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四川省绵阳市江油中学高一数学理月考试卷含解析一、选择题:本大题共10小题,每小题5分,共50分。在每小题给出的四个选项中,只有是一个符合题目要求的1.设且则()A.
B.
C.
D.参考答案:D2.已知函数f(x)=asinx﹣bcosx(a,b为常数,a≠0,x∈R)在x=处取得最大值,则函数y=f(x+)是()A.奇函数且它的图象关于点(π,0)对称B.偶函数且它的图象关于点(,0)对称C.奇函数且它的图象关于点(,0)对称D.偶函数且它的图象关于点(π,0)对称参考答案:B【考点】三角函数的最值.【分析】将已知函数变形f(x)=asinx﹣bcosx=sin(x﹣φ),根据f(x)=asinx﹣bcosx在x=处取得最大值,求出φ的值,化简函数,即可得出结论.【解答】解:将已知函数变形f(x)=asinx﹣bcosx=sin(x﹣φ),其中tanφ=,又f(x)=asinx﹣bcosx在x=处取得最大值,∴﹣φ=2kπ+(k∈Z)得φ=﹣﹣2kπ(k∈Z),∴f(x)=sin(x+),∴函数y=f(x+)=sin(x+)=cosx,∴函数是偶函数且它的图象关于点(,0)对称.故选:B.3.下列函数一定是指数函数的是()A.y=2x+1 B.y=x3 C.y=3?2x D.y=3﹣x参考答案:D【考点】指数函数的定义、解析式、定义域和值域.【分析】根据指数函数的定义,对选项中的函数进行判断即可.【解答】解:对于A,y=2x+1=2?5x,不是指数函数;对于B,y=x3是幂函数,不是指数函数;对于C,y=3?2x不是指数函数;对于D,y=3﹣x=是指数函数.故选:D.4.若直线经过两点,则直线AB的倾斜角为() A.30° B. 45° C. 60° D. 120°参考答案:A略5.“使”成立的一个充分不必要条件是()A.
B.
C.
D.参考答案:B6.在平面直角坐标系内,与点O(0,0)距离为1,且与点B(-3,4)距离为4的直线条数共有(
)A.条
B.条 C.条
D.条
参考答案:C到点O(0,0)距离为1的直线可看作以O为圆心1为半径的圆的切线,同理到点B(-3,4)距离为4的直线可看作以B为圆心4为半径的圆的切线,故所求直线为两圆的公切线,又|OB|=5=1+4,故两圆外切,公切线有3条,故选:C.5、一个几何体的三视图及其尺寸如下(单位cm),则该几何体的表面积及体积为(cm2¥cm3):(
)A.24π,12π
B.15π,12π
C.24π,36π
D.以上都不正确【答案】A【解析】由三视图知:该几何体为圆锥,圆锥的底面半径为3,母线长为5,所以圆锥的高为4,所以此几何体的表面积为,体积为。7.数列的前n项积为,那么当时,的通项公式为
A.
B.
C.
D.参考答案:D8.为了得到函数的图像,需要把函数图像上的所有点(
)A.横坐标缩短到原来的倍,再向右平移个单位长度B.横坐标伸长到原来的倍,再向右平移个单位长度C.横坐标缩短到原来的倍,再向左平移个单位长度D.横坐标伸长到原来的倍,再向左平移个单位长度参考答案:A9.设,集合,则A.1 B.-1 C.2 D.-2参考答案:C因为,,所以,则,所以,.所以.10.已知数列满足,且,则数列的值为(
)A.
B.
C.
D.参考答案:D略二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.已知函数f(x)=tan,x∈(﹣4,4),则满足不等式(a﹣1)log[f(a﹣1)+]≤2的实数a的取值范围是.参考答案:[﹣1,3]【考点】正切函数的图象;对数的运算性质.【专题】分类讨论;转化法;三角函数的图像与性质.【分析】由x∈(﹣4,4)求出a∈(﹣3,5),化简f(a﹣1)+,把原不等式化为(a﹣1)tanπ≤2;讨论a=3,3<a<5以及﹣3<a<3时,对应不等式是否成立,由此求出实数a的取值范围.【解答】解:∵x∈(﹣4,4),∴a﹣1∈(﹣4,4),﹣3<a<5,﹣<x<,∴﹣<π<,∴cosπ>0,∴f(a﹣1)+=+===tan(+)=tan(),则不等式(a﹣1)log[f(a﹣1)+]≤2可化为:(a﹣1)tanπ≤2(*);当a=3时,tanπ=tanπ=+1,a﹣1=2,(*)式成立;当3<a<5时,tanπ>+1,tanπ>1,且a﹣2>2,(*)式左边大于2,(*)式不成立,3<a<5应舍去;当﹣3<a<3时,0<tanπ<+1,tanπ<1,且﹣2≤a﹣1<2;(*)式左边小于2,﹣1≤a<3时(*)式成立;综上,实数a的取值范围是[﹣1,3].【点评】本题考查了对数函数的图象与性质的应用问题,也考查了三角函数的化简与求值应用问题,考查了分类讨论思想的应用问题,是综合性题目.12.函数的定义域为.参考答案:{x|x≥2且x≠3}【考点】函数的定义域及其求法.【分析】由函数解析式可得x≥2且x≠3,由此求得函数的定义域.【解答】解:由函数可得x≥2且x≠3,故函数的定义域为{x|x≥2且x≠3},故答案为{x|x≥2且x≠3}.13.(5分)已知正三棱锥P﹣ABC中,PA=PB=PC=1,且PA,PB,PC两两垂直,则该三棱锥外接球的表面积为
.参考答案:3π考点: 球的体积和表面积.专题: 计算题;空间位置关系与距离.分析: 以PA、PB、PC为过同一顶点的三条棱,作长方体如图,则长方体的外接球同时也是三棱锥P﹣ABC外接球.算出长方体的对角线即为球直径,结合球的表面积公式,可算出三棱锥P﹣ABC外接球的表面积.[来源:学科网ZXXK]解答: 解:以PA、PB、PC为过同一顶点的三条棱,作长方体如图则长方体的外接球同时也是三棱锥P﹣ABC外接球.∵长方体的对角线长为,∴球半径R=,因此,三棱锥P﹣ABC外接球的表面积是4πR2=4π×()2=3π故答案为:3π.点评: 本题给出三棱锥的三条侧棱两两垂直,求它的外接球的表面积,着重考查了长方体对角线公式和球的表面积计算等知识,属于基础题.14.设函数f(x)=,则f(f(3))=
。参考答案:略15.若角135°的终边上有一点(一4,a),则a的值是
.参考答案:416.在ΔABC中,若,且,则三角形的形状是
.参考答案:正三角形略17.已知函数f(x)=()|x﹣1|+a|x+2|.当a=1时,f(x)的单调递减区间为;当a=﹣1时,f(x)的单调递增区间为,f(x)的值域为.参考答案:[1,+∞);[﹣2,1];[,8].【考点】复合函数的单调性.
【专题】综合题;函数的性质及应用.【分析】当a=1时,f(x)=()|x﹣1|+|x+2|,令u(x)=|x﹣1|+|x+2|=,利用复合函数的单调性判断即可;当a=﹣1时,f(x)=()|x﹣1|﹣|x+2|令u(x)=|x﹣1|﹣|x+2|=,根据复合函数的单调性可判断即可.【解答】解:(1)∵f(x)=()|x﹣1|+a|x+2|.∴当a=1时,f(x)=()|x﹣1|+|x+2|,令u(x)=|x﹣1|+|x+2|=,∴u(x)在[1,+∞)单调递增,根据复合函数的单调性可判断:f(x)的单调递减区间为[1,+∞),(2)当a=﹣1时,f(x)=()|x﹣1|﹣|x+2|令u(x)=|x﹣1|﹣|x+2|=,u(x)在[﹣2,1]单调递减,∴根据复合函数的单调性可判断:f(x)的单调递增区间为[﹣2,1],f(x)的值域为[,8].故答案为:[1,+∞);[﹣2,1];[,8].【点评】本题考查了函数的单调性,复合函数的单调性的判断,属于中档题,关键是去绝对值.三、解答题:本大题共5小题,共72分。解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤18.(本小题满分10分)已知三角形ABC的顶点坐标为A(-1,5)、B(-2,-1)、C(4,3),M是BC边的中点.(1)求AB边所在的直线方程;(2)求中线AM的长.参考答案:解:(1)由两点式得AB所在直线方程为:,即
6x-y+11=0.
(2)设M的坐标为(),则由中点坐标公式得,,
即点M的坐标为(1,1).故.
19.(本小题满分13分)设数列{an}的前n项和为Sn=2n2,{bn}为等比数列,且a1=b1,b2(a2-a1)=b1.(1)求数列{an}和{bn}的通项公式;(2)设,求数列{cn}的前n项和Tn.参考答案:20.已知6sin2α+sinαcosα﹣2cos2α=0,α∈(,π),求:①tanα的值;②sin(2α+)的值.参考答案:【考点】同角三角函数基本关系的运用;三角函数的化简求值.【分析】①利用同角三角函数的基本关系、α的范围,求得tanα的值.②先求得sin2α、cos2α的值,再利用两角和的正弦公式求得sin(2α+)=sin2αcos+cos2αsin的值.【解答】解:①∵6sin2α+sinαcosα﹣2cos2α===0,α∈(,π),∴tanα=﹣,或tanα=(舍去).②∵sin2α==﹣=﹣,cos2α===,∴sin(2α+)=sin2αcos+cos2αsin=﹣+=.21.一个盒子中装有张卡片,每张卡片上写有个数字,数字分别是、、、.现从盒子中随机抽取卡片.(I)若一次抽取张卡片,求张卡片上数字之和大于的概率;(II)若第一次抽张卡片,放回后再抽取张卡片,求两次抽取中至少一次抽到数字的概率.参考答案:解:(1)设表示事件“抽取张卡片上的数字之和大于”,任取三张卡片,三张卡片上的数字全部可能的结果是,,,.其中数字之和大于的是,,所以.(2)设表示事件“至少一次抽到”,第一次抽1张,放回后再抽取一张卡片的基本结果有:,共个基本结果.事件包含的基本结果有,共
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