结构力学十三讲(矩阵位移法)

矩阵位移法1

一、矩阵位移法的基本思路

矩阵位移法的两个基本步骤是（1）结构的离散化；（2）单元分析；（3）整体分析，任务意义单元分析建立杆端力与杆端位移间的刚度方程，形成单元刚度矩阵用矩阵形式表示杆件的转角位移方程整体分析由变形条件和平衡条件建立结点力与结点位移间的刚度方程，形成整体刚度矩阵用矩阵形式表示位移法基本方程2指杆件除有弯曲变形外，还有轴向变形和剪切变形的单元，杆件两端各有三个位移分量，

符号规则：图(a)表示单元编号、杆端编号和局部座标，局部座标的座标与杆轴重合；12eEAIl(a)图(b)表示的杆端位移均为正方向。单元编号杆端编号局部座标12(b)杆端位移编号12杆端力编号(c)二、杆端位移、杆端力的正负号规定一般单元：3eee局部坐标系中的单元刚度方程EAl6EIl2

6EIl2

EAl12EIl3

12EI

l34EIl2EIlee=(1)(2)(3)(4)(5)(6)(1)(2)(3)(4)(5)(6)0000006EI

l206EIl20-EAl-6EIl2-6EIl2

EAl-12EIl3

12EIl32EIl4EIl000000-6EIl206EIl20只与杆件本身性质有关而与外荷载无关局部座标系的单元刚度矩阵4§13-3单元刚度矩阵(整体座标系)exyX1Y1X2Y2eeeee座标转换矩阵一、单元座标转换矩阵正交矩阵[T]-1=[T]Teeeeⓔⓔ5三、单元刚度矩阵的性质（1）单元刚度系数的意义e—代表单元杆端第j个位移分量等于1时所引起的第i个杆端力分量。（2）单元刚度矩阵是对称矩阵，e即。（3）一般单元的刚度矩阵是奇异矩阵；e因此它的逆矩阵不存在从力学上的理解是，根据单元刚度方程eeeee由有一组力的解答(唯一的)，即正问题。ee由如果e不是一组平衡力系则无解；若是一组平衡力系，则解答不是唯一的，即反问题。[k]=[T]T

ke[T]e二、整体座标系中的单元刚度矩阵6§13-4连续梁的整体刚度矩阵按传统的位移法i1i21214i112i110i1i21222i122i22(4i1+4i2)2i1i212302i234i23每个结点位移对{F}的单独贡献F1F2F34i12i102i14i1+4i22i202i24i2123={F}=[K]{}根据每个结点位移对附加约束上的约束力{F}的贡献大小进行叠加而计算所得。传统位移法7一、单元集成法的力学模型和基本概念分别考虑每个单元对{F}的单独贡献，整体刚度矩阵由单元直接集成i1i212123F3{F}1=[F11F211]TF11F21F31令

i2=0，则F31=0[k]=4i12i14i12i11F11F21=4i12i14i12i112（a）（b）F11F21F31=4i12i14i12i1000001231[K]{}{F}=1[K]=14i12i14i12i100000单元1的贡献矩阵单元1对结点力{F}的贡献略去其它单元的贡献。8i1i212123F12F22F32[k]=4i22i24i22i22F12F22F32=4i12i14i12i1000001232[K]{}{F}=2设

i1=0，则F12=0[K]=24i12i14i12i100000单元的贡献矩阵F3{F}2=[F12F222]T单元对结点力{F}的贡献略去单元的贡献。91[K]{}{F}=1[K]=14i12i14i12i1000002[K]{}{F}=2[K]=24i12i14i12i100000i1i2121212[K]=（[K]+[K]）=12ee[k][K][K]ee{F}={F}+{F}=（[K]+[K]）{}12{F}=[K]{}整体刚度矩阵为：单元集成法求整体刚度矩阵步骤：根据单元和单元分别对结点力{F}的贡献，可得整体刚度方程：10[k][K][K]ee12[k]=4i12i14i12i11[K]=14i12i14i12i100000[k]=4i22i24i22i22[K]=24i22i24i22i2000001214i12i14i12i1000002i22i24i2[K]=4i12i14(i1+i2)2i102i202i24i24i1+4i2整体刚度矩阵:11二、按照单元定位向量由[k]求

e[K]e(1)在整体分析中按结构的结点位移统一编码，称为总码。(2)在单元分析中按单元两端结点位移单独编码，称为局部码。以连续梁为例121231(1)(2)2(1)(2)位移统一编码，总码单元12对应关系局部码总码单元定位向量e(1)1(2)21=(1)2(2)32=确定中的元素在中的位置。为此建立两种编码：[k]

e[K]e位移单独编码局部码由单元的结点位移总码组成的向量12（3）单刚[k]

e[K]e和单元贡献中元素的对应关系单元单元[k]=4i12i14i12i11(1)(2)(1)(2)1=[K]=11230000000004i12i12i14i1123[k]=4i22i24i22i22(1)(2)(1)(2)2=[K]=20000000004i22i24i22i2123123单元定位向量描述了单元两种编码（总码、局部码）之间的对应关系。单元定位向量定义了整体坐标系下的单元刚度矩阵中的元素在整体刚度矩阵中的具体位置，故也称为“单元换码向量”。单元贡献矩阵是单元刚度矩阵，利用“单元定位向量”进行“换码重排位”。13三、单元集成法的实施（定位累加）[K]123123000000000[k]110000000004i12i12i14i1123123[k]224i12i14i12i1000002i22i24i24i1+4i2123123（1）将[K]置零，得[K]=[0]；（2）将[k]的元素在[K]中按{}定位并进行累加，得[K]=[K]；（3）将[k]的元素在[K]中按{}定位并进行累加，得[K]=[K]+[K]；按此作法对所有单元循环一遍，最后即得整体刚度矩阵[K]。1412i1i2i3312301230=0（1）结点位移分量总码（2）单元定位向量1=2=3=（3）单元集成过程[k]=4i12i14i12i111221[k]=4i22i24i22i222332[k]=4i32i34i32i330330[K]=1231230000000004i12i12i12i22i24i24i14i2+4i34i1+4i2例.求连续梁的整体刚度矩阵。15四、整体刚度矩阵[K]的性质（1）整体刚度系数的意义:Kij－j=1(其余=0)时产生的结点力Fi（2）[K]是对称矩阵（3）对几何不变体系，[K]是可逆矩阵，如连续梁i1i2123F1F2F3{F}=[K]{}{}=[K]-1{F}（4）[K]是稀疏矩阵和带状矩阵，如连续梁123F1F2F3123nnFnn+1Fn+10000000000000000000000000000000000004i12i12i12i22i24i2+4i34i1+4i24in2i32in16§13-5刚架的整体刚度矩阵思路要点：（1）设各单元已形成了整体座标系下的单元刚度矩阵；e[k]（2）各经由e{}进行累加集成[K]。与连续梁相比：(1)各单元考虑轴向变形；(2)每个刚结点有三个位移；(3)要采用整体座标；(4)要处理非刚结点的特殊情况。一、结点位移分量的统一编码——总码ABCxy123004000结点位移总码{}=[1

234]T规定：对于已知为零的结点位移分量，其总码均编为零。=[uA

vA

A

C]T整体结构的结点位移向量为：相应地结点力向量为：=[XA

YA

MA

MC]T{F}=[F1

F2

F3

F4]T①②17x(1)(2)(3)(5)(6)x(2)(3)(5)(6)单元结点位移分量局部码二、单元定位向量单元单元局部码总码局部码总码（1）1（2）2（3）3（4）0（5）0（6）4（1）1（2）2（3）3（4）0（5）0（6）0三、单元集成过程①②ABCxy12300400结点位移总码②①0(4)(1)(4)181ABC2xy123004000121234[K]=123400000000000000001[k]=000000000000000000000000000000000000111213141516212223242526313233343536414243444546515253545556616263646566123004123004111213212223313233616263661626361112132122233132332[k]1230001230001112131415162