；（2）过点G作水平地面的平行线GP，交DC的延长线于点P，过点D作DQ⊥GP，垂足为Q，由题意得：∠CGP＝15°，∵AD∥BC，∠D＝90°，∴∠D＝∠GCP＝90°，∴∠GPC＝90°﹣∠CGP＝75°，在Rt△GCP中，GC＝42.0cm，∴CP＝≈≈11.26（cm），∵DC＝20cm，∴DP＝DC+CP＝31.26（cm），在Rt△DGP中，DQ＝DP•sin75°≈31.26×0.97≈30.32（cm），∵点G到地面的距离为400cm，∴点D到地面的距离＝30.32+400≈430.3（cm），∴点D到地面的距离约为430.3cm．16．解：（1）由题意得：BE＝25米，∠DBF＝90°，