运动学基本计算

运动学1例1已知点的运动方程为x=2sin4tm,y=2cos4tm,z=4tm.

求点运动轨迹的曲率半径。解：点的速度和加速度沿x,y,z轴的投影分别为点的速度和全加速度大小为点的切向加速度法向加速度曲率半径大小为smaaaannt/32222==+=m5.2=rvan802==rrvat0==&2222/32smzyxa=++=&&&&&&222/80smzyxv=++=&&&2例题2.半径为r的轮子沿直线轨道无滑动滚动(称为纯滚动)，设轮子转角=t(为常值)，如图所示。求用直角坐标和弧坐标表示的轮缘上任一点M的运动方程，并求该点的速度、切向加速度及法向加速度。CMO13解:取点M与直线轨道的接触点O为原点。OC=MC=r=rtx=OC-O1Msin（1800-）=r(t-sint)y=O1C+O1Mcos（1800-）=r(1-cost)直角坐标法(0t2)OyxCMO14用自然坐标表示运动方程(0t2)5例题3.图示机构中滑块A套在摇杆O2B上,并与曲柄O1A以销子连接.当O1A转动时通过滑块A带动O2B

左右摆动.设O1A长r,以匀角速1转动.试求该瞬时杆O2B的角速度2.2lO1O2AB162lO1O2AB1解:取套筒A为动点.建立静系O2—xy和动系O2—x´y´xyx´y´A的绝对运动—以O1为中心

r为半径的园运动.A的相对运动—沿x´轴的直线运动.牵连运动—动系随O2B杆的摆动.va=ve

+vr牵连点—O2B杆上被滑块A盖住的A´点且随O2B杆摆动.vavevrva

=r1

ve

=l2解得:ve

=r

1sin

(A´)7例题4.半径为r偏心距为e的凸轮,以匀角速度绕O轴转动,AB杆长l,A端置于凸轮上,B端用铰链支承.在图示瞬时AB杆处于水平位置.试求该瞬时AB杆角速度AB和角加速度AB

.BAreOClAB8BAreOClAB解:取AB杆的A点为动点.建立静系O—xy和动系O—x´y´A的绝对运动—以B为中心l为半径的园运动.A的相对运动—沿凸轮O边缘的曲线运动.牵连运动—动系随凸轮O且角速度为的定轴转动.牵连点—凸轮O上被AB杆的A端盖住的A´点且随凸轮

O作角速度为的定轴转动.va=ve

+vrva

=l

AB

xyx´y´vavevr(A´)ve

=rsin解得:AB

vr=r9BAreOClABaa

=ae+ar

+ak

(1)aaaenaraanarn

akaa

=aan+aaaa=l

ABar

=arn+arae

=aen+aearn=r2aen=r2sinae=0ak=2r2把(1)式向AC方向投影得:-aancos-aasin=aensin+arn

-ak

解得:10例题5.

具有园弧形滑道的曲柄滑道机构,用来使滑道

BC获得间歇的往复运动.已知曲柄以匀角速度=10rad/s

绕O轴转动,OA=10cm,园弧道的半径r=7.5cm.当曲柄转到图示位置sin=0.6

时,求滑道BC的速度和加速度.OABCr11OABCr解:取滑块A为动点.

建立静系O—xy和动系C—x´y´

A的绝对运动—以O为中心OA为半径的园运动.A的相对运动—沿弧形滑道的曲线运动.牵连运动—动系沿x轴的直线平动.va=ve

+vr

(1)xyx´y´vavevrDrsin=OAsinva

=OA

ve=vBC把(1)式向AD方向投影得:vacos[90o-(+)]=vecos(90o-)ve=vBC=1.6m/svr=2.2m/s12OABCr取滑块A为动点.aanaeararnaa

=ae+ar

(2)aa

=aan+aaaa=0aan=OA2=10m/s2ae=aBC把(2)式向AD方向投影得:ar

=arn+araancos[180o-(+)]=aecos+arnae=aBC=-123.5m/s2D13例题6.椭圆规的构造如图所示.滑块A和

B分别可在相互垂直的直槽中滑动,并用长

l=20cm的连杆AB连接设已知vA

=20cm/s方向如图示.求=30时滑块

B和连杆中点

C的速度.ABCvA14ABCvA解:(1)取A为基点B为动点.vB=vA

+vBA

(1)把(1)式向AB方向投影得:vBsin=vAcosvB=vA

ctg=34.64cm/s把(1)式向vA方向投影得:0=vA-vBAsinvBA=40cm/s=2rad/svAvBvBA15ABCvAvAvBvBA取A为基点C为动点.vC=vA+vCA

(2)vCAvCvAvCA

=(CA)=20cm/s

对(2)式应用余弦定理得:vA

=20cm/s16ABCvA(2)直接建立点的运动方程.Oxy由vA

=20cm/s,=30

vB=l

cos=34.64cm/svA=-l

sinxA

=lcosyB

=lsin

xC

=0.5lcosyC

=0.5lsin得:vC

=20cm/s得:=2rad/s17例题7.在图示机构中,平衡杆O1A绕O1轴转动,并借与齿轮Ⅱ固结的连杆AB带动曲柄OB,而曲柄OB活动地装置在O轴上,在O轴上装有齿轮Ⅰ齿轮Ⅱ的轴安装在连杆AB的B端.已知r1=r2=52cm,O1A=75cm,AB=150cm,O1=6rad/s,=60杆OB水平AB铅垂.求杆OB及齿轮Ⅰ的角速度.ⅠⅡOABO1O1r1r218ⅠⅡOABO1O1r1r2解:AB作平面运动C为瞬心.CvA

=(O1A)O1vB=(OB)OB

AB=CA

cosAB=1.5rad/sOB=3.75rad/sD取两轮的切点D为研究对象.vD=(OD)OO=6rad/sOBO=(CA)AB=(CB)AB=(CD)AB19例题8.图示为一平面连杆机构，等边三角形构件ABC的边长为a三个顶点A、

B和C分别与套筒A、杆O1B和O2C铰接，套筒又可沿着杆OD滑动。设杆O1B长为a并以角速度转动，求机构处于图示位置时杆OD的角速度OD

。OABCO1O260D20OABCO1O260D解:等边三角形构件ABC作

平面运动C1为其瞬心。C1vBvB=(O1B)=avAvAcos30=vBcos60vrveODvA

vB向AB投影2122例题9、图示机构，套筒E可沿AB杆滑动，并与竖杆铰接。已知BC=AD=2m，BC杆以匀角速度ω=2rad/s绕C轴转动。试求图示位置套筒E的速度及加速度。23解：动点：套筒E，动系：AB杆绝对运动：竖直杆件的上下平动牵连运动：AB杆的平动

相对运动：套筒E在杆上的直线运动速度合成关系图加速度合成关系图AB杆平动，例题10.图示瞬时滑块A以匀速度vA=12cm/s

沿水平直槽向左运动，并通过连杆AB带动轮B沿园弧轨道作无滑动的滚动。已知轮B的半径为r=2cm，园弧轨道的半径为R=5cm滑块A离园弧轨道中心

O的距离为l=4cm。求该瞬时连杆AB的角加速度。

sin=0.6

rROBlAvA24rROBlAvA解:轮B作平面运动C为瞬心。AB

=0vB=v