东北大学材料力学5

第五章弯曲应力§5–1引言§5–2平面弯曲时梁横截面上的正应力§5–3惯性矩的计算§5–4梁横截面上的切应力§5–5正应力和剪应力的强度计算§5–6开口薄壁截面的弯曲中心第五章弯曲应力§5–1引言第五章弯曲应力1、弯曲构件横截面上的内力内力剪力Q应力？弯矩M应力？§5–1引言§5–1引言2、研究方法纵向对称面P1P2例如：平面弯曲：§5–1引言平面弯曲时横截面s纯弯曲梁(横截面上只有M而无Q的情况)平面弯曲时横截面t剪切弯曲(横截面上既有Q又有M的情况)§5–1引言某段梁的内力只有弯矩没有剪力时，该段梁的变形称为纯弯曲。如AB段。aaABQMxx纯弯曲(PureBending):§5–2平面弯曲时梁横截面上的正应力第五章弯曲应力§5–2平面弯曲时梁横截面上的正应力1.梁的纯弯曲实验横向线(ab、cd）变形后仍为直线，但有转动；纵向线变为曲线，且上缩下伸；横向线与纵向线变形后仍正交。（一）变形几何规律：一、纯弯曲时梁横截面上的正应力中性层纵向对称面中性轴bdacabcdMM§5–2平面弯曲时梁横截面上的正应力横截面上只有正应力。

平面假设：横截面变形后仍为平面，只是绕中性轴发生转动，距中性轴等高处，变形相等。

（可由对称性及无限分割法证明）3.推论2.两个概念中性层：梁内一层纤维既不伸长也不缩短，因而纤维不受拉应力和压应力，此层纤维称中性层。中性轴：中性层与横截面的交线。§5–2平面弯曲时梁横截面上的正应力A1B1O1O4.几何方程：

abcdABdqrxy)))OO1)§5–2平面弯曲时梁横截面上的正应力（二）物理关系：假设：纵向纤维互不挤压。于是，任意一点均处于单项应力状态。sxsx（三）静力学关系：EIz杆的抗弯刚度。§5–2平面弯曲时梁横截面上的正应力（对称面）……(3)其中：……(5)§5–2平面弯曲时梁横截面上的正应力（四）最大正应力：其中：§5–3惯性矩的计算第五章弯曲应力§5–3惯性矩的计算一简单截面①矩形(b×h)yzhb§5–3惯性矩的计算②圆形yzyz§5–3惯性矩的计算二平行移轴公式cozyzyba§5–3惯性矩的计算三组合截面的惯性矩§5–3惯性矩的计算例：T形截面如图所示，求其对中性轴的惯性矩解：(1)形心的位置：（中性轴）以z’轴为参考轴60602020zz’§5–3惯性矩的计算(2)求各组成部分对z轴的惯性矩(3)求组合截面的惯性矩60602020zz’§5–3惯性矩的计算解：①查表20a号工字钢16号槽钢②形心：10101.75z例：图示20a号工字钢和16号槽钢组成的截面，求其对中性轴的惯性矩§5–3惯性矩的计算③惯性矩：20a号工字钢16号槽钢10101.75z§5–4正应力和切应力的强度条件第五章弯曲应力§5–3平面弯曲时梁横截面上的切应力一、矩形截面梁横截面上的剪应力1、两点假设：

剪应力与剪力平行；

矩中性轴等距离处，剪应力

相等。2、研究方法：分离体平衡。

在梁上取微段如图b；

微段上取一块如图c，平衡dxxQ(x)+dQ(x)M(x)yM(x)+dM(x)Q(x)dxsxyzs1t1tb图a图b图c§5–3平面弯曲时梁横截面上的切应力dxxQ(x)+dQ(x)M(x)yM(x)+dM(x)Q(x)dxsxyzs1t1tb图a图b图c由剪应力互等§5–3平面弯曲时梁横截面上的切应力Qt方向：与横截面上剪力方向相同；t大小：沿截面宽度均匀分布，沿高度h分布为抛物线。最大剪应力为平均剪应力的1.5倍。二、其它截面梁横截面上的剪应力1、研究方法与矩形截面同;剪应力的计算公式亦为：其中Q为截面剪力；Sz为y点以下的面积对中性轴之静矩；结论：翼缘部分tmax«腹板上的tmax，只计算腹板上的tmax。铅垂剪应力主要腹板承受（95~97%），且tmax≈tmin

故工字钢最大剪应力§5–3平面弯曲时梁横截面上的切应力2、几种常见截面的最大弯曲剪应力

Iz为整个截面对z轴之惯性矩；b

为y点处截面宽度。①工字钢截面：;»maxAQtfAf—腹板的面积。;»maxAQtf§5–3平面弯曲时梁横截面上的切应力

②圆截面：③薄壁圆环：④槽钢：exyzPQeQeh§5–3平面弯曲时梁横截面上的切应力①工字钢截面：Af—腹板的面积。;»maxAQtf②矩形截面：③圆截面：④薄壁圆环：§5–4正应力和切应力的强度计算第五章弯曲应力§5–4正应力和切应力的强度计算1、危险面与危险点分析：一般截面，最大正应力发生在弯矩绝对值最大的截面的上下边缘上；最大剪应力发生在剪力绝对值最大的截面的中性轴处。QtsssMt一、梁的正应力和剪应力强度条件§5–4正应力和切应力的强度计算2、正应力和剪应力强度条件：带翼缘的薄壁截面，最大正应力与最大剪应力的情况与上述相同；还有一个可能危险的点，在Q和M均很大的截面的腹、翼相交处。3、强度条件应用：依此强度准则可进行

三种强度计算：sMQtts§5–4正应力和切应力的强度计算4、需要校核剪应力的几种特殊情况：铆接或焊接的组合截面，其腹板的厚度与高度比小于型钢的相应比值时，要校核剪应力。梁的跨度较短，M较小，而Q较大时，要校核剪应力。各向异性材料（如木材）的抗剪能力较差，要校核剪应力。Œ校核强度：设计截面尺寸：Ž设计载荷：3、强度计算：最大正应力：……(5)dbh§5–4正应力和切应力的强度计算DdDd=abBhH§5–4正应力和切应力的强度计算例1受均布载荷作用的简支梁如图所示，试求：（1）1——1截面上1、2两点的正应力；（2）此截面上的最大正应力；（3）全梁的最大正应力；（4）已知E=200GPa，求1—1截面的曲率半径。Q=60kN/mAB1m2m11xM+M1Mmax12120180zy解：画M图求截面弯矩30§5–4正应力和切应力的强度计算Q=60kN/mAB1m2m11xM+M1Mmax12120zy求应力18030§5–4正应力和切应力的强度计算求曲率半径Q=60kN/mAB1m2m11xM+M1Mmax1212018030§5–4正应力和切应力的强度计算§5–4正应力和切应力的强度计算解：画内力图求危面内力例2矩形(bh=0.12m0.18m）截面木梁如图，[]=7MPa，[]=0.9MPa，试求最大正应力和最大剪应力之比,并校核梁的强度。q=3.6kN/mxM+ABL=3mQ–+x§5–4正应力和切应力的强度计算求最大应力并校核强度应力之比q=3.6kN/mxM+Q–+x§5–4正应力和切应力的强度计算y1y2GA1A2A3A4解：画弯矩图并求危面内力例3T字形截面的铸铁梁受力如图，铸铁的[L]=30MPa，[y]=60MPa，其截面形心位于C点，y1=52mm，y2=88mm，

Iz=763cm4，试校核此梁的强度。并说明T字梁怎样放置更合理？画危面应力分布图，找危险点P1=9kN1m1m1mP2=4kNABCDx2.5kNm-4kNmM§5–4正应力和切应力的强度计算校核强度T字头在上面合理。y1y2GA1A2A3A4x2.5kNm-4kNmMy1y2GA3A4§5–4正应力和切应力的强度计算二、梁的合理截面（一）矩形木梁的合理高宽比R北宋李诫于1100年著«营造法式»一书中指出:矩形木梁的合理高宽比(h/b=1.5)英(T.Young)于1807年著«自然哲学与机械技术讲义»一书中指出:矩形木梁的合理高宽比为bh§5–4正应力和切应力的强度计算强度：正应力：剪应力：1、在面积相等的情况下，选择抗弯模量大的截面其它材料与其它截面形状梁的合理截面zDzaa§5–4正应力和切应力的强度计算zD0.8Da12a1z§5–4正应力和切应力的强度计算工字形截面与框形截面类似。0.8a2a21.6a22a2z§5–4正应力和切应力的强度计算sGz对于铸铁类抗拉、压能力不同的材料，最好使用T字形类的截面，并使中性轴偏于抗变形能力弱的一方，即：若抗拉能力弱，而梁的危险截面处又上侧受拉，则令中性轴靠近上端。如下图：2、根据材料特性选择截面形状§5–5开口薄壁截面的弯曲中心第五章弯曲应力§5–5开口薄壁截面的弯曲中心槽钢：非对称截面梁发生平面弯曲的条件：外力必须作用在主惯性面内，中性轴为形心主轴，,若是横向力，还必须过弯曲中心。exyzPPsMQe§5–5开口薄壁截面的弯曲中心弯曲中心的确定:(1)双对称轴截面，弯心与形心重合。(