电子教案-新概念物理02粒子

第三节振动4.3振动OscillatoryMotion振动：质点围绕平衡位置作周期性往复运动

机械振动

空间曲线三维直线振动

直线振动

傅里叶分析

FourierAnalysis

简谐振动

SimpleHarmonicMotion

一、简谐振动的运动学KinematicsofSHM1、简谐振动Simpleharmonicmotion

一质点沿x轴的运动可用余弦函数(也可以正弦函数)来表示时，此质点的运动称为简谐振动。

x=Acos(ωｔ+φ)

x：质点对原点的位移

ω：圆频率

Frequencyofcycleωｔ+φ：相位

Phase

φ：初相Initialphase(t=0时)

A：振幅

Amplitude

T：周期

Period

υ：频率

Frequency圆频率、频率和周期三者之间的关系：

ω=2πυ，υ=1/T

相位是决定质点在t时刻的运动状态（位置、速度）的重要物理量

相位相差2π的整数倍，其质点的运动状态相同。

2、简谐振动的旋转矢量Rotatingvector图

矢量

OM逆时针以角速度ω转动，矢量OM的端点M在OX轴上的投影点P的位移为：

x=Acos(ωｔ+φ)

矢量OM0是t=0时刻的位置，即为简谐振动的旋转矢量图。MM0XOφωtxAωPXMPXAXAXAXAXAXAXAXAXAXAXAXA

φ’－φ＞0，Q超前Lead

Pφ’－φ＜0，Q落后LagbehindPφ’－φ＝0同相Synchronousφ’－φ＝π反相Antiphase

超前时间

Δt=（φ’－φ）/ω

超前相位

φ’－φ=ωΔｔMM

’QPOxφφ’ω例4-5物体沿X轴简谐振动，振幅为0.12m，周期为2s。当t=0时，位移为0.06m，且向X轴正方向运动。求运动表达式，并求以x=-0.06m处回到平衡位置所需的最少时间。解：已知A=0.12m，T=2s，

ω=2π/T=π(rad/s).(1)初态t=0时，

x=0.06，v＞0，初相φ=－π/3,

运动表达式为：

x=0.12cos(πｔ-π/3)(m)ω(t=1s)B’(t=5/3s)BA(t=0)x(m)OφC0.06-0.06●●Δφ

(2)当x=-0.06m时，物体在旋转矢量图中的位置可能在B或B′处，显然B处回到平衡位置C处所需时间为最少。因为OB与OC夹角为△φ=π/6，所以最少时间为：△t=△φ/ω=(π/6)/π=1/6秒ω(t=1s)B’(t=5/3s)BA(t=0)x(m)OφC0.06-0.06●●Δφ

3、简谐振动的速度和加速度

(1)速度：ｖ=dx/dt=－ωAsin(ωｔ+φ)=ωAcos(ωｔ+φ+π/2)

速度超前位移相位π/2

(2)加速度:a=dv/dt=－ω2Acos(ωｔ+φ)=ω2.Acos(ωｔ+φ+π)

加速度与位移相反

4、简谐振动的运动学方程

a=－ω2x

或d2x/dt2+ω2x=0

5、广义简谐振动任何一个物理量随时间而变化的规律如果遵从余弦（正弦）函数的关系，则统称为广义简谐振动。

v

的周相超前xπ2avtxx0a

与x

的周相相反。，

v

的周相超前xπ2avtvxx0a

与x

的周相相反。，

v

的周相超前xπ2avatvxx0a

与x

的周相相反。，位移、速度、加速度之间的

相位关系位移速度加速度xtvaω、φ以及振动方程。求：

[例]

一谐振动的振动曲线如图所示。xAA21.00tω、φ0{xAA21.00tt=

0时x=A2以及振动方程。求：

[例]

一谐振动的振动曲线如图所示。ω、φ＞000{xAA21.00tt=

0时x=A2v以及振动方程。求：

[例]

一谐振动的振动曲线如图所示ω、φ＞000{πxA3xAA21.00tt=

0时x=A2v以及振动方程。求：

[例]

一谐振动的振动曲线如图所示。ω、φ＞000{φ...=π3πxA3xAA21.00tt=

0时x=A2v以及振动方程。求：

[例]

一谐振动的振动曲线如图所示。ω、φ＞000{φ...=π31{πxA3xAA21.00tt=

0时x=A2vt=1时x=0以及振动方程。求：

[例]

一谐振动的振动曲线如图所示。ω、φ＞000{φ...=π311＜0{πxA3xAA21.00tt=

0时x=A2vt=1时x=0v=dxdt以及振动方程。求：

[例]

一谐振动的振动曲线如图所示。ω、φ＞000{φ...=π311＜0{πxA3πA2xxAA21.00tt=

0时x=A2vt=1时x=0v=dxdt以及振动方程。求：

[例]

一谐振动的振动曲线如图所示。ω、φ＞000{φ...=ππ311＜0{Φ1=2πxA3πA2xxAA21.00tt=

0时x=A2vt=1时x=0v=dxdt以及振动方程。求：

[例]

一谐振动的振动曲线如图所示。...ωω、φ＞000{φφ...=ππ311＜0{Φ1=2Φ1=t1+=πxA3πA2xxAA21.00tt=

0时x=A2vt=1时x=0v=dxdt以及振动方程。求：

[例]

一谐振动的振动曲线如图所示。...ωω、φ＞000{φφ...=πππ311＜0{Φ1=2Φ1=t1+=ω×13πxA3πA2xxAA21.00tt=

0时x=A2vt=1时x=0v=dxdt以及振动方程。求：

[例]

一谐振动的振动曲线如图所示。...ωω、φ＞000{φφ...=πππ311＜0{Φ1=2Φ1=t1+=ω×13=π2πxA3πA2xxAA21.00tt=

0时x=A2vt=1时x=0v=dxdt以及振动方程。求：

[例]

一谐振动的振动曲线如图所示。...ωω、φ＞000{φφ...=πππ311＜0{Φ1=2Φ1=t1+=ω×13=π2ω=56ππxA3πA2xxAA21.00tt=

0时x=A2vt=1时x=0v=dxdt以及振动方程。求：

[例]

一谐振动的振动曲线如图所示。......x=Acos(56πtπ3)x=Acos(56πtπ3)本题ω的另一种求法：x=Acos(56πtπ3)本题π3xAt=0ω的另一种求法：x=Acos(56πtπ3)本题ππ32AxAt=1t=0ω的另一种求法：x=Acos(56πtπ3)本题πππππ32AxAt=1t=02+32=T1ω的另一种求法：x=Acos(56πtπ3)本题πππππ32AxAt=1t=02+32=T1T=125ω的另一种求法：...二、简谐振动的动力学DynamicsofSHM由牛顿定律：kx=mdxdt22dxdtω22=+2x01、简谐振动的动力学方程km=ωkm令2即：ω=（弹簧振子的圆频率）FmXk0xxAcos)(tφ=+ω由ωφω()+tv=Asinxωω0000A==xvv)(tg22+φ=ω当t=0

时φφ00v=xAAcossin初始条件：

t=0，x=xo，v=vo注意：初相还需根据旋转矢量图中的

A的位置来确定

[

例]

垂直悬挂的弹簧下端系一质量为m的小球，弹簧伸长量为b

。b自然长度mg

[

例]

垂直悬挂的弹簧下端系一质量为m的小球，弹簧伸长量为b

。用手将重物上托使弹簧保持自然长度后放手。求证：放手后小球作简谐振动，并写出振动方程。b自然长度mgb自然长度静平衡时mgFkb-mg=0

[

例]

垂直悬挂的弹簧下端系一质量为m的小球，弹簧伸长量为b

。用手将重物上托使弹簧保持自然长度后放手。求证：放手后小球作简谐振动，并写出振动方程。b0x平衡位置自然长度取静平衡位置为坐标原点

[

例]

垂直悬挂的弹簧下端系一质量为m的小球，弹簧伸长量为b

。用手将重物上托使弹簧保持自然长度后放手。求证：放手后小球作简谐振动，并写出振动方程。b0bx

[

例]

垂直悬挂的弹簧下端系一质量为m的小球，弹簧伸长量为b

。用手将重物上托使弹簧保持自然长度后放手。求证：放手后小球作简谐振动，并写出振动方程。b0bx

[

例]

垂直悬挂的弹簧下端系一质量为m的小球，弹簧伸长量为b

。用手将重物上托使弹簧保持自然长度后放手。求证：放手后小球作简谐振动，并写出振动方程。b0bx

[

例]

垂直悬挂的弹簧下端系一质量为m的小球，弹簧伸长量为b

。用手将重物上托使弹簧保持自然长度后放手。求证：放手后小球作简谐振动，并写出振动方程。b0bx

[

例]

垂直悬挂的弹簧下端系一质量为m的小球，弹簧伸长量为b

。用手将重物上托使弹簧保持自然长度后放手。求证：放手后小球作简谐振动，并写出振动方程。b0bx

[

例]

垂直悬挂的弹簧下端系一质量为m的小球，弹簧伸长量为b

。用手将重物上托使弹簧保持自然长度后放手。求证：放手后小球作简谐振动，并写出振动方程。b0bx

[

例]

垂直悬挂的弹簧下端系一质量为m的小球，弹簧伸长量为b

。用手将重物上托使弹簧保持自然长度后放手。求证：放手后小球作简谐振动，并写出振动方程。b0bx

[

例]

垂直悬挂的弹簧下端系一质量为m的小球，弹簧伸长量为b

。用手将重物上托使弹簧保持自然长度后放手。求证：放手后小球作简谐振动，并写出振动方程。b0bx

[

例]

垂直悬挂的弹簧下端系一质量为m的小球，弹簧伸长量为b

。用手将重物上托使弹簧保持自然长度后放手。求证：放手后小球作简谐振动，并写出振动方程。b0bx

[

例]

垂直悬挂的弹簧下端系一质量为m的小球，弹簧伸长量为b

。用手将重物上托使弹簧保持自然长度后放手。求证：放手后小球作简谐振动，并写出振动方程。b0bx

[

例]

垂直悬挂的弹簧下端系一质量为m的小球，弹簧伸长量为b

。用手将重物上托使弹簧保持自然长度后放手。求证：放手后小球作简谐振动，并写出振动方程。b0bx

[

例]

垂直悬挂的弹簧下端系一质量为m的小球，弹簧伸长量为b

。用手将重物上托使弹簧保持自然长度后放手。求证：放手后小球作简谐振动，并写出振动方程。b0bx

[

例]

垂直悬挂的弹簧下端系一质量为m的小球，弹簧伸长量为b

。用手将重物上托使弹簧保持自然长度后放手。求证：放手后小球作简谐振动，并写出振动方程。b0bx

[

例]

垂直悬挂的弹簧下端系一质量为m的小球，弹簧伸长量为b

。用手将重物上托使弹簧保持自然长度后放手。求证：放手后小球作简谐振动，并写出振动方程。b0bx

[

例]

垂直悬挂的弹簧下端系一质量为m的小球，弹簧伸长量为b

。用手将重物上托使弹簧保持自然长度后放手。求证：放手后小球作简谐振动，并写出振动方程。b0bx

[

例]

垂直悬挂的弹簧下端系一质量为m的小球，弹簧伸长量为b

。用手将重物上托使弹簧保持自然长度后放手。求证：放手后小球作简谐振动，并写出振动方程。b0bx

[

例]

垂直悬挂的弹簧下端系一质量为m的小球，弹簧伸长量为b

。用手将重物上托使弹簧保持自然长度后放手。求证：放手后小球作简谐振动，并写出振动方程。b0bx

[

例]

垂直悬挂的弹簧下端系一质量为m的小球，弹簧伸长量为b

。用手将重物上托使弹簧保持自然长度后放手。求证：放手后小球作简谐振动，并写出振动方程。b0bx

[

例]

垂直悬挂的弹簧下端系一质量为m的小球，弹簧伸长量为b

。用手将重物上托使弹簧保持自然长度后放手。求证：放手后小球作简谐振动，并写出振动方程。b0bx

[

例]

垂直悬挂的弹簧下端系一质量为m的小球，弹簧伸长量为b

。用手将重物上托使弹簧保持自然长度后放手。求证：放手后小球作简谐振动，并写出振动方程。b0bx

[

例]

垂直悬挂的弹簧下端系一质量为m的小球，弹簧伸长量为b

。用手将重物上托使弹簧保持自然长度后放手。求证：放手后小球作简谐振动，并写出振动方程。b0bx

[

例]

垂直悬挂的弹簧下端系一质量为m的小球，弹簧伸长量为b

。用手将重物上托使弹簧保持自然长度后放手。求证：放手后小球作简谐振动，并写出振动方程。b0bx

[

例]

垂直悬挂的弹簧下端系一质量为m的小球，弹簧伸长量为b

。用手将重物上托使弹簧保持自然长度后放手。求证：放手后小球作简谐振动，并写出振动方程。自然长度自然长度b平衡位置自然长度b平衡位置0xx自然长度b平衡位置0xx任意位置时小球所受到的合外力为：自然长度b平衡位置0xx任意位置时小球所受到的合外力为：ΣF=mg-k(b+x)=-kx自然长度b平衡位置0xx任意位置时小球所受到的合外力为：ΣF=mg-k(b+x)=-kx可见小球作谐振动。自然长度b平衡位置0xx任意位置时小球所受到的合外力为：Σ可见小球作谐振动。由得：mg-kb=0F=mg-k(b+x)=-kx自然长度b平衡位置0xx任意位置时小球所受到的合外力为：Σω=kmgb=可见小球作谐振动。由得：mg-kb=0F=mg-k(b+x)=-kx自然长度b平衡位置0xx任意位置时小球所受到的合外力为：Σω=kmgb=当t0=:可见小球作谐振动。由得：mg-kb=0F=mg-k(b+x)=-kx自然长度b平衡位置0xx任意位置时小球所受到的合外力为：Σω=kmgb=00当t0xb,===:v0可见小球作谐振动。由得：mg-kb=0F=mg-k(b+x)=-kx自然长度b平衡位置0xx任意位置时小球所受到的合外力为：Σω=kmgb=00φπ当得t0xb,A===:v0=b,=可见小球作谐振动。由得：mg-kb=0F=mg-k(b+x)=-kx自然长度b平衡位置0xx任意位置时小球所受到的合外力为：Σω=kmgb=00φπx=bcos(gt+)πb当得t0xb,A===:v0=b,=可见小球作谐振动。由得：mg-kb=0F=mg-k(b+x)=-kx例4-7在一轻弹簧下端悬挂mo=100g砝码时，弹簧伸长8cm，现在这根弹簧下端悬挂m=250g的物体，构成弹簧振子。将物体从平衡位置向下拉动4cm，并给以向上21cm/s的初速度（这时t=0）。选x轴向下，求振动方程的表达式。解：k=mog/l=0.1100.08=12.5N/m=(k/m)1/2=(12.5/0.25)1/2

=7rad/s初始条件：t=0

,xo=0.04m,vo=-0.21m/sA=(xo2+vo2/2)1/2=0.05mtg=-vo/xo=-(-0.21)/(70.04)=0.75=0.64rad振动方程:x=0.05cos(7t+0.64)m弹簧的串联和并联串联公式：

k1k2弹簧的串联和并联串联公式：

k1k2弹簧的串联和并联串联公式：

1/k=1/k1+1/k2k1k2弹簧的串联和并联串联公式：

1/k=1/k1+1/k2并联公式：

k1k2k1k2弹簧的串联和并联串联公式：

1/k=1/k1+1/k2并联公式：

k1k2k1k2弹簧的串联和并联串联公式：

1/k=1/k1+1/k2并联公式：

k=k1+k2

k1k2k1k2例：一劲度系数为k的弹簧均分为二，试求均分后两弹簧并联的等效劲度系数k'。解：k例：一劲度系数为k的弹簧均分为二，试求均分后两弹簧并联的等效劲度系数k'。解：k1k2例：一劲度系数为k的弹簧均分为二，试求均分后两弹簧并联的等效劲度系数k'。解：k1k2例：一劲度系数为k的弹簧均分为二，试求均分后两弹簧并联的等效劲度系数k'。解：串联公式：

1/k=1/k1+1/k2k1k2例：一劲度系数为k的弹簧均分为二，试求均分后两弹簧并联的等效劲度系数k'。解：串联公式：

1/k=1/k1+1/k2因为k1=k2k1k2例：一劲度系数为k的弹簧均分为二，试求均分后两弹簧并联的等效劲度系数k'。解：串联公式：

1/k=1/k1+1/k2因为k1=k2，所以

1/k=1/k1+1/k1k1k2例：一劲度系数为k的弹簧均分为二，试求均分后两弹簧并联的等效劲度系数k'。解：串联公式：

1/k=1/k1+1/k2因为k1=k2，所以

1/k=1/k1+1/k1=2/k1k1k2例：一劲度系数为k的弹簧均分为二，试求均分后两弹簧并联的等效劲度系数k'。解：串联公式：

1/k=1/k1+1/k2因为k1=k2，所以

1/k=1/k1+1/k1=2/k1故k1=k2=2kk1k2例：一劲度系数为k的弹簧均分为二，试求均分后两弹簧并联的等效劲度系数k'。解：k1k2例：一劲度系数为k的弹簧均分为二，试求均分后两弹簧并联的等效劲度系数k'。解：k1k2例：一劲度系数为k的弹簧均分为二，试求均分后两弹簧并联的等效劲度系数k'。解：并联公式：

k'=k1+k2

k1k2例：一劲度系数为k的弹簧均分为二，试求均分后两弹簧并联的等效劲度系数k'。解：并联公式：

k'=k1+k2

=2k+2k=4kk1k2

2、简谐振动的能量

=振动动能

+振动势能

W=Wk+WpWk=mv2/2=mω2A2sin2（ωt+φ

）/2WP=kx2/2=kA2cos2（ωt+φ

）/2W=Wk+Wp=kA2/2=mω2A2/2特点：

1、Wk

最大时，Wp最小为零；

Wp最大时，Wk最小为零。

2、Wk=Wp

=kA2/4=W/23、Wk

和Wp的周期是系统周期的一半。

4、系统的总能量不变。例4-6单摆SimplePendulum：单摆的运动是简谐振动的一个典型的实例。单摆定义为质量为m的质点用一长为l而其质量可忽略的细绳悬挂在固定点O的系统。解：由于拉力T

v

，T

不作功，故质点在摆动过程中机械能守恒。设在平衡位置C点的势能为零，则质点在A点的机械能为：EM=mv2/2+mgl(1-cos)lTOCvm

因为υ=ld/dt代入上式整理得：

EM=ml

2(d/dt)2/2+mgl(1-cos)=恒量对上式两边对时间求导整理可得：

d2/dt2+gsin/l=0

在一般情况下，单摆的摆动不正好是简谐振动。但是，如果摆动的角度很小时，≈sin(在＜10°内)，这样上式可改为：

d2/dt2+g/l=0

表明在小角度的范围内，单摆的角位移θ作简谐振动。圆频率：周期：例4-8复摆PhysicalPendulum：复摆是能够在重力作用下绕水平轴自由振荡的任意刚体。ZZ’水平轴，C为物体质心，质量为mg。解：转动定理MZ=IβMZ=-mgbsin

β=d2

/dt2Id2

/dt2=-mgbsin

假定振动是小振幅的，

≈sin

，利用I=mK2，式中K为摆的回转半径，得：

d2

/dt2+gb/K2=0表明在小范围内，角运动是简谐振动

ω2=gb/K2Z’Z’COlbO’mgω2=gb/K2

因此，振动的周期为其中

l=K2/b叫做等效单摆长度Lengthof

theequivalentsimplependulum，因为具有这个长度的单摆，其周期与复摆的相同。可以看出，复摆的周期与其质量无关，也与其几何形状无关，只要K2/b保持相同。

三、同方向同频率的简谐振动的叠加设两个简谐振动的频率相等为ω，振动方向为X轴方向，以x1和x2分别代表两运动的质点位移：x1=A1cos(ωｔ+φ1)x2=A2cos(ωｔ+φ2)式中A１、A2中φ1、φ2分别表示这两个简谐振动的振幅和初相位。因此，质点的合位移为：x=x1+x2

=A1cos(ωｔ+φ1)+A2cos(ω+φ2)=Acos(ωｔ+φ)

其中A=[A12+A22+2A1A2cos(φ2-φ1)]1/2tgφ=（A1sinφ1+A2sinφ2

）（A1cosφ1+A2cosφ2

）讨论(1)当φ2-φ1=±2k同相inphase

A=A1+A2A最大，加强。(1)当φ2-φ1=±(2k+1)

反相inoppositionA=│A1－A2│A最小，减弱。

k取整数1、2、3、4、5、等等。φφ1φ2A2A1AXx2x1xO习题4-17两个同方向同频率的简谐振动，其合振动的振幅为20cm，与第一个简谐振动的相位差为-１=π/6，若第一个简谐动的振幅为17.3cm，试求：

1、第二个简谐振动的振幅A2

2、第一、二两个简谐振动的相位差1-

2解：已知A=20cmA1=17.3cmA2=[A2+A12-2AA1cos(-１)]1/2=10cm-１

１xoAA2A1

∵A2=A12+A22+2A1A2cos(1-

2)

∴cos(1-

2)

=[A2-A12+A22]/2A1A2=0∵

2－

1

=π/2

∴

1－

2

=－π/2-１

１xoAA2A1四、非简谐振动AnharmonicOscillation简谐振动力:F=-kx，势能:EP=kx2/2

或EP=k(x-xO)2/2EP的曲线是一抛物线弹性常数k=d2EP/dx2非简谐振动

考虑势能不是势物线，但却具有明确的极小值的情况。在平衡位置xo处(dEP/dx=0)附近的运动可视为简谐振动。

等效弹性常数：k=[d2EP/dx2]|x=x。xoEPx例4-9试用等效弹性常数重新计算例4-6单摆的周期。解：单摆的势能:EP=mgl(1-cosθ)，其极小值位置θ=0，单摆离开平衡点的水平位移x=lsinθ，因此：单摆的圆频率:周期:阻尼振动受迫振动五、阻尼振动DampedOscillationFF’==kxv阻尼力弹性力dxdx2dtdtm=kx2kmm==ω令02（阻尼因子）2dtdxdx22++=0ω0dt2x2rr2++0特征方程：2ω2=0r2+=ω0特征根：222ω0

1.小阻尼rωω00有两个虚根：r1==+ii2,方程的解为：A0tTxω00tφx=Aecos()t+0T=2πω22ωω0=22是一非周期运动。过阻尼临界阻尼tx阻尼

2.过阻尼动力学方程：方程的解为：oF=Fcosωt

周期性干扰力（强迫力）强迫力的圆频率ωoF力幅六、受迫振动ForcedOscillationdxdtdxdt22Fokx+cosωt=m0令kmf=ω2m=2Fom=,,0=dxdtdtdx得222++2ωxfcosωt+tφ2ω000t2φAx=Aecos()+sin(ωt-)随时间很快衰减为零稳定时的振动方程

在达到稳定态时，系统振动频率等于强迫力的频率。稳定时的振幅：时振幅最大，称为振幅共振。

当无阻尼(=0)时,ωA=ωo。+tφ2ω000t2φAx=Aecos()+sin(ωt-)A=ω022()222+4ωωf相位：ω02-ω22

ωtgφ=ω=0222ωA当强迫力的圆频率为A

较小0ωoO较大

ωωA振幅共振AmplitudeResonancedx=ωAcos(ωt-φ)

dtv=vo=ω