第四章 测量系统的基本特性

学习要求1掌握测试系统的静态标定的概念及意义，常用的静态特性参数的定义及标定数据的处理计算方法；2表征测试系统动态特性的主要指标及其计算方法；3掌握测试系统动态特性分析方法（传递函数、频响函数、运动微分方程）；4掌握不失真测量之条件；5了解典型激励的系统瞬态响应，测量系统的动态特性参数的获取方法及动态误差修正方法。一般测量系统由三个基本环节组成：上图表示输入信号x(t)送入此组件后经过规定的传输特性h(t)转变为输出信号y(t)。其中h(t)为由此组件的物理性能决定的数学运算法则。对比例放大环节h(t)可写成k（电子或机械装置的放大系数）4.1:概述

一般的工程测试问题总是处理输入量x(t)、系统的传输转换特性和输出量y(t)三者之间的关系。①

x(t)、y(t)是可以观察的量，则通过x(t)、y(t)可推断测量系统的传输特性或转换特性；②

h(t)已知，y(t)可测，则可通过h(t)、y(t)推断导致该输出的相应输入量x(t)，这是工程测试中最常见的问题；③若x(t)、h(t)已知，则可推断或估计系统的输出量。

理想的测量系统应该具有单值的、确定的输入―输出关系。其中以输出和输入成线性关系为最佳。在静态测量中，测量系统的这种线性关系虽说总是所希望的，但不是必须的，因为在静态测量中可用曲线校正或输出补偿技术作非线性校正；在动态测量中，测量工作本身应该力求是线性系统，这不仅因为目前只有对线性系统才能作比较完善的数学处理与分析，而且也因为在动态测试中作非线性校正目前还相当困难。

欲使测量结果具有普遍的科学意义，测量系统应当是经过检验的。标定：用已知的标准校正仪器或测量系统的过程称为标定。输入到测量系统中的已知量是静态量还是动态量，标定分静态标定和动态标定。

4.2测量系统的静态标定与静态特性静态标定：就是将原始基准器，或比被标定系统准确度高的各级标准器或已知输入源作用于测量系统，得出测量系统的激励－响应关系的实验操作。

要求：标定时，一般应在全量程范围内均匀地取定5个或5个以上的标定点（包括零点）正行程：从零点开始，由低至高，逐次输入预定的标定值此称标定的正行程。反行程：再倒序依次输入预定的标定值，直至返回零点，此称反行程。静态标定①确定仪器或测量系统的输入－输出关系，赋予仪器或测量系统分度值；②确定仪器或测量系统的静态特性指标；③消除系统误差，改善仪器或测量系统的正确度静态标定的主要作用测量系统的静态特性

测量系统的静态特性：通过静态标定，可得到测量系统的响应值yi和激励值xi之间的一一对应关系，称为测量系统的静态特性。测量系统的静态特性可以用一个多项式方程表示，即

称为测量系统的静态数学模型工作曲线

工作曲线：方程称之为工作曲线或静态特性曲线。实际工作中，一般用标定过程中静态平均特性曲线来描述。正行程曲线：正行程中激励与响应的平均曲线反行程曲线：反行程中激励与响应的平均曲线实际工作曲线：正反行程曲线之平均反行程工作曲线正行程工作曲线Y(t)0X(t)实际工作曲线工作曲线

理想的情况是测量系统的响应和激励之间有线性关系，这时数据处理最简单，并且可和动态测量原理相衔接。由于原理、材料、制作上的种种客观原因，测量系统的静态特性不可能是严格线性的。如果在测量系统的特性方程中，非线性项的影响不大，实际静态特性接近直线关系，则常用一条参考直线来代替实际的静态特性曲线，近似地表示响应－激励关系。测量系统的静态特性

①端点连线将静态特性曲线上的对应于测量范围上、下限的两点的连线作为工作直线；参考直线的选用方案断点连线Y(t)X(t)0②端点平移线平行于端点连线，且与实际静态特性（常取平均特性为准）的最大正偏差和最大负偏差的绝对值相等的直线；Y(t)X(t)参考直线的选用方案③最小二乘直线直线方程的形式为且对于各个标定点（xi，yi）偏差的平方和最小的直线；式中a、b为回归系数，且a、b两系数具有物理意义；④过零最小二乘直线直线方程的形式为且对各标定点（xi，yi）偏差的平方和最小的直线。参考直线的选用方案静态特性指标产品型号：CLBSB板环式拉压力传感器

主要技术指标

测量范围：0--1000Kg

输出灵敏度：1.5--2.0V/V

非线性：0.0２级；0.05级；0.1级迟滞：0.0２级；0.05级；0.1级重复性：0.0２级；0.05级；0.1级

综合精度：0.03级；0.1级

零点温度系数：

<0.05%F.S

灵敏度温度系数：<0.05%F.S

零点不平衡输出：<1%F.S

输入阻抗：

685±30Ω；

输出阻抗：

650±5Ω

激励电压：

10V(或12V）；工作温度：-20---+80℃静态特性指标灵敏度S：是仪器在静态条件下响应量的变化△y和与之相对应的输入量变化△x的比值。如果激励和响应都是不随时间变化的常量(或变化极慢，在所观察的时间间隔内可近似为常量)，依据线性时不变系统的基本特性，则有：当特性曲线呈非线性关系时，灵敏度的表达式为：理想的灵敏度xyy△y△y△x△x00(a)(b)x△y△x量程：测量上限值与下限值的代数差称为量程。测量范围：测量系统能测量的最小输入量（下限）至最大输入量（上限）之间的范围称为测量范围。S00xS0±δ·S0%量程及测量范围可调范围5：1非线性：通常也称为线性度，是指测量系统的实际输入输出特性曲线对于参考线性输入输出特性的接近或偏离程度，用实际输入－输出特性曲线对参考线性输入－输出特性曲线的最大偏差量与满量程的百分比来表示。即－－线性度－－满量程－－最大偏差非线性其中：xy0实际工作曲线参考工作曲线YFS△Lmax显然越小，系统的线性程度越好，实际工作中经常会遇到非线性较为严重的系统，此时，可以采取限制测量范围、采用非线性拟合或非线性放大器等技术措施来提高系统的线性度。正行程工作曲线反行程工作曲线y0YFSXFS△Hmaxx迟滞：亦称滞后量、滞后或回程误差，表征测量系统在全量程范围内，输入量由小到大(正行程)或由大到小(反行程)两者静态特性不一致的程度。显然,越小,迟滞性能越好迟滞

重复性表示测量系统在同一工作条件下，按同一方向作全量程多次(三次以上)测量时，对于同一个激励量其测量结果的不一致程度。yYFSXFS△R0x重复性

重复性误差为随机误差，引用误差表示形式为:△R——同一激励量对应多次循环的同向行程响应量的极差

重复性是指标定值的分散性，是一种随机误差，也可以根据标准偏差来计算△R:子样标准偏差

K——置信因子，K=2时，置信度为95%;K=3时，置信度为99.73%。标定循环次数

标准偏差σ按贝塞尔公式计算,即、

、

——正、反行程各标定点响应量的标准偏差

——正、反行程各标定点的响应量的平均值

j——标定点序号，j＝1、2、3、…、m；i——标定的循环次数，i＝1、2、3、…、n；

yjiD、yjiI——正、反行程各标定点输出值再取σjD

、σjI的均方值为子样的标准偏差σ,则6．准确度

准确度是指测量仪器的指示接近被测量真值的能力。准确度是重复误差和线性度等的综合。准确度可以用输出单位来表示:

准确度表示测量的可信程度，准确度不高可能是由仪器本身或计量基准的不完善两方面原因造成。

在工程应用中多以仪器的满量程百分比误差来表示，即:7．分辨率

分辨率是指测量系统能测量到输入量最小变化的能力，即能引起响应量发生变化的最小激励变化量，用△x表示。由于测量系统或仪器在全量程范围内，各测量区间的△x不完全相同，因此常用全量程范围内最大的△x即△xmax与测量系统满量程输出值YFS之比的百分率表示其分辨能力，称为分辨率，用F表示，即为了保证测量系统的测量准确度，工程上规定：测量系统的分辨率应小于允许误差的1/3,1/5或1/10。可以通过提高仪器的敏感单元的增益的方法来提高分辨率。测量仪器必须有足够高的分辨率。阈值(死区值)的概念简介8稳定性9漂移10阈值零点漂移、灵敏度漂移时间漂移（时漂）、温度漂移（温漂）产生可测输出变化量时的最小输入量值长期稳定性标定的有效期外界干扰下，输出量发生与输入量无关的变化。11静态误差（精度）（1）将非线性、滞后、重复性、代数法综合偏大（2）将全部校准数据相对于拟合直线求标准偏差偏小（3）将非线性、滞后视为系统误差，重复性视为随机误差在测量静态信号时，线性测量系统的输出―输入特性是一条直线，二者之间有一一对应的关系，而且因为被测信号不随时间变化，测量和记录过程不受时间限制。测量系统对动态信号的测量任务不仅需要精确地测量信号幅值的大小，而且需要测量和记录动态信号变化过程的波形，这就要求测量系统能迅速准确地测出信号幅值的大小和无失真地再现被测信号随时间变化的波形。

测量系统的动态特性系统对激励（输入）的响应（输出）特性。一个动态特性好的测量系统，其输出随时间变化的规律（变化曲线），将能同时再现输入随时间变化的规律（变化曲线），即具有相同的时间函数。测量系统应保证系统的信号输出能精确地反映输入。对于一个理想的测量系统应具有确定的输入与输出关系。其中输出与输入成线性关系时为最佳，即理想的测量系统应当是一个线性时不变系统。测试系统基本要求

测量系统应保证系统的信号输出能精确地反映输入。对于一个理想的测量系统应具有确定的输入与输出关系。其中输出与输入成线性关系时为最佳，即理想的测量系统应当是一个线性时不变系统。xy线性xy线性xy非线性

对线性时不变系统具有以下主要性质：（1）叠加性与比例性若x1(t)→y1(t)；x2(t)→y2(t)及c1x1(t)→c1y1(t)；c2x2(t)→c2y2(t)则[c1x1(t)±c2x2(t)]→[c1y1(t)±c2y2(t)]式中，c1、c2为任意常数。说明：y=ax+b

系统不具备该性质线性时不变系统

微分性质若X(t)→y(t)，则即，系统对输入微分的响应，等同于对原输入响应的微分。

若x(t)→y(t)，即，当初始条件为零时，系统对输入积分的响应等同于对原输入响应的积分。积分性质若输入为正弦信号:x(t)=Asint

则输出函数必为:y(t)=Bsin(t±)上式表明，在稳态时线性系统的输出，其频率恒等于原输入的频率，但其幅值与相角均有变化。频率不变性线性时不变系统有两个十分重要的性质，即叠加性和频率不变性。根据叠加性质，当一个系统有n个激励同时作用时，那么它的响应就等于这n个激励单独作用的响应之和。即各个输入所引起的输出是互不影响的。在分析常系数线性系统时，可将一个复杂的激励信号分解成若干个简单的激励，如利用傅里叶变换，将复杂信号分解成一系列谐波或分解成若干个小的脉冲激励，然后求出这些分量激励的响应之和。频率不变性表明，当线性系统的输入为某一频率时，则系统的稳态响应也为同一频率的信号。测量系统动态特性描绘方法在静态测量情况下，测量系统输出量（响应）与输入量（激励）的关系符合式即输出量为输入量的函数。式中a0、a1、a2这些常系数均应有物理意义。在动态测量情况下，如果输入量随时间变化时，输出量能立即随之无失真地变化的话，那么这样的系统可看作是理想的。但实际的测量系统，总是存在着诸如弹性、惯性和阻尼等元件。此时，输出y不仅与输入x有关，而且还与输入量的变化速度dx/dt

，加速度d2x/dt2等有关。要精确地建立测量系统的数学模型是很困难的。从数学上可以用常系数线性微分方程表示系统的输出量y与输入量x的关系，这种方程的通式如下：式中，an、an-1、…、a1、a0和bm、bm-1、…、b1、b0均为与系统结构参数有关但与时间无关的常数。

在工程应用中，通常采用一些足以反映系统动态特性的函数，将系统的输出与输入联系起来。这些函数有传递函数、频率响应函数和脉冲响应函数等。

1．传递函数如果y(t)是时间变量t的函数，并且当t≦0时，y(t)=0，则它的拉普拉氏变换Y(S)的定义为:

可以记为式中是复变量

对微分形式有拉氏变换复习对卷积形式：对积分形式有：对微分方程取拉氏变换，并认为和及它们的各阶时间导数的初值为零，则得上式等号右边是一个与输入无关的表达式，它只与系统结构参数有关，因而等号右边是测量系统特性的一种表达式，是一个描述测量系统转换及传递信号特性的函数。定义其初始值为零时，输出Y(t)的拉氏变换Y(s)和输入的拉氏变换X(s)之比称为测量系统的传递函数，并记为H(s)，则引入传递函数概念之后，在Y(s)、H(s)和X(s)三者之中，知道任意两个，第三个便可求得。即：（2-23）

传递函数的物理意义：1）传递函数反映了测量系统的固有特性，不随输入信号、输出信号的变化而变化；2）不同类型的测量系统可用同一种形式的拉氏传递函数表达。

串并联系统的拉氏传递函数计算方法：1)串联系统：2)并联系统

2.频率响应函数

对于稳定的常系数线性系统，可用傅里叶变换代替拉氏变换:

或

称为测量系统的频率响应函数，简称为频率响应或频率特性。频率响应是传递函数的一个特例。

定义一：测量系统的频率响应就是在初始条件为零时，输出的傅里叶变换与输入的傅里叶变换之比，是在“频域”对系统传递信息特性的描述。频率响应函数是一个复数函数，用指数形式表示：式中——的模，

——的相角：称为测量系统的幅频特性。式中，，分别为频率响应函数的实部与虚部。称为测量系统的相频特性。

—为实频函数—为虚频函数

由两个频率响应分别为和的定常系数线性系统串接而成的总系统，如果后一系统对前一系统没有影响，那么，描述整个系统的频率响应、幅频特性和相频特性为：常系数线性测量系统的频率响应是频率的函数，与时间、输入量无关。如果系统为非线性的，则将与输入有关；若系统是非常系数的，则还与时间有关。补充定义二：在稳态条件下，稳态正弦激励的响应与稳态正弦激励之比与频率的关系。物理意义同传递函数，表征了测量系统等同的处理不同频率信号的能力。说明：这里的响应函数是指对一个装置、器件或系统而言的；对一个具体信号来讲是不存在响应函数的。

测定方法（频率响应函数可用实验的方法测定）a.用正弦激励及其响应测定；b.非正弦的，在零初条件下，作和的付氏变换，求。频响函数:直观的反映了测试系统对不同频率成分输入信号的扭曲情况。a)测量(正弦波法)

依次用不同频率fi的简谐信号去激励被测系统，同时测出激励和系统的稳态输出的幅值、相位，得到幅值比Ai、相位差φi。依据：频率保持性若x(t)=Acos(ωt+φx)

则y(t)=Bcos(ωt+φy)

从系统最低测量频率fmin到最高测量频率fmax，逐步增加正弦激励信号频率f，记录下各频率对应的幅值比和相位差，绘制就得到系统幅频和相频特性。优点：简单，信号发生器，双踪示波器缺点：效率低4.3测试系统的动态响应特性案例：音响系统性能评定y(t)=x(t)*h(t)Y(f)=X(f)H(f)

改进：脉冲输入/白噪声输入，测量输出，再求输出频谱。飞机模态分析3、冲激响应函数由式可知理想状况下若选择一种激励x(t)使

这时自然会想到引入单位冲激函数。根据单位冲激函数的定义和函数的抽样性质，可求出单位冲激函数的拉氏变换，即由于

，将其代入式（2-23）得上式表明，单位冲激函数的响应同样可描述测量系统的动态特性，它同传递函数是等效的，不同的是一个在复频域，一个是在时间域，通常称h(t)为冲激响应函数。对上式两边取拉氏逆变换，且令

则有对于任意输入所引起的响应，可利用两个函数的卷积关系，即系统的响应等于冲激响应函数同激励的卷积，即若装置的输人为单位脉冲δ(t)，因δ(t)的傅立叶变换为1，有：

Y(f)=H(f)，或y(t)=F-1[H(S)]优点：直观缺点：简单系统识别记为h(t)，称它为脉冲响应函数。H(f)固频、阻尼参数傅立叶变换案例:镗杆固有频率测量实验：悬臂梁固有频率测量案例:桥梁固频测量原理：在桥中设置一三角形障碍物，利用汽车碍时的冲击对桥梁进行激励，再通过应变片测量桥梁动态变形，得到桥梁固有频率。典型测量系统的动态特性及分析测量系统的种类和形式很多，一般可以简化为一阶或二阶系统。1．典型一阶的频率响应视为一阶测量系统的微分方程的通式，可改写为

在工程上，将（2-34）常数，一般记为；

——系统的灵敏度s，具有输出/输入的量纲。由于在线性测量系统中灵敏度s为常数，在动态特性分析中，s只起着使输出量增加s倍的作用。在讨论任意测量系统时，令式中——具有时间的量纲，称为系统的时间灵敏度归一化后，式（2-34）写成该系统的传递函数H(s)，频率特性、幅频特性、相频特性分别为传递函数：频率响应函数：幅频特性：相频特性：典型例：图2-7所示的由弹簧阻尼器组成的机械系统其微分方程为或式中k——弹性刚度；

c——阻尼系数；

τ——时间常数，τ=c/k

。动态特性讨论：图2-8为一阶系统的频率响应特性曲线。由图2-8看出，时间常数越小，频率响应特性越好。21.0520.10.210521.00.50.20.1-80°-60°-40°-20°0°101.00.70.50.50.40.30.20.1ωτφ(ω)(a)幅频特性；(b)相频特性。(a)

(b)图2-8一阶测量系统的频率特性ωτA(ω)当时：很小，，，相位差与频率呈线性关系。2．典型二阶测量系统的频率响应，表明测量系统输出与输入为线性关系；典型二阶测量系统的微分方程通式为传递函数：频率响应函数：幅频特性：相频特性：式中——测量系统的固有圆频率，

——测量系统的阻尼比系数，典型例：图2-9所示弹簧－质量－阻尼系统其微分方程为改写为

cc——临界阻尼系数，。式中

m——系统运动部分的质量；

c——阻尼系数；

k——弹簧刚度；

——系统的固有圆频率；

——系统的阻尼比系数动态特性讨论：图2-10为二阶测量系统的频率响应特性曲线。可见系统的频率响应特性好坏，取决于系统的固有频率和阻尼比。（1）＜1，时，幅频特性平直，输出与输入为线性关系；很小，与为线性关系。系统的输出y(t)真实准确地再现输入x(t)的波形，这是测试设备应有的性能。结论：为了使测试结果能精确地再现被测信号的波形，在传感器设计或测量系统设计时，必须使其阻尼比＜1，固有圆频率至少应大于被测信号频率的（3～5）倍，即≥(3～5)。在实际测试中，被测量为非周期信号时，可将其分解为各次谐波，从而得到其频谱。如果传感器的固有频率不低于输入信号谐波中最高频率的（3～5）倍，这样可保证动态测试精度。但保证≥(3～5)，制造上很困难,且太高又会影响其灵敏度。但是进一步分析信号的频谱可知：在各次谐波中，高次谐波具有较小的幅值，占整个频谱中次要部分，所以即使测量系统对它们没有完全地响应，对整个测量结果也不会产生太大的影响。实践证明：在选用和设计测量系统时，保证系统的固有频率不低于被测信号基频的10倍即可。即≥(3～5)×(3～5)为减小动态误差和扩大频响范围，一般应提高测量系统的固有频率，提高是通过减小系统运动部分质量和增加弹性敏感元件的刚度来实现的（）。但刚度k增加，必然使灵敏度按相应比例减小。（2）阻尼比是测量系统设计和选用时要考虑的另一个重要参数。＜1，为欠阻尼；=1，为临界阻尼；＞1，为过阻尼。一般系统都工作于欠阻尼状态典型激励的系统响应测量系统的动态特性除了用频域中频率特性来评价外，也可用时域中瞬态响应和过渡过程来分析。阶跃函数、冲激函数、斜坡函数等是常用的激励信号。1.阶跃信号；2.冲激信号（δ信号）；3.斜坡信号；4.三者关系：由于三者之间满足积分及微分关系，因此其对应的响应也应该满足积分微分关系。几种典型响应的特点：1）动态误差：产生动态误差的原因：一般测量系统的灵敏度是由静态标定获得的，也就是说用的灵敏度来判读测量系统的输出值，对动态信号测量来讲，由于一阶、二阶系统的幅频特性不可能做到从零频到无穷大是一条平直的直线，因此产生测量误差是必然的。动态误差定义：对动态测量来讲，由于测量系统的动态响应特性不够理想，造成输出信号的波形与输入信号的波形的畸变称之为动态误差。2）稳态误差：仅与系统动态特性参数有关，而不随时间变化的误差。3）瞬态误差：不仅与系统的动态特性参数有关，且随时间变化而变化，随时间的增大而减小的误差。2）减小误差的方法一阶系统：时间常数的选取原则。一般的讲，时间常数越小越好二阶系统：、选取原则。、两参数要正确、合理的选择，一般地，要尽可能大，选择在0.6～0.8之间表2-1一阶和二阶系统对各种典型输入信号的响应在时域内，

测量系统输出和输入应满足下列关系:式中，和都是常数。此式说明该系统的输出波形精确地与输入波形相似。只不过对应瞬间放大了和在时间t滞后了，可见，满足式（2-46）才可能使输出的波形无失真地复现输入波形。

测试技术测量系统动态特性之三我们选择测量系统总是希望它们具有良好的响应特性，即精度高、灵敏度高、输出波形无失真地复现输入波形等。（2-46）

2.4.5无失真测试条件

如图所示对式（2-46）取傅里叶变换得使输出的波形无失真地复现输入波形，则测量系统的频率响应H(jω)应当满足：即

（2-48）（2-49）精确地测定各频率分量的幅值和相位来说，理想的测量系统的幅频特性应当是常数，相频特性应当是线性关系，否则就要产生失真。幅值失真：不等于常数所引起的失真。相位失真：与不是线性关系所引起的失真。应该指出：满足式（2-48）、式（2-49）所示的条件，系统的输出仍滞后于输入一定的时间。如测试结果要用为反馈信号，则上述条件上是不充分的，因为输出对输入时间的滞后可能破坏系统的稳定性。这时才是理想的。一、二阶测量系统不失真条件讨论：1）对一阶测量系统而言，时间常数愈小，则响应愈快。如斜坡函数的响应，其时间滞后和稳定误差将愈小。对正弦输入的响应幅值增大。

2）二阶测量系统在范围内，的数值较小，而且特性接近直线。在该范围内的变化不超过10%，因此这个范围是理想的工作范围。特性曲线如下图所示。

图为二阶系统的频率特性曲线在范围内，接近于180°，且差值很小，如在实测或数据处理中用减去固定相位差值或把测试信号反相180°的方法，则也接近于可不失真地恢复被测信号波形。若输入信号频率范围在上述两者之间，则系统的频率特性受阻尼比的影响较大而需作具体分析。表明，愈小，系统对斜坡输入响应的稳态误差愈小。对阶跃输入的响应，随着的减小，瞬态振荡的次数增多，过调量增大，过渡过程增长。在时，幅值在比较宽的范围内保持不变，可获得较为合适的综合特性。计算表明：当时，在的频率范围中，幅值特性的变化不会超过5%，在一定程度下可认为在的范围内，系统的也接近于直线，因而产生的相位失真很小。2.5测量系统动态特性获取方法测量系统的动态标定主要是研究系统的动态响应，与动态响应有关的参数，一阶测量系统只有一个时间系数，二阶测量系统则有固有频率和阻尼比两个参数。1.阶跃响应法

1）一阶系统对于一阶测量系统，测得阶跃响应后，取输出值达到最终值63.2%所经过的时间作为时间常数。

★存在的问题：没有涉及响应的全过程，测量结果的可靠性仅仅取决某些个别的瞬时值，尤其是零点不好确定，其次是动态测量中存在随机噪声的影响，必然影响到读数误差。★改进方法：一阶测量系统的阶跃响应函数为令式中改写后得（2-50）式(2-50)表明z与时间t成线性关系，并且有（见图2-11）。有了这些数据后，可采用最小二乘法求取时间常数

优点：可以利用原点数据，排除两点求取的误差。如果是一阶系统，z—t必然是线性关系，若用第一种方法，很可能会将过阻尼二阶系统当成了一阶系统处理。根据z―t曲线与直线拟合程度可判断系统和一阶线性测量系统的符合程度。2）二阶系统典型的欠阻尼(<1)二阶测量系统的阶跃响应函数表明，其瞬态响应是以的圆频率作衰减振荡的，此圆频率称为有阻尼圆频率，并记为。按照求极值的通用方法，可求得各振荡峰值所对应的时间tp=0、π/、2π/、…，将t=π/代入表2-1中单位阶跃响应式，可求得最大过调量M(图2-12)和阻尼比之间的关系。测得M之后，便可按式（2-53）或者与之相应的图2-13来求得阻尼比，即:（2-52）或（2-53）★存在问题：同一阶系统。★注意：单位阶跃响应★改进方法：如果测得阶跃响应有较长瞬变过程，还可利用任意两个过调量和来求得阻尼比，其中n为两峰值相隔的周期（整数）。设峰值对应的时间为ti，则峰值对应的时间为将它们代入表2-1中二阶系统单位阶跃响应计算式，可得整理后可得其中

(2-54)若考虑当＜0.1时，以1代替，此时不会产生过大的误差（不大于0.6%），则式（2-54）可改写为2.幅频函数确定法根据幅频特性分别按图2-14和图2-15求得一阶系统的时间常数和欠阻尼二阶系统的阻尼比、固有频率。利用3dB带宽求取

作可求出该曲线的峰值点对应的圆频率

称之为有阻尼共振峰圆频率，将代入可求出:

可以从图上读出对应的值及值，将其代入式中，便可求出、

2.6动态误差修正对于动态测量过程来讲，若测量系统的动态响应特性不够理想，则输出信号的波形与输入信号波形相比就会产生畸变。

▼这种畸变显然不可能用简单的修正系数之类的方法去修正。

▼这种畸变大小和形式与输入信号的波形有关，或与被测信号的频谱有关。2.6.1频域修正方法在已知测量系统的频率响应函数的前提下，通过对输出信号进行傅里叶变换而到，则不难得到输入信号的傅里叶变换，即对上式进行傅里叶逆变换即可以得到输入的时域信号。即2.6.2时域修正方法时域修正方法较多，本课程仅介绍数值微分法。若已知测量系统的微分方程，且输入信号没有导数项，即可用数值微分法进行修正。如二阶测量系统运动微分方程为=

当已知系统的固有特性、两参数后，只要对某个值求出响应的一阶及二阶导数，代入上式就可以直接求得输入信号。2.7本章常见的计算题类型1.已知：①H（jω)或A（jω

）、Φ（ω

）或H（S）；

②x（t）或y（t）；求：y（t）或x（t）一般思路：由H（jω)或H（S）求A（jω

）、Φ（ω

）将x（t）、y（t）分解成正弦谐波信号，再用A（