《必修4》第1章第1节1.1.1任意角

1.1任意角和弧度制

1.1.1任意角第一章三角函数

知识回顾1.想一想，初中时我们是怎么定义角的？角的取值范围如何？

定义：角是由平面内一点引出的两条射线所组成的图形。范围：0o~~360o

过去我们学习了0o≤α≤360o范围的角，但在实际问题中还会遇到其他角．再如钟表的指针、拧动螺丝的扳手等，它们按照不同方向旋转所成的角，不全是0o≤α≤360o范围内的角.因此，我们必须将角的概念进行推广.

知识探究（一）：角的概念的推广

思考1：怎样升级角的定义，让它更科学更合理？由平面内一条射线绕其端点从一个位置旋转到另一个位置所组成的图形.oAB思考2：如图，一条射线的端点是O，它从起始位置OA旋转到终止位置OB，形成了一个角α，其中点O，射线OA、OB分别叫什么名称？AOB始边终边顶点思考3：为了区分形成角的两种不同的旋转方向，可以作怎样的规定？如果一条射线没有作任何旋转，它还形成一个角吗？

规定：按逆时针方向旋转形成的角叫做正角，按顺时针方向旋转形成的角叫做负角．如果一条射线没有作任何旋转，则称它形成了一个零角.思考4：如何确定一个角呢？①方向：顺时针、逆时针②圈数2、有结果1、有过程终点位置说明：1、角的正负的规定纯属习惯；任何新概念，新知识的产生，都有它的现实意义，生活需要。①考虑：生活中对旋转有无正负之分呢？2、零角无正负，始边与终边重合考虑：始边与终边重合的角是零角，对否？

②考虑：将水龙头打开时，手柄旋转所成的角是正？是负？画图表示一个大小一定的角，先画一条射线作为角的始边，再由角的正负确定角的旋转方向，再由角的绝对值大小确定角的旋转量，画出角的终边，并用带箭头的螺旋线加以标注.βγAB1αO思考5：度量一个角的大小，既要考虑旋转方向，又要考虑旋转量，通过上述规定，角的范围就扩展到了任意大小.对于α＝210°，β＝－150°，γ＝－660°，你能用图形表示这些角吗？你能总结一下作图的要点吗？

知识探究（二）：象限角

思考1：如果角的终边在第几象限，我们就说这个角是第几象限的角；如果角的终边在坐标轴上，就认为这个角不属于任何象限，或称这个角为轴线角.那么下列各角：-50°，405°，210°,-200°，－450°分别是第几象限的角？－50°xyoxyo210°－450°xyo405°xyo－200°xyo思考3：第二象限的角一定比第一象限的角大吗？象限角只能反映角的终边所在象限，不能反映角的大小.思考2：锐角是第几象限角？第一象限角一定是锐角吗？思考4：在直角坐标系中，135°角的终边在什么位置？终边在该位置的角一定是135°吗？xyo知识探究（三）：终边相同的角

思考1：－32°，328°，－392°是第几象限的角？这些角有什么内在联系？－32°328°=﹣32°+360°﹣392°=﹣32°-360°思考2：与－32°角终边相同的角有多少个？这些角与－32°角在数量上相差多少？

思考3：所有与－32°角终边相同的角，连同－32°角在内，可构成一个集合S，你能用描述法表示集合S吗？

S={β|β=﹣32°＋k·360°，k∈Z}k·360°（k∈Z）S={β|β=α＋k·360°，k∈Z}，即任一与α终边相同的角，都可以表示成角α与整数个周角的和.思考4：一般地，所有与角α终边相同的角，连同角α在内所构成的集合S可以怎样表示？

注：①k∈Z；②角相等，终边一定相同；但终边相同，角不一定相等，这样的角有无穷多个，它们相差360°的整数倍；③α是任意角(正角，负角，零角)，但一般人们通常选用0°到360°之间的角，以便观察它是第几象限角．①锐角：

②小于90°的角：

③第一象限角：

区分几个容易混淆的角{α|0°＜α＜90°}{α|α＜90°}{α|k·360°＜α＜k·360°+90°，k∈Z}0°～90°：{α|0°≤α<90°}例l、在0°～360°范围内，找出与下列各角终边相同的角，并判定它们是第几象限角：①1110°②-1234°③-540°48`解：①1110°=30°+3×360°与30°的角终边相同，是第一象限角②-1234°=206°+(-4)×360°与206°的角终边相同，是第三象限角③

-540°48`=179°12`+(-2)×360°与179°12`的角终边相同，是第二象限角理论迁移思考5：终边在第一、二、三、四象限的角的集合分别如何表示？

第一象限：S={α|k·360°<α<90°＋k·360

°，k∈Z}；第二象限：S={α|90°＋k·360°<α<180°＋k·360°，k∈Z}；第三象限：S={α|180°＋k·360°<α<270°＋k·360°，k∈Z}；第四象限：S={α|－90°＋k·360°<α<k·360°，k∈Z}.思考6：终边在x轴正半轴、负半轴，y轴正半轴、负半轴上的角分别如何表示？

x轴正半轴：α=k·360°，k∈Z；x轴负半轴：α=180°＋k·360°，k∈Z；y轴正半轴：α=90°＋k·360°，k∈Z；y轴负半轴：α=270°＋k·360°，k∈Z.思考7：终边在x轴、y轴上的角的集合分别如何表示？

终边在x轴上：S={α|α=k·180°，k∈Z}；终边在y轴上：

S={α|α=90°＋k·180°，k∈Z}.小结1.角的概念推广后，角的大小可以任意取值.把角放在直角坐标系中进行研究，对于一个给定的角，都有唯一