第6章 第四节 定积分的应用1

第四节定积分的应用4.1微元法基本思想4.2定积分的几何应用4.3定积分的物理应用2/1/20231南京邮电大学邱中华表示为1、什么问题可以用定积分解决?

1)所求量

U

是与区间[a,b]上的某分布f(x)

有关的2)U

对区间[a,b]

具有可加性

,即可通过“大化小,常代变,近似和,取极限”定积分定义一个整体量;一、微元法的基本思想2/1/20232南京邮电大学邱中华

平面图形的面积；体积；平面曲线的弧长；功；水压力；引力和平均值等。在实际应用时，然后把dA在[a,b]上作定积分，这就是所说的微元法或元素法。abxyo应用方向：2、如何应用定积分解决问题?元素的几何形状常取为:条,带,段,环,扇,片,壳等2/1/20233南京邮电大学邱中华3.应用微元法的一般步骤：(1)根据具体问题，选取一个变量x为积分变量，并确定它的变化区间[a,b]；(2)在

[a,b]上，任取一小区间[x,x+dx]；2/1/20234南京邮电大学邱中华二、平面图形的面积1.直角坐标情形设曲线与直线及

x

轴所围曲则边梯形面积为A,右图所示图形面积为2/1/20235南京邮电大学邱中华例1.

计算抛物线与直线的面积.解:

由得交点所围图形为简便计算,选取

y

作积分变量,则有2/1/20236南京邮电大学邱中华一般地,当曲边梯形的曲边由参数方程

给出时,按顺时针方向规定起点和终点的参数值则曲边梯形面积2.参数表示的情形2/1/20237南京邮电大学邱中华例2.求椭圆解:

利用对称性,所围图形的面积.有利用椭圆的参数方程应用定积分换元法得当a=b

时得圆面积公式2/1/20238南京邮电大学邱中华3.极坐标情形求由曲线及围成的曲边扇形的面积.在区间上任取小区间则对应该小区间上曲边扇形面积的近似值为所求曲边扇形的面积为2/1/20239南京邮电大学邱中华2/1/202310南京邮电大学邱中华例3.

计算心形线与圆所围图形的面积.解:

利用对称性,所求面积2/1/202311南京邮电大学邱中华例4.

求双纽线所围图形面积.解:

利用对称性,则所求面积为思考:用定积分表示该双纽线与圆所围公共部分的面积.答案:2/1/202312南京邮电大学邱中华三、立体的体积设所给立体垂直于x

轴的截面面积为A(x),则对应于小区间的体积元素为因此所求立体体积为上连续,1.平行截面面积已知的立体的体积2/1/202313南京邮电大学邱中华例5.

一平面经过半径为R

的圆柱体的底圆中心,并与底面交成角,解:

如图所示取坐标系,则圆的方程为垂直于x

轴的截面是直角三角形,其面积为利用对称性计算该平面截圆柱体所得立体的体积.2/1/202314南京邮电大学邱中华考虑连续曲线段轴旋转一周围成的立体体积时,有当考虑连续曲线段绕y

轴旋转一周围成的立体体积时,有2.旋转体的体积2/1/202315南京邮电大学邱中华例6.

计算由椭圆所围图形绕x

轴旋转而转而成的椭球体的体积.解:将方程改写为则(利用对称性)2/1/202316南京邮电大学邱中华例7.

圆

绕x=-b(0<a<b)旋转一周所生成立体的体积。

解

建立坐标系

-bOaxy2/1/202317南京邮电大学邱中华四、平面曲线的弧长定义:

若在弧

AB

上任意作内接折线,当折线段的最大边长→0时,折线的长度趋向于一个确定的极限,此极限为曲线弧AB

的弧长,即并称此曲线弧为可求长的.定理:

任意光滑曲线弧都是可求长的.(证明略)则称2/1/202318南京邮电大学邱中华(1)曲线弧由直角坐标方程给出:弧长元素(弧微分):因此所求弧长2/1/202319南京邮电大学邱中华(2)曲线弧由参数方程给出:弧长元素(弧微分):因此所求弧长2/1/202320南京邮电大学邱中华(3)曲线弧由极坐标方程给出:因此所求弧长则得弧长元素(弧微分):注意:求弧长时积分上下限必须上大下小。2/1/202321南京邮电大学邱中华例8.求抛物线被圆所截下的有限部分的弧长。解：Oyx2/1/202322南京邮电大学邱中华例9.

求连续曲线段解:的弧长.2/1/202323南京邮电大学邱中华五、曲率及曲率半径在光滑弧上自点M

开始取弧段,其长为对应切线定义弧段上的平均曲率点

M

处的曲率注意:

直线上任意点处的曲率为0!转角为2/1/202324南京邮电大学邱中华例10.

求半径为R

的圆上任意点处的曲率.解:

如图所示,可见:R

愈小,则K

愈大,圆弧弯曲得愈厉害;R

愈大,则K

愈小,圆弧弯曲得愈小.2/1/202325南京邮电大学邱中华有曲率近似计算公式故曲率计算公式为又曲率K的计算公式二阶可导,设曲线弧则由2/1/202326南京邮电大学邱中华曲率圆与曲率半径设M

为曲线C

上任一点,在点在曲线把以D为中心,R

为半径的圆叫做曲线在点

M

处的曲率圆(密切圆),R

叫做曲率半径,D

叫做曲率中心.在点M

处曲率圆与曲线有下列密切关系:(1)有公切线;(2)凹向一致;(3)曲率相同.M

处作曲线的切线和法线,的凹向一侧法线上取点D

使2/1/202327南京邮电大学邱中华六、变力沿直线所作的功设物体在连续变力

F(x)作用下沿x

轴从x＝a移动到力的方向与运动方向平行,求变力所做的功.在其上所作的功元素为因此变力F(x)在区间

上所作的功为2/1/202328南京邮电大学邱中华例11.体,求移动过程中气体压力所解:由于气体的膨胀,把容器中的一个面积为S的活塞从点a

处移动到点b

处(如图),作的功.建立坐标系如图.由波义耳—马略特定律知压强

p

与体积V

成反比,即功元素为故作用在活塞上的所求功为力为在底面积为S

的圆柱形容器中盛有一定量的气2/1/202329南京邮电大学邱中华例12.半径为R的球沉入水中,球的上部与水面相切，球的比重与水相同，现将球从水中取出,需作多少功？相应于区间[x，x+dx]的球体中的薄片的体积约为当球体恰好露出水面时，这一薄片在水面以上移动的路程为R+x，解：建立如图所示坐标系克服重力做功为OxR+xx水面x+dx由于球的比重与水相同，则这部分的球由x提升到水面不做功奇函数2/1/202330南京邮电大学邱中华面积为A的平板七、液体侧压力设液体密度为深为h

处的压强:当平板与水面平行时,当平板不与水面平行时,所受侧压力问题就需用积分解决.平板一侧所受的压力为••2/1/202331南京邮电大学邱中华小窄条上各点的压强例13.

的液体,

求桶的一个端面所受的侧压力.解:

建立坐标系如图.所论半圆的利用对称性,侧压力元素端面所受侧压力为方程为一水平横放的半径为R

的圆桶,内盛半桶密度为2/1/202332南京邮电大学邱中华说明:当桶内充满液体时,小窄条上的压强为侧压力元素故端面所受侧压力为奇函数2/1/202333南京邮电大学邱中华例14.一底为10cm,

高为6cm的等腰三角形薄片,铅直地沉入水中,顶在上,底边在下且与水面平行,而顶离水面3cm,试求它的一个侧面所受的水压力。解：建立坐标系如图所示。直线AB的方程为xx+dxxB(9,5)A(3,0)Oy2/1/202334南京邮电大学邱中华八、引力问题质量分别为的质点,相距r,二者间的引力:大小:方向:沿两质点的连线若考虑物体对质点的引力,则需用积分解决.2/1/202335南京邮电大学邱中华课堂练习解：1.

求曲线所围图形的面积.显然面积为同理其它.又故在区域2/1/202336南京邮电大学邱中华设平面图形A

由与所确定,求图形A

绕直线x＝2旋转一周所得旋转体的体积.提示：选x为积分变量.旋转体的体积为2.若选

y为积分变量,则2/1/202337南京邮电大学邱中华提示:

作x轴如图.3.为清除井底污泥,用缆绳将抓斗放入井底,泥后提出井口,缆绳每在提升过程中污泥以20N/s

的速度从抓斗缝隙中漏掉,现将抓起污泥的抓斗提升到井口,抓斗抓起的污泥重2000N,提升速度为3m/s,问克服重力需作多少焦耳(J)功?已知井深30m,抓斗自重400N,将抓起污泥的抓斗由