2022衡水中学政治内部学习资料专题02 平面向量（新高考地区专用）（解析版）

专题02平面向量技巧导图技巧导图技巧详讲技巧详讲一：奔驰定理1：奔驰定理内容---三角形的面积比等于其所对应的系数比已知是内的一点，的面积分别为，，，求证：2.推导过程证明方法一：如图延长与边相交于点则推论是内的一点，且，则二.极化恒等式2.推导过程：三角形的四心1.推论重心：中线的交点，①是的重心②中线长度分成2：1③=内心：角平分线的交点（内切圆的圆心），角平分线上的任意点到角两边的距离相等①是的内心②外心：①是的外心②垂心：高线的交点，高线与对应边垂直①是的垂心:证明：如图为三角形的垂心，同理得，②由，得，即，所以．同理可证，．技巧举证技巧举证技巧1奔驰定理【例1】是内一点，满足，则（）A． B． C． D．【答案】B【解析】技巧法：公共点P，三角形ABC，则常规法：是内一点，且满足，．延长到，使得，延长到，使得，连结、、，则．是的重心，设，则，，，，．故选：．技巧法注意事项技巧法注意事项条件一般是3个同起点的向量相加减且等于零向量，若系数有正有负则公共点在三角形外，系数都为正则公共点在三角形内三角形所对应的向量的找法图像法：三角形顶上的向量顶点法：公共点即起点，剩余3点构成三角形的三个顶点，对应的向量两个点其中一个点为公共点，另外一点则是三角形的顶点。【举一反三】1.已知所在平面内一点，满足，则与的面积的比值为（）A． B． C． D．【答案】C【解析】技巧法,所以,即公共点为P，三角形ABC，则所对应的向量，其系数为2，为整个三角形，其所对应的系数为三个向量的系数,6，所以面积比为常规法：如图所示,,所以,即,所以,设和的中点分别为,则由可得,即,即点是的中位线上靠近点的三等分点,所以,故选:C2.（广东省深圳外国语学校2020）点是所在平面上一点，若，则与的面积之比是（）A．3 B．2 C． D．【答案】D【解析】技巧法：公共点为A，三角形为PCB，则与对应的向量为，则与的面积之比为常规法：点是所在平面上一点，过作，如下图所示：由，故，所以与的面积之比为，故选：D．3.（天津市红桥区2019）已知点O是内一点，满足，，则实数m为（）A．2 B．-2 C．4 D．-4【答案】D【解析】技巧法：，常规法：由得：设，则三点共线如下图所示：与反向共线本题正确选项：技巧2三角形的四心【例2-1】点O是△ABC所在平面内的一点，满足，则点O是的__________心．【答案】垂【解析】，即同理可得：，点为的垂心本题正确结果：垂【例2-2】（黑龙江省哈尔滨市哈尔滨师范大学附属中学）在中，设，则动点M的轨迹必通过的（）A．垂心 B．内心 C．重心 D．外心【答案】D【解析】设为中点，则为的垂直平分线轨迹必过的外心本题正确选项：【举一反三】1.（河北省保定市）过内一点任作一条直线，再分别过顶点作的垂线，垂足分别为，若恒成立，则点是的（）A．垂心 B．重心 C．外心 D．内心【答案】B【解析】本题采用特殊位置法较为简单.因为过内一点任作一条直线，可将此直线特殊为过点A，则，有.如图：则有直线AM经过BC的中点，同理可得直线BM经过AC的中点，直线CM经过AB的中点，所以点是的重心，故选B.2．（辽宁朝阳柳城高中）设点P是△ABC所在平面内一点，，则点P是△ABCA．内心 B．外心 C．重心 D．垂心【答案】D【解析】由于点P是△ABC所在平面内一点，，同理可知,则说明点P是三角形ACB的垂心，故选D.3．设点O是三角形ABC所在平面上一点，若，则点O是三角形ABC的________心．【答案】外心【解析】由可得点到三角形各顶点的距离相等，所以点是三角形的外心故答案为外心.4．设是平面内一定点，为平面内一动点，若，则为的（）A．内心 B．外心 C．重心 D．垂心【答案】B【解析】若可得，即为即有，则，故O为的外心，故选B.技巧3极化恒等式【例3】（1）（2020福建省南平市）在中，若，边上中线长为3，则（）A．-7 B．7 C．-28 D．28（2）（2020届河南省八市重点高中联盟领军）在中，，点在上，且，若，则的值是（）A． B． C． D．【答案】（1）A（2）A【解析】（1）在中，设的中点为，则.由题意知：.则故选A.（2）如图，设的中点为.因为.因为，所以.又因为，所以，，所以.故选：A.【举一反三】1.（2018•天津）如图，在平面四边形中，，，，．若点为边上的动点，则的最小值为A． B． C． D．3【答案】A【解析】如图所示，以为原点，以所在的直线为轴，以所在的直线为轴，过点做轴，过点做轴，，，，，，，，，，，，，，，设，，，，，，当时，取得最小值为．故选：．2.（2017年新课标2）已知是边长为4的等边三角形，为平面内一点，则的最小值是A． B． C． D．【答案】D【解析】则A（0，2），B（﹣2，0），C（2，0），设P（x，y），则=（﹣x，2﹣y），=（﹣2﹣x，﹣y），=（2﹣x，﹣y），所以•（+）=﹣x•（﹣2x）+（2﹣y）•（﹣2y）=2x2﹣4y+2y2=2[x2+（y﹣）2﹣3]；所以当x=0，y=时，•（+）取得最小值为2×（﹣3）=﹣6．故选D．3．（2020届湖北省武汉市）已知等边△ABC内接于圆：x2+y2=1，且P是圆τ上一点，则的最大值是（）A． B．1 C． D．2【答案】D【解析】如图所示建立直角坐标系，则，，，设，则.当，即时等号成立.故选：.技巧强化技巧强化1．（2020上海市控江中学）点在△内部，且满足，则△的面积与△、△面积之和的比为________【答案】【解析】技巧法：由奔驰定理可得常规法：作，则，，.以为邻边作平行四边形，连接，交于，如图所示：，.根据与相似得：，；，，，，的面积与、面积之和的比为．故答案为：．2．已知点P在△ABC所在的平面内，若2＋3＋4＝3，则△PAB与△PBC的面积的比值为__________．【答案】【解析】由2＋3＋4＝3，得2＋4＝3＋3，∴2＋4＝3，即4＝5.∴3．（2020届山西省太原市第五中学校）设点在的外部，且，则。【答案】3:1【解析】技巧法：有奔驰定理可得3:1常规法：连接并延长至，满足，连接并延长至，满足，连接并延长至，满足，如图所示.所以可得，，.因为，所以，即为的重心，所以可得，因为，所以而所以，同理，，所以，所以.4．(2020·哈尔滨三模)已知O为正三角形ABC内一点，且满足，若△OAB的面积与△OAC的面积比值为3，则λ的值为。【答案】【解析】设AC、BC边的中点为E、F，则由，得∴点O在中位线EF上．∵△OAB的面积与△OAC的面积比值为3，∴点O为EF上靠近E的三等分点，∴λ＝.5．（2020届海南省全国大联考）设点是的重心，且满足，则。【答案】【解析】因为点是的重心,所以,因为,由正弦定理可得,所以,即,故,则,则由余弦定理可得.6．若在△中,，其外接圆圆心满足，则__________.【答案】【解析】由，得为△的重心，又为外接圆圆心，所以可得△为等边三角形，故.7．已知是锐角的外心，．若，则实数______．【答案】【解析】设外接圆的半径为，∵，∴，∵，，∴，即，即，故，故，故，故答案为：．8．（2020湖北省重点高中联考协作）已知是平面上一定点，满足，，，则的轨迹一定通过的（外心 、垂心、重心、内心）【答案】B【解析】技巧法：由四心可知为垂心常规法：，，即，，，，∴与垂直，即，点P在BC的高线上，即P的轨迹过的垂心.故选：B．9．已知O，N，P在所在平面内，且，，且，则点O，N，P依次是的（填三角形的四心）【答案】外心重心垂心【解析】由题：，所以O是外接圆的圆心，取中点，，，即所在直线经过中点，与中线共线，同理可得分别与边的中线共线，即N是三角形三条中线交点，即重心，，，，，即，同理可得，即P是三角形的垂心.10．（2020河南省八市重点高中联盟）已知是半径为1的圆的一条直径，点是圆上一动点，则的最大值等于。【答案】2【解析】，当为圆直径时取等号，11．（2020届江苏省无锡市）正方形的边长为2，圆内切于正方形，为圆的一条动直径，点为正方形边界上任一点，则的取值范围是______.【答案】【解析】由题可得：，故答案为：12．（2020届江苏省苏州市张家港市）已知正方形的边长为4，是的中点，动点在正方形的内部或其边界移动，并且满足，则的最小值是______．【答案】【解析】如图所示，由，则.

动点在以为直径的半圆上，取的中点.所以又动点在以为直径的半圆上，设圆心为，半径为1.所以的最小值为.所以．故答案为：13．（2020届江苏省沭阳县）如图所示，在中，，则的最小值是__________【答案】【解析】.设,易得.故,因为,.故当且仅当反向时取得最小值,为.故答案为：14．（