有限元方法1-概述

现代设计方法有限元方法（1）华中科技大学王书亭吴义忠有限元方法——概述了解有限元在工程中应用了解有限元分析的基本思想求解有限元问题的过程简单问题有限元求解示例在工程分析和科学研究中，常常会遇到大量的由常微分方程、偏微分方程及相应的边界条件描述的场问题，如位移场、应力场和温度场等问题。1-1有限元法工程应用场景蓄水后大坝的位移与应变情况、地震时大坝的位移与应变情况等三峡大坝的受力情况

航天飞机飞行中的受热分析温度场分布

磁场分布

分析卫星、飞船在轨运行时磁场的影响

汽车/航天器空气动力学--流场工程“场”问题的三种解决方法:(1)理论分析(exactsolutions)(2)数值方法:

a.有限差分（Finitedifferencemethod,

b.有限元（FiniteElementMethod,c.边界元（Boundaryelementmethod;(3)经验方法

其中，能用解析法求出精确解的只能是方程性质比较简单且几何边界相当规则的少数问题。传统的解析法要对一个实际的物理系统作出多种假设，比如形状假设、连续性假设等，然后通过经典理论方法得出问题的解析解，可得出实际问题的连续解，比如用方程描述三峡大坝某一点的位移和应变，但这样的解析解往往和实际情况有比较大的偏差。这对于精度要求不高的领域是可以的，但对于有些领域，就不能满足实际的需要了。

而对于绝大多数问题，则很少能得出解析解。这就需要研究它的数值解法，以求出近似解。有限元的含义

FiniteElementMethodLimited;Definite.Cell;Basicunit.Technique;Skill.1943年，Courant提出有限元法概念1956年，Turner和Clough第一次用三角形单元离散飞机机翼，借助有限元法概念研究机翼的强度及刚度1960年，Clough正式提出有限元法（FEM）20世纪60年代以后，由于数学界的参与，FEM得到蓬勃发展，并且扩大了应用发展简史

有限元分析是一种工程物理问题的数值分析方法，根据近似分割和能量最低原理，把求解区域离散为有限个单元的组合，研究每个单元的特性，组装各单元，通过变分原理（虚位移原理），把问题化成线性代数方程组求解。

化整为零，裁弯取直，变难为易，先拆后搭定义分析指导思想载荷节点单元载荷1）单元（element）将求解的工程结构看成是由许多小的、彼此用点联结的基本构件如杆、梁、板和壳组成的，这些基本构件称为单元。在有限元法中，单元用一组节点间相互作用的数值和矩阵（刚度系数矩阵）来描述。几个基本概念2）节点（node）单元与单元之间的联结点，称为节点。在有限元法中，节点就是空间中的坐标位置，它具有物理特性，且存在相互物理作用。节点:空间中的坐标位置，具有一定属性，相互之间存在物理作用。单元:节点间相互作用的对象，用一组节点相互作用的数值矩阵描述（称为刚度或系数矩阵)。载荷载荷有限元模型由一些简单形状的单元组成，单元之间通过节点连接，并承受一定载荷。1-2有限元法基本思想先将求解域离散为有限个单元，单元与单元只在节点相互连接；----即原始连续求解域用有限个单元的集合近似代替对每个单元选择一个简单的场函数近似表示真实场函数在其上的分布规律，该简单函数可由单元节点上物理量来表示----通常称为插值函数或位移函数基于问题（杆、平面）的基本方程，建立单元节点的平衡方程：节点载荷=f(Ki,节点位移)联立所有单元节点的平衡方程，形成一组全部节点载荷与节点位移关系的方程组（线性）：{节点载荷}=F(K,{节点位移}）引入边界条件求解该方程组。有限元法的分析过程可概括如下：1

连续体离散化2

单元分析3

整体分析4

确定约束条件5

有限元方程求解6

结果分析与讨论1-3有限元法过程

1.连续体离散化

连续体：是指所求解的对象（如物体或结构）。

离散化（划分网格或网络化）：是将所求解的对象划分为有限个具有规则形状的微小块体，把每个微小块体称为单元，相邻两个单元之间只通过若干点互相连接，每个连接点称为节点。相邻单元只在节点处连接，载荷也只通过节点在各单元之间传递，这些有限个单元的集合体，即原来的连续体。

单元划分后，给每个单元及节点进行编号；

选定坐标系，计算各个节点坐标；

确定各个单元的形态和性态参数以及边界条件等。离散为单元网格的冲压件仍然要保证是一个连续体，单元与单元之间没有裂缝、不能重叠，所有单元通过单元节点相互关联着板料无论产生多大的塑性变形，单元与单元之间依然不会产生裂缝、交叉和重叠，关联单元的节点也不能脱开有限元法的基本思想有限元法的基本思想不合格单元单元裂缝单元重叠HyperMesh

根据研究对象的不同，有限元法中采用的单元形式也不相同。

通常，按照单元结构，可将单元划分为一维单元（线单元）、二维单元（面单元）和三维单元JIJKLI一维单元二维单元POMNKJIL三维单元有限元法的基本思想典型单元类型

单元类型单元图形节点数节点自由度杆单元21平面梁单元23平面三角形单元32平面四边形单元42轴对称三角形单元32板壳四边形单元43三维四面体单元43按照单元结构特点和受力特点，可将单元划分为：1）平面杆单元：主要应用于受轴向力作用的杆和杆系，如桁架结构；2）平面梁单元：用于梁及刚架结构分析；3）三角形平面单元：主要用于弹性力学中平面应力和平面应变问题的有限元分析；4）三棱圆环单元：用于轴对称问题的有限元分析；5）等参数单元：用于一些具有曲线轮廓的复杂结构。2.单元分析

连续体离散化后，即可对单元体进行特性分析，简称为单元分析。

单元分析工作主要有两项：

(1)选择单元位移模式(位移函数)

用节点位移来表示单元体内任一点的位移、应变和应力，就需搞清各单元中的位移分布。

一般是假定单元位移是坐标的某种简单函数，用其模拟内位移的分布规律，这种函数就称为位移模式或位移函数。通常采用的函数形式多为多项式（线性或二次）。

根据所选定的位移模式，就可以导出用节点位移来表示单元体内任一点位移的关系式。单位刚度矩阵是由单元节点位移量求单元节点力向量的转移矩阵，其关系式为:

进行单元力学特性分析，将作用在单元上的所有力（表面力、体积力、集中力）等效地移置为节点载荷；采用有关的力学原理建立单元的平衡方程，求得单元内节点位移与节点力之间的关系矩阵-------单元刚度矩阵。

(2)分析单元的特性，建立单元方程，得到单元刚度矩阵3.整体分析

联立方程组，得到总刚矩阵。相当于把各个单元的刚度矩阵集成为总体刚度矩阵，以及将各单元的节点力向量集成总的力向量，求得整体平衡方程。集成总体刚度矩阵[K]并写出总体平衡方程：[K]是由整体节点位移向量求整体节点力向量的转移矩阵，其关系式为，这就是总体平衡方程。4.确定约束条件

由上述所形成的整体平衡方程是一组线性代数方程，是欠约束的。需确定求解对象问题的边界约束条件，并对这些方程进行适当修正。5.

有限元方程求解

通过求解整体平衡方程，即可求得各节点的位移进而根据位移可计算单元的应力及应变。6.

结果分析与讨论

网架杆件节点位移单元刚度矩阵总刚度矩阵总刚度方程节点位移值单元内应力应变单元内力与节点位移间关系引入边界条件节点平衡及变形协调条件基本单元基本未知量一维杆系单元定义：杆系结构中的杆件、梁、柱等称为杆系单元。连接的点称为节点。结构离散一般原则：杆系的交叉点、边界点、集中力作用点、杆件截面尺寸突变处等都应该设置节点，节点之间的杆件即构成单元。F节点1节点2单元①节点3节点2单元②1-4有限元法求解实例分析【例1】一根由两段组成的阶梯轴，一端固定，另一端承受一个轴向载荷F3。这两段的横截面积分别为A(1)和A(2)，长度分别为L(1)和L(2)，弹性模量分别为E(1)和E(2)

，求出这两段的应力和应变。已知数据分别为F3=100N，F2=0N，1①2②3A(1)E(1)A(2)E(2)L(1)

L(2)

①②2Φ1F2F3Φ2Φ3F1F3132023/2/1【解】1.离散化把这根阶梯轴看成是由两个单元组成的，节点选在截面积突变处，两个单元的连接处是一个节点，该阶梯轴的两端视为另外两个节点，所以整个结构共有三个节点。这根轴是一维结构，并只受轴向载荷，因此各单元内只有轴向位移。三个节点位置的位移量分别记为、、。在整个结构中节点载荷及节点位移均用大写字母标记，其角标为节点在总体结构中的编码，简称总码。

2.求单元刚度矩阵

下面分析某等截面单元（e）。当两端分别承受两个轴向力和作用时的位移情况。根据材料力学的知识可知，在两端节点i、j处的位移量和与轴向力和的关系式为注意在分析单元刚度矩阵时，载荷F和位移等参数的上角标为该单元的编码，下角标为该单元内节点的局部编码。上两式可写成：或简写为：式中—为单元刚度矩阵或单元特性矩阵，其阶数等于单元中所包含的节点数；

—为单元节点力向量

——为单元节点位移向量（列阵），也为单元自由度列阵；将单元刚度矩阵改写成矩阵的标准形式，则

该矩阵中任意一个元素都称为单元刚度系数，它表示：

该单元内除节点j产生单位位移外，其余各节点的位移均为零时在节点i

处所引起的载荷。3.总体刚度矩阵的集成和总体平衡方程的写出

该阶梯轴上三个节点位移、、（待求）和三个节点轴向力（已知），分别组成该整体结构的节点位移向量和节点轴向力向量。

两向量间的转换关系可表示为或

上式中的转移矩阵称为总体刚度矩阵或总体特性矩阵，其阶数等于总体结构中的节点总数。

[K]中的元素称为总体刚度系数，它表示在整体结构中除了节点j

产生单位位移外，其余各节点的位移均为零时在节点i处所引起的载荷。

求出总体刚度矩阵是进行总体分析的主要任务，一旦获得总体刚度矩阵，可以很容易地写出总体平衡方程。求总体刚度矩阵[K]的方法主要由两种：一是直接法，即根据总体刚度系数的定义求解；另一种方法是集成法，即由各单元刚度矩阵求总体刚度矩阵。

直接法根据刚度系数的定义，由材料力学方法求得总刚矩阵中的各个系数。详见书P104页。直接法具有概念清晰的特点，但是在分析复杂结构时运算极其复杂，因而限制了它的应用。

用集成法求总体刚度矩阵[K]

这种方法从单元刚度矩阵出发，根据迭加原理，利用刚度系数集成的方法获得总体刚度矩阵。这样，首先要写出各单元的刚度矩阵。局部码1(1)2(1)1(2)2(2)总码1223节点的局部码与总码对应关系约定：

集成[K]的步骤为：

（1）将原单元刚度矩阵中的各系数进行总码标记，则

（2）将角标相同的系数相加，并按总码的顺序排列，则总体刚度矩阵为：总体平衡方程为：

获得的总体刚度矩阵与直接法得到的矩阵相同。

单刚矩阵合并总刚矩阵的原理基于单元分析（两个方程）中间节点力平衡（增加一个方程）联立处理后，得到的系数矩阵正好是总刚矩阵K4.引入支撑条件，计算节点位移

上式中的未知量仍不能求出，因为[K]是一个奇异矩阵（物体可以平移，位移有无穷解），必须引入支撑条件。在本例中支撑条件是节点1的位移为零，即这样总体平衡方程简化为：

F1=0?

代入已知条件：

可求得：

5.求单元中的应力及应变单元1中的应变：单元2中的应变：单元1中的应力：单元2中的应力：

一般而言，刚度矩阵具有如下特性：1）对称性

单元刚度矩阵和总体刚度矩阵都是对称方阵，即由第j个节点单位位移引起的第i个节点载荷和由第i个节点单位位移引起的第j个节点载荷是相等的。这是弹性结构一个共同的特点。这种对称性可减少矩阵存储运算时的内存量。

2）奇异性单元刚度矩阵和总体刚度矩阵都是奇异矩阵，即它们的行列式都等于0，这样，其逆阵就不存在。因此，对总体刚度矩阵要引入边界条件进行处理之后才能求解。3）稀疏性

总体刚度矩阵是零元素非常多的