电子电工课件chapter3

第三章数字逻辑基础3.1数制与码制

3.2逻辑代数基础

3.3逻辑函数的化简

概述：模拟信号与数字信号3.1数制与码制

模拟信号：在时间和幅度上连续变化的信号.

例如：交流电源50Hz正弦信号,正弦信号发生器的输出信号,人讲话的声音信号等.数字信号的特点数字信号在时间上和数值上均是离散的。数字信号在电路中常表现为突变的电压或电流典型的数字信号数字逻辑

数字信号是一种二值信号，用逻辑0和逻辑1来表示。如：开关打开用逻辑1表示，而开关闭合用逻辑0表示。

在数字电路中，用逻辑0和逻辑1来表示高电平和低电平。有两种逻辑体制：

正逻辑体制规定：高电平为逻辑1，低电平为逻辑0。负逻辑体制规定：低电平为逻辑1，高电平为逻辑0。

如果采用正逻辑，数字电压信号就成为下图所示逻辑信号

数字信号的主要参数

一个理想的周期性数字信号，可用以下几个参数来描述：

Vm——信号幅度。

T——信号的重复周期。

tW——脉冲宽度。

q——占空比。其定义为：数字电路的优点②

抗干扰能力强，精度高

（2）模拟系统的精度由元器件决定，模拟元器件的精度很难达到10-3以上，而数字系统只要14位就可以达到10-4的精度。在高精度的系统中有时只能采用数字系统。

对电路中各元器件参数的精度的要求相对不高，允许有较大的分散性，只要能区分两种截然不同的状态即可。

（1）由于数字电路加工和处理的都是二进制信息，不易受到外界的干扰，因而抗干扰能力强。而模拟系统的各元件都有一定的温度系数，且电平是连续变化的，易受温度、噪声、电磁感应的等的影响。①

基本单元电路简单③

数字信号便于长期存储④

保密性好⑤

通用性强

由于数字部件具有高度规范性，便于大规模集成、大规模生产，而对电路参数要求不严，故产品成品率高。采用标准化的逻辑部件来构成各种各样的数字系统，省时省力。1.数制几种常用的计数体制①十进制（Decimal）②二进制（Binary）③十六进制(Hexadecimal)与八进制（Octal）结论①一般地，N进制需要用到N个数码，基数是N；运算规律为逢N进一。②如果一个N进制数M包含ｎ位整数和ｍ位小数，即(an-1an-2…a1a0·a－1a－2…a－m)N则该数的权展开式为：(M)N

＝an-1×Nn-1

＋

an-2×Nn-2

＋…＋a1×N1＋

a0×N0＋a－1×N-1＋a－2×N-2＋…＋a－m×N-m③由权展开式很容易将一个N进制数转换为十进制数。数码为：0～9；基数是10。运算规律：逢十进一，即：9＋1＝10。十进制数的权展开式：（1）十进制５５５５５×１０３＝５０００５×１０２＝５００５×１０１＝５０５×１００＝５＝５５５５103、102、101、100称为十进制的权。各数位的权是10的幂。同样的数码在不同的数位上代表的数值不同。＋任意一个十进制数都可以表示为各个数位上的数码与其对应的权的乘积之和，称权展开式。即：(5555)10＝5×103

＋5×102＋5×101＋5×100（2）二进制数码为：0、1；基数是2。运算规律：逢二进一，即：1＋1＝10。二进制数的权展开式：如：(101.01)2＝1×22

＋0×21＋1×20＋0×2－1＋1×2－2

＝(5.25)10加法规则：0+0=0，0+1=1，1+0=1，1+1=10乘法规则：0·0=0，0·1=0，1·0=0，1·1=1运算规则：各数位的权是２的幂

二进制数只有0和1两个数码，它的每一位都可以用电子元件来实现，且运算规则简单，相应的运算电路也容易实现。数码为：0～7；基数是8。运算规律：逢八进一，即：7＋1＝10。八进制数的权展开式：如：(207.04)8＝2×82

＋0×81＋7×80＋0×8－1＋4×8－2＝（135.0625)10（3）八进制各数位的权是8的幂各数位的权是16的幂（4）十六进制数码为：0～9、A～F；基数是16;运算规律：逢十六进一，即：F＋1＝10。十六进制数的权展开式：如：(D8.A)16＝13×161

＋8×160＋10×16－1＝(216.625)10不同进制之间的转换

将N进制数按权展开，即可以转换为十进制数。（1）十进制数转换为二进制数方法—“除基取余法”、“乘基取整法”故：(44.375)10＝(101100.011)2采用基数连除、连乘法，可将十进制数转换为任意的N进制数。a.二进制数转换为八进制数：将二进制数由小数点开始，整数部分向左，小数部分向右，每3位分成一组，不够3位补零，则每组二进制数便是一位八进制数。（2）二进制数与八进制数的相互转换1101010.01000＝(152.2)8b.八进制数转换为二进制数：将每位八进制数用3位二进制数表示。 =011111100.010110(374.26)8111010100.0110000＝(1D4.6)16=101011110100.01110110(AF4.76)16

二进制数与十六进制数的相互转换，按照每4位二进制数对应于一位十六进制数进行转换。（3）二进制数与十六进制数的相互转换2.码制

用一定位数的二进制数来表示十进制数码、字母、符号等信息称为编码。

数字系统只能识别0和1，怎样才能表示更多的数码、符号、字母呢？用编码可以解决此问题。

二-十进制代码：用4位二进制数b3b2b1b0来表示十进制数中的0-9十个数码。简称BCD码。

2421码的权值依次为2、4、2、1；余3码由8421码加0011得到；格雷码是一种循环码，其特点是任何相邻的两个码字，仅有一位代码不同，其它位相同。

用四位自然二进制码中的前十个码字来表示十进制数码，因各位的权值依次为8、4、2、1，故称8421BCD码。

用以表示十进制数码、字母、符号等信息的一定位数的二进制数称为代码。二—十进制码（BCD码）格雷码及编码规则十进制数二进制数格雷码十进制数二进制数格雷码000000000810001100100010001910011101200100011101010111130011001011101111104010001101211001010501010111131101101160110010114111010017011101001511111000逻辑代数讨论的是输出变量和输入变量的因果关系设1表示开关闭合或灯亮；0表示开关不闭合或灯不亮，则得真值表

与运算：只有当决定一件事情的条件全部具备之后，这件事情才会发生。这种因果关系称为与逻辑。若用逻辑表达式来描述，则可写为3.2逻辑代数基础

1.逻辑代数的基本运算或运算：当决定一件事情的几个条件中，只要有一个或一个以上条件具备，这件事情就发生。这种因果关系称为或逻辑。若用逻辑表达式来描述，则可写为：

L＝A+B

非运算：某事情发生与否，仅取决于一个条件，而且是对该条件的否定。即条件具备时事情不发生；条件不具备时事情才发生。若用逻辑表达式来描述，则可写为：

复合逻辑运算与非：与非是由与运算和非运算组合而成

或非：或非是由或运算和非运算组合而成与或非异或：异或是一种二变量逻辑运算，当两个变量取值相同时，逻辑函数值为0；当两个变量取值不同时，逻辑函数值为1。同或：同或是一种二变量逻辑运算，当两个变量取值相同时，逻辑函数值为1；当两个变量取值不同时，逻辑函数值为0。L=A⊙B==2.逻辑代数的基本定律和规则

逻辑常量运算公式与运算或运算非运算0·0=00+0=0

0·1=00+1=11·0=01+0=11·1=11+1=1逻辑常量、变量运算公式与运算或运算非运算A·0=0A+0=A

A·1=AA+1=1A·A=AA+A=A与普通代数相似的规律

交换律结合律分配律常用公式基本定律吸收律

吸收律证明吸收律推广：由上表可知，利用吸收律化简逻辑函数时，某些项或因子在化简中被吸收掉，使逻辑函数式变得更简单。反演律可用真值表证明AB0011010010001100AB0011011110111100逻辑代数基本规则（1）代入规则

对于任何一个逻辑等式，以某个逻辑变量或逻辑函数同时取代等式两端任何一个逻辑变量后，等式依然成立。（2）反演规则反演规则即已知函数Y,求01●+A

*保持运算的优先顺序不变，必要时加括号表明，如例1。*变换中，几个变量（一个以上）的公共非号保持不变，如例2。

在应用反演规则求反函数时要注意以下两点：规则:例1.求函数的反函数。解：解：例2.求函数的反函数。（2）对偶规则对偶规则即将一个逻辑函数Y进行下列变换：所得新函数表达式叫做Y的对偶式，用Y’表示。

●+01对偶规则的基本内容：如果两个逻辑函数表达式相等，那么它们的对偶式也一定相等。例4.求函数的对偶函数。例3.求函数的对偶函数。解：解：3.逻辑函数的表示方法逻辑函数描述的是输出变量和输入变量之间的因果关系。逻辑函数有5种表示形式：真值表、逻辑表达式、卡诺图、逻辑图和波形图。只要知道其中一种表示形式，就可转换为其它几种表示形式。（1）真值表真值表：是由变量的所有可能取值组合及其对应的函数值所构成的表格。真值表列写方法：每一个变量均有0、1两种取值，n个变量共有2n种不同的取值，将这2n种不同的取值按顺序（一般按二进制递增规律）排列起来，同时在相应位置上填入函数的值，便可得到逻辑函数的真值表。例如：当A、B取值相同时，函数值为0；否则，函数取值为1。（2）逻辑表达式逻辑表达式：由逻辑变量和与、或、非3种运算符连接起来所构成的式子。标准与或表达式列写方法：将那些使函数值为1的各个状态表示成全部变量（值为1的表示成原变量，值为0的表示成反变量）的与项（例如A=0、B=1时函数F的值为1，则对应的与项为AB）以后相加，即得到函数的与或表达式.（3）逻辑图逻辑图：是由表示逻辑运算的逻辑符号所构成的图形。F＝ＡＢ＋ＢＣＡＢＢＣ（4）波形图波形图：是由输入变量的所有可能取值组合的高、低电平及其对应的输出函数值的高、低电平所构成的图形。F＝ＡＢ＋ＢＣＡＢＣF００００００１００１０００１１１１０００１０１０１１０１１１１１００００ＡＢ＋ＢＣ3.3逻辑函数的化简

逻辑表达式越简单，实现它的电路越简单，电路工作越稳定可靠。逻辑函数化简的意义①使逻辑函数表达式变换为所需要的逻辑关系。(如：只有74LS00)②将逻辑函数化简为同一种逻辑功能，减少芯片种类逻辑函数可用公式进行变换；也可用卡诺图进行化简。⑴

利用公式，将两项合并为一项，并消去一个变量。⑵

利用公式Ａ＋ＡＢ＝Ａ，消去多余的项。⑶

利用公式Ａ＋ＡＢ＝Ａ＋Ｂ，消去多余的变量。⑷利用公式，为某一项配上其所缺的变量，以便用其它方法进行化简。⑸

利用公式Ａ＋Ａ＝Ａ，为某项配上其所能合并的项。1.逻辑函数表达式逻辑函数的表达式“与或”表达式“或与”表达式混合表达式逻辑函数的标准表达式①最小项表达式－－最小项相与②最大项表达式－－最大项相或最小项使最小项取值为1的取值十进制数最小项编号0000m00011m10102m20113m31004m41015m51106m61117m7

3变量最小项真值表最小项具有以下几个性质：1）对于任意一个最小项，只有一组变量取值使它的值为1，而其余各种变量取值均使它的值为0。2）任意两个最小项的“与”恒为0。3）全部最小项之和（“或”）等于1。4）具有逻辑相邻性的最小项可以合并为一项，并且可以消去一对变量。最小项表达式

在最小项表达式中，逻辑函数的每一个“与”项都包含了全部变量，其中每个变量以原变量或反变量的形式出现，且每个变量仅出现一次，这种“与”项通常称为最小项，也称为标准“与或”表达式。例1.3.6将逻辑函数转换成最小项表达式

＝m7+m6+m3+m1解：ABCF最小项00001m000110m101001m201110m310001m410101m511010m611110m7写F的表达式是将最小项为1的项相或：写F的表达式是将最小项为0的项相或：任何一个逻辑函数表达式都可以表示为一组最小项之和，称为最小项表达式。最大项使最大项取值为0的取值十进制数最大项编号0000M00011M10102M20113M31004M41015M51106M61117M73变量最大项真值表最大项表达式

最大项的性质：①每个最大项只对应于1组输入变量使最大项的值为0；②任意两个最大项之和为1；③全部最大项之积恒为0。

在最大项表达式中，逻辑函数的每一个“或”项都包含了全部变量，其中每个变量以原变量或反变量的形式出现，且每个变量仅出现一次，这种“或”项通常称为最大项，也称为标准“或与”表达式。一个逻辑函数可以用最大项之积的形式来表示，称为函数的标准“或与”表达式——最大项表达式。

已知：函数

试问F和G哪一个是最大项表达式？同一个函数具有如下的性质：①既可以表示为最小项表达式，也可以表示为最大项表达式；②最大项与最小项的关系为：同一下标的最大项和最小项互补。

ABCF最小项最大项0000M00010M10100M20111m31001m41011m51101m61111m7F=∑m(3,4,5,6,7)=∏M(0,1,2)

２）即将输出为1的最小项相或；将输出为0的最大项相与。解：１）列出真值表例:写成函数的最小项表达式和最大项表达式。2.卡诺图化简卡诺图是一种变形的真值表，它用2n个小方格代表n个变量的全部最小项。卡诺图的特点：将具有逻辑相邻性的最小项在几何位置上也相邻地排列。一、卡诺图的表示方法2变量卡诺图3变量卡诺图4变量卡诺图二、卡诺图的填入最小项表达式的填入：将构成函数的那些最小项的方格中填入1。最大项表达式的填入：将构成函数的那些最大项的方格中填入0。仔细观察可以发现，卡诺图具有很强的相邻性：（1）直观相邻性，只要小方格在几何位置上相邻（不管上下左右），它代表的最小项在逻辑上一定是相邻的。（2）对边相邻性，即与中心轴对称的左右两边和上下两边的小方格也具有相邻性。非标准“与或”表达式的填入方法：将每个与或表达式中的1用原变量表示，0用反变量表示，在卡诺图中找出交叉的方格填入1,其余填0.非标准“或与”表达式的填入方法：找出使其“或”项为0的组合对应的方格为0,其余填1.三、卡诺图的化简依据2）4个相邻的最小项结合，可以消去2个取值不同的变量而合并为l项。1）2个相邻的最小项结合,可以消去1个取值不同的变量而合并为l项。3）8个相邻的最小项结合，可以消去3个取值不同的变量而合并为l项。卡诺图的化简依据是：

如果有2n个最小项并构成一个矩形，则它们可合并为一项并消去n个变量，保留的变量是这些最小项中的公共变量，而发生变化的变量将被消去。四、卡诺图的化简步骤：（1）画出逻辑函数的卡诺图。（2）合并相邻的最小项，即根据下述原则画圈。（3）写出化简后的表达式。每一个圈写一个最简与项，规则是，取值为l的变量用原变量表示，取值为0的变量用反变量表示，将这些变量相与。然后将所有与项进行逻辑加，即得最简与—或表达式。卡诺图的化简注意事项:

（1）尽量画大圈，但每个圈内只能含有2n（n=0,1,2,3……）个相邻项。特别注意对边相邻性和四角相邻性。（2