第9章 法方程解算方法与平差应用实例

第9章法方程解算方法与平差应用实例

介绍法方程未知数及其函数、法方程系数阵行列式和逆矩阵的解算方法，及其在测量平差中的应用。本章主要内容

退出逆矩阵原位替换快速解算方法法方程原位替换快速解算方法条件平差计算表格及其应用间接平差计算表格及其应用第一节法方程原位替换快速解算方法

授课目的要求:明确用三角分解法解法方程的基本原理，掌握在紧凑格式中解法方程未知数及其函数的方法。

重点、难点:在法方程解算的紧凑格式中求解方程未知数及其函数。本次课主要内容：

一、正定矩阵的三角分解

二、具有正定系数阵的法方程及其函数的解算

设法方程的系数阵为正定矩阵，即：

（1）

将N分解为下三角阵L与其转置矩阵的乘积，即

（2）

式中

（3）

分解式又可表示为：

一、正定矩阵的三角分解

（4）

用比较法可得：

（5）

当i=1时，有

（6）

顾及（6）式对（5）式归纳整理可得

其中(8)

(7)

1.求法方程的未知数2.求法方程未知数的函数3.法方程未知数及其函数解的紧凑格式4.算例二、具有正定系数阵的法方程及其函数的解算

设法方程为：或

(9)

其中N阵正定

(10)

(11)

将（2）式代入（9）式得：

(12)

令

(13)

(14)

则有

(15)

将（3）式、（14）式和（11）式代入（15）式，并用比较法可解得

1.求法方程未知数（i=1，2，…，t）(16)

顾及（6）式、（7）式和（8）式对（16）式归纳整理得

（i=1，2，…，t）(17)

其中

(18)

将（3）式、（14）式和（10）式代入（13）式，并用比较法得：

(19)

顾及（7）式、（17）式和（18）式对（19）式归纳整理可得：

(20)

当i=t

时有：

(21)

设法方程未知数的函数为：

(22)

将（21）式和（20）式依次代入上式并归纳整理得：

(23)

其中

(24)

当（22）式中fi=ui

(i=1,2,...,t)时，又可得：

(25)

2.求法方程未知数的函数

3.法方程未知数及其函数解的紧凑格式

利用（21）式和（20）式可求得法方程未知数，利用（23）式和（25）式可求得法方程未知数的函数值，这些计算均可在“紧凑格式”表1中进行。

表1线性对称方程组解算的紧凑格式

12…t

当时，表1中所在的行可以略去。若未知数的函数不只一个,则每增加一个函数在表1中增加一行,填入相应和的值，按计算F的方法计算即可。

已知法方程

未知数函数式为：

按法方程解算的“紧凑格式”求xi(i=1,2,3,4)和F之值。

表2法方程解算的紧凑格式

()

x1=

()

(

)

x2=(

)

(

)

()x3=

()()

()()x4=()()

()()()4.02.017.0

1.0

2.5

4.5

2.0

5.03.07.0

1.0-17.50.0-7.036.04.算例

(4.0)

x1=

(2.0)

(17.0

)

x2=(

1.0)

(2.5

)(4.5)x3=

(2.0)(5.0)

(3.0)(7.0)x4=(1.0)(-17.5)

(0.0)(-7.0)(36.0)线性方程组解算求逆1线性方程组解算求逆2作业:

第九章习题8返回第二节

逆矩阵原位替换快速解算方法

授课目的要求:明确逆矩阵原位替换快速解算的基本原理，掌握其求解的方法步骤。

重点、难点:在紧凑格式中求逆的方法步骤。本次课主要内容：

经典矩阵求逆法回顾

一、正定矩阵三角分解求逆法概述

二、求矩阵的分解下三角阵的逆阵

三、利用分解下三角阵的逆阵求原矩阵的逆阵

四、正定矩阵三角分解求逆的紧凑格式

五、算例六、课堂练习

计算矩阵N的逆阵

由公式

1.计算代数余子式经典矩阵求逆法回顾

2.计算矩阵N的行列式

3.计算矩阵N的逆阵

此方法采用矩阵三角分解原理，将矩阵表达为分解下三角阵与其转置阵的乘积，利用分解下三角阵的求逆结果求得原矩阵的逆阵。矩阵求逆分三步进行：第一步求约化系数，第二步求下三角阵的逆阵，第三步求原矩阵的逆阵。每一步计算均采用原位替换求解法，即将矩阵中不同位置的元素表达为相应位置的位置函数值，每一步计算是用新的位置函数值替换相应位置的原有位置函数值，最终将原矩阵中各位置的元素替换为其逆矩阵中相应位置的元素。求逆公式简单，利于编程，节省所需内存空间。此矩阵求逆方法可用于法方程解算，各种协因数阵的计算，方差分量估计，测量数据的统计假设检验，粗差探测，可靠性估计等测绘数据处理和精度估计之中。

一、正定矩阵三角分解求逆法概述

设

(1)

(2)

由LC=I（单位阵），即(3)

用比较法可得L阵的逆阵C的全部元素，即

二、求矩阵N的分解下三角阵L的逆阵

(4)

将代入（4）式得：(5)

三、利用分解下三角阵L的逆阵C求N的逆阵对（1）式求逆可得：

设

用比较法可得计算Q阵中下三角诸元素的公式，即

(6)

四、正定矩阵三角分解求逆的紧凑格式

利用约化系数,可在“紧凑格式”表3中求得L阵的逆阵C。表3求L

阵逆阵C的紧凑格式

1.求分解下三角矩阵L的逆阵C的紧凑格式

利用C阵的元素可在紧凑格式表4中求得矩阵Q的下三角诸元素

表4求Q

阵下三角元素的紧凑格式

2.利用下三角阵L的逆阵C计算N的逆阵Q的紧凑格式

五、算例

求下述线性方程组系数阵的逆阵

解：（1）利用上次课例题解方程过程中求出的约化系数求N阵下三角阵L的逆阵C的诸元素，见表5。表5求L阵逆阵C的紧凑格式

(

)

(

)

()

()

()()()

()()()4.02.0

1.0

2.016.0

2.0

4.04.02.04.0

（2）利用C阵中的诸元素在“紧凑格式”表4中求Q阵的下三角部分见表6。

表6求Q阵下三角部分诸元素的紧凑格式

(

)

(

)()

()

()()()

()()()0.500

-0.125

0.250

-0.094-0.0620.500

-0.140-0.094-0.2500.500..\矩阵运算器.exe线性方程组解算求逆1线性方程组解算求逆2

解方程过程中已求出约化系数阵为试求方程组系数阵的逆阵Q。设线性对称方程组的系数矩阵为：课堂练习

作业:

第九章习题10返回第三节条件平差应用实例

授课目的要求:熟悉条件平差的计算表格，掌握条件平差计算表格的使用方法重点、难点:条件平差计算表格的使用方法。

一、条件平差公式复习

二、条件平差的计算表格及其使用三、算例本次课主要内容：

法方程：平差值函数的协因数计算式：

令

上式两端同乘以，并移项得：

再令则有

将其解

代入平差值函数的协因数计算式得

一、条件平差公式复习

已知条件平差的函数模型为：

式中

为评定平差问题中某量的精度，所列立的权函数式为：

二、条件平差的计算表格及其使用

式中

依据上述有关数据可编制条件方程及权函数系数表见表1。

表1

条件方程及权函数系数表观测序号

ai

bi

...

ri

fi

1/pi

vi

1

a1

b1

...

r1

f1

1/p1

v1

2

a2

b2

...

r2

f2

1/p2

v2┆┆┆┆┆┆┆

┆

n

an

bn...

rn

fn

1/pn

vn

椐表1中的数据，便可计算法方程

NK+W=0（转换系数方程Naaq+fe=0）的系数nji和转换系数方程中的常数项

fei

,以及平差值函数的权倒数计算式

中的

将上述计算结果填写在编制好的法方程（转换系数方程）及其函数解算表2中（每计算一个填写一个，依次计算填写）。

表1

条件方程及权函数系数表观测序号

ai

bi

...

ri

fi

1/pi

vi

1

a1

b1

...

r1

f1

1/p1

v1

2

a2

b2

...

r2

f2

1/p2

v2┆┆┆┆┆┆┆

┆

n

an

bn...

rn

fn

1/pn

vn表2

法方程未知数及其函数解算表表中后两行分别是函数

中未知数Ki和qi(i=a,b,…,r)的系数及函数式中的常数项。

上表填写完毕后，即可在表2中求解Ki(i=a,b,…,r)、-VTPV及

，计算结果填于表2中相应元素的右边如表3所示。

表3法方程及其函数解算表

求得联系数Ki(i=a,b,...,r)后按在表1中求改正数vi,按求得并按公式，

求得单位权中误差和平差值函数的中误差。

例题如下图所示水准网，已知A点的高程为：观测高差及路线长度如图中所示。试按条件平差法求未知点高程平差值及最弱点高程平差值的中误差。

解：1.列立条件式和权函数式

本问题中

n=5，t=3，

r=n-t=2，条件方程式为：

改正数条件方程：最弱点平差值函数式为：

权函数式为：

2.建立条件方程系数及权函数系数表

取1公里水准观测高差为单位权观测值(也可另取它值，要看计算是否方便而定)。

条件方程系数及权函数系数表

序号

ai

bi

fi＝Si

vi

(mm)

(m)

1

2

3

4

5

111

－1

1

1

1

1

4

2

4

4

2

3.组成并解算法方程,求未知数及其函数

序号

ai

bi

fi＝Si

vi

(mm)

(m)

1

1

1

4

2

1－1

2

3

1

4

4

1

1

4

5

1

2

由上表中的数值计算法方程（转换系数方程）系数和转换系数方程常数项，将计算结果依次填入法方程未知数及其函数解算表中，并在表中解算

和之值，见下表

法方程未知数及其函数解算表

()

k1=

()

(

)

k2=(

)

(

)

()()()

()10.0-2.08.0

8.06.00.0

4.0

4.08.0-1-1

7.67.6

4.8-143.37

由V=P-1BTK，顾及P为对角阵，按

(i=1,2,...,n)

计算观测值改正数，结果见下表。

条件方程系数及权函数系数表

序号

aiKa=-1

biKb=-1

fi＝Si

vi

(mm)

(m)

1

1

1

4

2

1

-1

2

3

1

4

4

1

1

4

5

1

2

-4

0

-4

-4

-2

2.346

0.389

-2.735

2.196

-1.807

4.计算观测值改正数vi及平差值

6.精度评定

单位权中误差为：

D点高程平差值的中误差为：

5.计算待定点高程平差值

作业:

第五章习题32

返回第四节间接平差应用实例

授课目的要求:熟悉间接平差的计算表格，掌握条件平差计算表格的使用方法。

重点、难点:间接平差计算表格的使用方法。本次课主要内容：

一、间接平差公式复习

二、间接平差的计算表格及其使用三、算例

法方程：参数平差值函数的协因数计算式：

令

上式两端同乘以，并移项得：

将其解

代入平差值函数的协因数计算式得一、间接平差公式复习

已知间接平差的函数模型为：式中

为评定平差问题中某量的精度，所列立的权函数式为：式中

二、间接平差的计算表格及其使用

依据上述有关数据可编制误差方程系数及常数项表，见表4表4误差方程系数及常数项表观测序号

ai

bi

...ti-li

pi

vi

1

2

┆

n

a1

a2

┆

an

b1

b2

┆

bn

...

...

...

...

t1

t2

┆

tn

--l1

-l2

┆

-ln

p1

p2

┆

pn

据表中的数据，便可计算法方程

，转换系数方程

NBBq–F=0的系数阵中的

nji

和常数项

-wi，以及计算式(=-W)中的

将上述计算结果填写在编制好的法方程（转换系数方程）及其函数(VTPV,-)

解算表中(每计算一个填写一个，依次计算填写）。

观测序号

ai

bi

...ti-li

pi

vi

1

a1

b1

...t1-l1

p1

2a2

b2

...t2

-l2

p2

┆┆

┆

...┆┆┆

n

an

bn

...tn-ln

pn

表5法方程未知数及其函数计算表（）

x1=

（）（）

x2=（）（）

（）

xt=

（）（）

（）（

）（）（）

（）（

）

表中后两行既分别是法方程和转换系数方程的常数项，又分别是函数中未知数

和qi(i=1,2,…,t)的系数。

上表填写完毕后，即可在表5中计算、

VTPV和。结果填于表5中相应元素的右边，如表6所示.

表6法方程未知数及其函数解算表

求得未知数近似值向量的改正数向量

后，按

求未知数平差值向量，代入误差方程可求得改正数向量V，V的计算可在表4中进行(

)，按可求得，按公式，可求得单位权中误差和平差值函数的中误差。

若要求未知数平差值协因数阵，则由，计算，再计算，计算表格为表7和表8。

表7

求L阵逆矩阵C的诸元素用表

表中为解法方程过程中求得的约化系数，为求得的L阵逆阵C中的诸元素。求阵下三角部分诸元素用表表8

表中为下三角阵L的逆阵C中的诸元素，为阵下三角部分的诸元素。

继续

如下图所示水准网，已知A点的高程为：=124.385m，观测高差及路线长度如图中所示。试按参数平差法求未知点高程平差值及其中误差。三、算例

解：1.列立误差方程式和权函数式本问题中

n=5，t=3，

r=n-t=2，设参数：计算参数近似值：观测方程：误差方程常数项计算：

2.建立误差方程系数、常数项表

取4公里水准观测高差为单位权观测值(也可另取它值，要看计算是否方便而定)。误差方程系数及权函数系数表

序号

a1

bici

-li

P＝1/Si

vi

(mm)

(m)

1

2

3

4

5

-1

-1

1

-1

1

1

-1

-8

-6

1

2

1

1

2

1

误差方程：

计算法方程（转换系数方程）系数和转换系数方程常数项，将计算结果依次填入法方程未知数及其函数解算表中，并在表中解算

和

之值。

序号

a1

b2ci

-li

P＝1/Sivi

(mm)

(m)

1

1

1

2

-1

1

2

3

-1

-8

1

4

-1

1

1

5

1-1

-6

2

法方程未知数及其函数解算表（）

x1=

（）（）

x2=

（）（）