线性系统理论第六章 线性反馈系统的时间域综合

第六章

线性反馈系统的时间域综合

重庆大学自动化学院柴毅魏善碧系统分析与综合综合与分析是相反的一个命题。系统的状态空间描述的建立为分析系统的行为和特性、对系统按期望的性能指标进行控制提供了可能性系统分析：揭示系统状态的运动规律和基本特性系统分析：运动的定量变化规律，运动的定性行为系统综合：按照期望的性能指标确定控制规律性能指标：非优化型和优化型控制规律：输出反馈和状态反馈反馈系统综合综合问题已知系统的结构和参数，以及所期望的系统运动形式或某些特征，确定的需要施加于系统的外输入作用及控制作用的规律。控制作用取为反馈形式反馈控制：有效抑制外部扰动、减小内部参数表化的影响反馈系统综合学习目标把握系统综合和受控系统的概念正确理解线性定常系统的状态反馈和输出反馈并掌握其主要区别掌握研究综合问题的综合理论和综合方法掌握典型形式性能指标的反馈综合方法正确理解状态观测器的基本概念和应用反馈系统综合主要内容线性定常系统的反馈控制综合典型形式性能指标可综合性理论和反馈控制综合算法状态观测器反馈系统综合重点难点综合问题的综合理论和综合方法典型形式性能指标的反馈综合方法状态观测器及应用第6章

线性反馈系统的时间域综合6.1引言

6.2状态反馈和输出反馈

6.3极点配置问题：可配置条件和算法

6.4镇定问题：可镇定条件和算法

6.5解耦控制问题：可解耦条件和算法

6.6状态重构问题和状态观测器

6.8引入观测器的状态反馈控制系统的特性6.1引言(1)分析已知系统结构和参数及外输入作用，研究系统运动的定性行为（如能控性、能观测性、稳定性等）和定量的变化规律（状态响应）。(2)综合已知系统结构和参数，以及所期望的系统运动形式或某些特征。确定需要施加于系统的外输入作用，即控制作用的规律控制作用规律通常取为反馈形式(优势：抗扰动、抗参数变化)

分析与综合(3)综合问题的提法系统的综合问题包括：受控系统、性能指标、控制输入

综合：寻找一个控制作用u，在其作用下使受控系统的运动满足所给出的期望性能指标。6.1引言

受控系统：综合问题的对象，为连续时间时不变系统6.1引言

控制作用依赖于系统的实际响应：

1）状态反馈控制

2）

输出反馈控制其中：

为

常阵，状态反馈矩阵。

为

常阵，输出反馈矩阵。

为参考输入向量。所导出的闭环结构的控制系统，分别称为状态反馈系统和输出反馈系统。（4）系统综合就是对给定受控系统，确定反馈形式的控制，使所导出闭环系统的运动行为达到或优于指定的期望性能指标。要求：期望的性能指标、某些特征向量、或某种期望形式、或极小（或极大）值一个性能函数。综合：确定控制u的规律和形式及其工程实现中的理论问题设计：还要考虑控制u的实现问题(如电路、元件、参数等)6.1引言6.1引言性能指标的类型

优化型性能指标：对于状态X和控制u的二次型积分性能指标综合任务是要确定一个控制u(·)，使得在相应的性能指标J(u(·))取为极小值。控制u(·)称为最优控制，J为最优性能6.1引言非优化型性能指标镇定问题：以渐近稳定作为性能指标极点配置：以一组期望的闭环极点作为性能指标解耦控制：使一个多输入-多输出系统实现“一个输入只控制一个输出”作为性能指标跟踪问题：以使系统的输出y无静差地跟踪一个外部信号y0(t)作为性能指标（5）研究综合问题的思路

综合问题分解为两个性质不同的命题：综合理论和综合算法

可综合条件

给定的受控系统和期望性能指标，使控制存在且实现综合目标应满足的条件。用以综合控制规律的算法

确定满足要求的控制律。即响应的状态反馈矩阵或输出反馈矩阵。

1）

状态反馈控制

2）

输出反馈控制6.1引言（6）控制系统工程实现中的一些理论问题1）状态反馈的构成问题

利用可测输入u和输出y来构造出不能测的状态x。称为状态重构，即观测器问题。6.1引言2）系统模型的不准确和参数慑动问题

模型不准确和参数慑动，按理想模型得到的控制器组成的控制系统中，是否产生达不到期望的性能指标或不稳定的问题。鲁棒性问题：参数的不精确误差或摄动出现在模型参数的一个邻域内时，系统仍能稳定地运行或保持期望的性能值，则是鲁棒性的。6.1引言（6）控制系统工程实现中的一些理论问题3）对外部扰动的影响的抑制问题

实际的控制系统将面临外部扰动的影响，抑制或减少这种影响，称为扰动抑制问题。第6章

线性反馈系统的时间域综合6.1引言

6.2状态反馈和输出反馈

6.3极点配置问题：可配置条件和算法

6.4镇定问题：可镇定条件和算法

6.5解耦控制问题：可解耦条件和算法

3.6状态重构问题和状态观测器

3.8引入观测器的状态反馈控制系统的特性（1）状态反馈

设连续时间线性时不变系统状态反馈下受控系统的输入为：反馈系统

的状态空间描述为：6.2状态反馈和输出反馈6.2状态反馈和输出反馈B∫CAK

结论1：对连续时间线性时不变系统，状态反馈保持能控性，不保持能观测性（2）输出反馈

设连续时间线性时不变系统

输出反馈下受控系统输入

B∫CAF6.2状态反馈和输出反馈6.2状态反馈和输出反馈

输出反馈系统的状态空间描述为：

结论2：对连续时间线性时不变系统，输出反馈保持能控性和能观测性。（3）状态反馈和输出反馈的比较

反馈原理：状态反馈为系统结构信息的完全反馈，输出反馈则是系统结构信息的不完全反馈反馈功能：状态反馈在功能上远优于输出反馈6.2状态反馈和输出反馈反馈实现上，输出反馈要优越于状态反馈。（反馈的工程构成：输出变量可直接测量）6.2状态反馈和输出反馈改善输出反馈的途径：扩展输出反馈（动态输出反馈）B∫CA并联补偿器串联补偿器

在反馈中单独或同时引入串联补偿器和并联补偿器。对线性时不变受控系统，补偿器也为线性时不变系统，它的引入提高了反馈系统的阶次。6.2状态反馈和输出反馈解决状态反馈物理实现的途径：引入状态观测器（也是一个线性系统，其维数等于或小于被观测系统的维数）通常，不可能做到使和x为完全相等，但可以做到使两者渐近相等：当t→∞时，和x(t)相等。第6章

线性反馈系统的时间域综合6.1引言

6.2状态反馈和输出反馈

6.3极点配置问题：可配置条件和算法

6.4镇定问题：可镇定条件和算法

6.5解耦控制问题：可解耦条件和算法

3.6状态重构问题和状态观测器

3.8引入观测器的状态反馈控制系统的特性

（1）期望闭环极点组

对极点配置综合问题，首要是合理指定期望闭环极点组期望闭环极点组的性能指标属性

控制理论角度，以期望闭环极点组为性能指标，可以严格和简洁地建立相应综合理论和算法。

控制工程角度，期望闭环极点组缺乏直观工程意义，不为控制工程界所认同和采用。

理论界和工程界接受：在直观的性能指标和期望闭环极点组之间建立起对应的联系。6.3状态反馈极点配置

（2）控制工程中基本类型性能指标

控制工程中，对控制系统性能指标提法的基本要求，可归结为形式上的直观性和内涵上的工程性。基本性能指标类型

时间域性能指标频率域性能指标6.3状态反馈极点配置6.3状态反馈极点配置（3）时间域性能指标

时间域性能指标由系统单位阶跃响应定义：1.050.95trtdtptsσ00.10.50.91.0ty(t)超调量σ=响应曲线第一次越过稳态值达到峰点时超调部分与稳态值之比上升时间ts=响应曲线首次从稳态值10%过渡到稳态值90%所需时间延迟时间td=响应曲线首次达到稳态值50%所需时间峰值时间tp=响应曲线第一次达到峰点时间6.3状态反馈极点配置（4）频率域性能指标

频率域性能指标由系统频率响应幅频特性定义：

谐振峰值Mr=幅频特性曲线达到峰点的值谐振角频率ωr=幅频特性曲线达到峰点对应角频率值截止角频率ωcc=幅频特性曲线上值为

0.707处对应角频率值6.3状态反馈极点配置（5）二阶系统性能指标关系其中，

为输出，

为输入，

为时间常数，

为阻尼系数，且限于情形。

对于二阶系统：其中，

为自然角频率。

系统特征方程根为一对共轭复数：6.3状态反馈极点配置对上述二阶系统，通过相应推导，可以导出其时间域性能指标和系统参数的显示关系：超调量

过渡过程时间（误差范围取为5%稳态值）（误差范围取为2%稳态值）

上升时间

峰值时间6.3状态反馈极点配置同样，对上述二阶系统，通过相应推导，可以导出其频率域性能指标和系统参数的显示关系：谐振峰值

谐振角频率

截止角频率6.3状态反馈极点配置不同阻尼下二阶系统单位阶跃响应6.3状态反馈极点配置（1）状态反馈极点可配置问题

n维连续时间线性时不变受控系统给定n个所期望的闭环系统的极点，为实数或者共轭复数对。

状态反馈极点配置

这组期望的闭环极点是由综合问题的更为的性能指标，如时域形式的过渡过程时间、超调量等，频率形式的增益稳定裕度、相位稳定裕度等，通过转换来确定。

确定一个p×n的状态反馈增益矩阵K，使得所导出的状态反馈闭环系统6.3状态反馈极点配置

给定受控系统确定状态反馈控制

，

为参考输入。

（1）状态反馈极点可配置问题的极点为式中λ(·)表示(·)的特征值。

表示为6.3状态反馈极点配置

解决极点配置问题，需要考虑两个问题：建立可配置条件的问题：给出受控系统可以利用状态反馈任意配置其闭环极点所应遵循的条件；建立相应的算法：确定满足极点配置要求的状态反馈增益矩阵K的算法。（1）状态反馈极点可配置问题6.3状态反馈极点配置（2）状态反馈极点可配置的条件（单输入系统）极点配置定理对单输入n维连续时间线性时不变受控系统系统全部n个极点可任意配置的充分必要条件为完全能控。6.3状态反馈极点配置step5

step6

Q=P-1step7

step8停止计算

（3）极点配置算法

step1判别（A，b）能控性

step2计算矩阵A特征多项式det(sI-A)=α(s)=sn+αn-1sn-1+…+α1s+α0step3计算由期望闭环特征值

决定的特征多项式

step46.3状态反馈极点配置例1连续时间线性时不变状态方程为期望闭环极点为计算状态反馈阵K解：容易判断系统能控计算由期望闭环极点组决定的特征多项式

6.3状态反馈极点配置计算

得到

6.3状态反馈极点配置极点配置定理：对多输入n维连续时间线性时不变系统系统可通过状态反馈任意配置全部n个极点的充分必要条件为{A,B}完全能控。（4）状态反馈极点（多输入系统）6.3状态反馈极点配置极点配置算法：给定n维多输入连续时间线性时不变受控系统{A,B}和一组任意期望闭环特征值要求确定一个p×n状态反馈矩阵K，使step1

判断A的循环性，若非循环，选取一个p×n实常阵K1，使为循环；若循环，表step2

选取一个p×1实常量ρ，有b=Bρ使为完全能控

step3

对等价单输入系统

利用单输入情形极点配置算法，计算状态反馈向量k。step4

对A为循环，K＝ρk

对A为非循环，K＝ρk＋K1

结论：对完全能控n维单输入单输出连续时间线性时不变系统，引入状态反馈任意配置传递函数全部n个极点的同时，一般不影响其零点。结论：对完全能控n维多输入多输出连续时间线性时不变系统，状态反馈在配置传递函数矩阵全部n个极点同时，一般不影响其零点。6.3状态反馈极点配置（5）状态反馈对系统传递函数矩阵零点的影响6.3状态反馈极点配置定义：设完全能控多输入多输出连续时间线性时不变系统其传递函数矩阵G(s)=C(SI-A)-1B,G(s)的极点为其特征方程式的根。零点定义使得的所有s值结论：对完全能控连续时间线性时不变受控系统采用输出反馈一般不能任意配置系统全部极点。（6）输出反馈极点配置6.3状态反馈极点配置结论：对完全能控n维单输入单输出连续时间线性时不变受控系统采用输出反馈只能使用闭环系统极点配置到根轨迹上，而不能任意配置到根轨迹以外位置上。第6章

线性反馈系统的时间域综合6.1引言

6.2状态反馈和输出反馈

6.3极点配置问题：可配置条件和算法

6.4镇定问题：可镇定条件和算法

6.5解耦控制问题：可解耦条件和算法

6.6状态重构问题和状态观测器

6.8引入观测器的状态反馈控制系统的特性状态镇定问题：对给定时间线性时不变受控系统，找到一个状态反馈型控制律使所导出的状态反馈型闭环系统为渐近稳定，即系统闭环特征值均具有负实部。6.4状态反馈镇定结论：连续时间线性时不变系统可由状态反馈镇定，当且仅当系统不能控部分为为渐近稳定结论：连续时间线性时不变系统可由状态反馈镇定的一个充分条件是系统完全能控6.4状态反馈镇定状态反馈镇定算法：Step1

判断(A.B)能控性，若完全能控，去Step4。Step2

对(A.B)按能控性分解Step3

对能控部分进行极点配置Step4

计算镇定状态反馈矩阵Step5

计算停止。第6章

线性反馈系统的时间域综合6.1引言

6.2状态反馈和输出反馈

6.3极点配置问题：可配置条件和算法

6.4镇定问题：可镇定条件和算法

6.5解耦控制问题：可解耦条件和算法

6.6状态重构问题和状态观测器

6.7引入观测器的状态反馈控制系统的特性问题的提法：设多输入多输出连续时间线性时不变系统采用包含输入变换的状态反馈系统B∫CAKL6.5状态反馈解耦控制（1）状态反馈动态解耦系统状态空间描述为：动态解耦控制：寻找输入变换状态反馈矩阵使得所导出的闭环传递函数矩阵为非奇异对角有理分式矩阵6.5状态反馈解耦控制B∫CAKL6.5状态反馈解耦控制系统的结构特征量

输出矩阵传递函数矩阵对连续时间线性时不变受控系统，结构特性指数定义为：对连续时间线性时不变受控系统，结构特性向量定义为：6.5状态反馈解耦控制6.5状态反馈解耦控制可解耦条件结论：对方连续时间线性时不变受控系统，使包含输入变换状态反馈系统可实现动态解耦的充分必要条件是：基于结构特征向量组成的pхp矩阵E非奇异

则可导出包含输入变换状态反馈系统这种解耦称为积分型解耦系统6.5状态反馈解耦控制解耦控制综合算法

给定n维方连续时间线性时不变受控系统要求综合一个输入变换和状态反馈矩阵对{L,K}，使系统实现动态解耦，并使解耦后每个单输入单输出系统实现期望极点配置Step1：计算受控系统(A,B,C)的结构特征量

6.5状态反馈解耦控制6.5状态反馈解耦控制Step2：组成并判断矩阵E的非奇异性若E为非奇异，即能解耦若E为奇异，则不能解耦。Step3：

Step4：取

导出积分型解耦系统

Step5：判断

的能观测性，若不完全能观测，计算Step6：引入线性非奇异变换化积分型解耦系统为解耦规范型。对完全能观测

6.5状态反馈解耦控制6.5状态反馈解耦控制Step7：求

6.5状态反馈解耦控制Step9：根据指定期望极点组按单输入情形极点配置法，定出状态反馈矩阵Step10：最后得

6.5状态反馈解耦控制Step8：对解耦规范型

选取

状态反馈矩阵

的结构

对完全能观测对不完全能观测问题的提法：

设多输入多输出连续时间线性时不变受控系统静态解耦控制：综合一个输入变换和状态反馈矩阵对使导出的包含输入变换状态反馈系统及其传递函数矩阵6.5状态反馈解耦控制（2）状态反馈静态解耦6.5状态反馈解耦控制满足：i）闭环控制系统渐近稳定，即ii）闭环传递函数矩阵当S=0时为非奇异对角常阵，即有可解耦条件

存在输入变换和状态反馈矩阵对L,K,其中可使方n维连续时间线性时不变受控系统实现静态解耦，当且仅当6.5状态反馈解耦控制算法的主要步骤为：第1步：判断是否能稳定或能控，判断系数矩阵的秩条件是否成立。第2步：对于满足可静态解耦条件的系统，按极点配置算法，确定一个状态反馈增益矩阵K，使的特征值均具有负实部。第3步：按照静态解耦后各单输入-单输出自治系统的稳态增益要求，确定的值，且取。第4步：取输入变换阵，则。第6章

线性反馈系统的时间域综合6.1引言

6.2状态反馈和输出反馈

6.3极点配置问题：可配置条件和算法

6.4镇定问题：可镇定条件和算法

6.5解耦控制问题：可解耦条件和算法

6.6状态重构问题和状态观测器

6.7引入观测器的状态反馈控制系统的特性6.6状态重构问题和状态观测器

状态重构：重新构造一个系统，利用原系统中可直接测量的变量，如输入向量和输出向量作为它的输入信号，并使其输出信号在一定的提法下等价于原系统的状态

称为的重构状态或估计状态

用于实现状态重构的系统为观测器1）开环状态观测器为了实现状态反馈，有时需要对状态进行估计，开环估计方法如下：6.6状态重构问题和状态观测器（1）全维状态观测器2）全维观测器全维观测器是指重构状态向量的维数与原系统相同事实上，已知的信息为u(t)和y(t)，只有当系统完全能观测时，才能从u(t)和y(t)及其导数的线性组合中获得状态向量x(t)的估计值此时存在状态观测器。利用观测器实现状态反馈的系统为：

6.6状态重构问题和状态观测器结论：n维线性定常系统是能观测的，则必可采用全维观测器来重构其状态，并且必可通过选择增益阵L而任意配置（A－LC）的全特征值。6.6状态重构问题和状态观测器

在观测器的设计中，为使尽快地接近x(t)，可利用y(t)和之间的差作为误差反馈信息，观测器结构如下：BACL写出观测器动态方程为原系统的状态方程：6.6状态重构问题和状态观测器写出观测器动态方程为原系统的状态方程：定义状态向量的真实值与估计值之间的偏差为误差状态向量，即：定理：若系统（A,B,C）是能观测的，其状态可用n维状态观测器进行估计矩阵L可以按给定极点的位置来选择，所定极点的位置，将决定误差向量趋于零的速率。例：设系统动态方程为

试设计一个状态观测器，其中矩阵A-hc的特征值（观测器极点）为-10，-10。解：

6.6状态重构问题和状态观测器希望的特征多项式

观测器方程

原系统及其状态观测器结构图如下6.6状态重构问题和状态观测器6.6状态重构问题和状态观测器

由于在系统的输出y中包含有系统状态x的部分信息，因此在直接利用这部分信息的基础上，可以构造出维数低于被估计系统的状态观测器。称为降维状态观测器。（2）降维状态观测器

被估计n维线性定常系统为其中，A，B和C分别为n×n

，n×p和q×n实常阵，假定{A，C}为能观测，C为满秩阵即有rankC=p降维观测器的最小维数为n－q6.6状态重构问题和状态观测器1）建立n-m维子系统动态方程为一个n×n矩阵，D的选择应使Q可逆。令：考虑到6.6状态重构问题和状态观测器系统的动态方程为可直接有y

提供，只须估计6.6状态重构问题和状态观测器2）降维观测器设计方程改写为故降维观测器方程为6.6状态重构问题和状态观测器令这是一个n-m维观测器，整个状态向量的估计值为：而系统原状态向量x的估计值为降维观测器方程6.6状态重构问题和状态观测器3）L阵的选择通过H

阵的选择，使

的极点任意配置，衰减到零的速率，直接有y提供，不存在估值误差。极点的位置决定误差向量而定理：有m个输出的任一m维能观测系统(A,B,C)，可通过状态变换而写成如下形式：其状态可用n-m维龙伯格观测器进行估计(n-m)×m矩阵H可以选得使的极点任意配置6.6状态重构问题和状态观测器6.6状态重构问题和状态观测器极点的位置决定误差向量衰减到零的速率，观测器结构图如下：例：已知系统：构造一降维观测器解：系统完全能观测

令

6.6状态重构问题和状态观测器设降维观测器的特征值为-10，H=[h]6.6状态重构问题和状态观测器希望的特征多项式为λ+10，故H=[10]，