第5章控制系统稳定性理论

5.1稳定性基本概念5.2李雅普诺夫意义下的稳定性5.3李雅普诺夫第一法5.4李雅普诺夫第二法5.5线性定常系统渐近稳定性判别法第五章控制系统的李雅普诺夫稳定性分析研究的目的和意义:稳定性是自动控制系统正常工作的必要条件，是一个重要特征。要求：在受到外界扰动后，虽然其原平衡状态被打破，但在扰动消失后，仍然能恢复到原来的平衡状态，或者趋于另一平衡状态继续工作。稳定性：系统在受到小的外界扰动后，系统状态方程解的收敛性，而与输入作用无关。对于一个给定的控制系统，稳定性分析通常是最重要的。如果系统是线性定常的，那么有许多稳定性判据，如Routh-Hurwitz稳定性判据和Nyquist稳定性判据等可利用。然而，如果系统是非线性的，或是线性时变的，则上述稳定性判据就将不再适用。经典控制理论稳定性判别方法：代数判据，奈魁斯特判据，对数判据，根轨迹判据非线性系统：相平面法(适用于一，二阶非线性系统)，描述函数法。

Lyapunov意义下的稳定性问题本节所要介绍的Lyapunov第二法（也称Lyapunov直接法）是确定非线性系统和线性时变系统的最一般的方法。当然，这种方法也可适用于线性定常系统的稳定性分析。此外，它还可应用于线性二次型最优控制问题。主要内容：李氏第一法（间接法）：求解特征方程的特征值李氏第二法（直接法）：利用经验和技巧来构造李氏函数

2.初始状态1.自治系统：输入为零的系统5.1李氏稳定性基本概念

系统的平衡状态3.平衡状态：对所有的t，状态满足平衡状态xe在状态空间所确定的点，称平衡点。

a.线性定常系统

A非奇异：

A奇异：有无穷多个有唯一b.非线性系统

可能有多个

例：

令

平衡点4.孤立的平衡状态：在某一平衡状态的充分小的领域内不存在别的平衡状态。对于孤立的平衡状态，总可以经过适当的坐标变换，把它变换到状态空间的原点。以后取坐标原点作为平衡点研究。5.范数的概念范数的定义n为状态空间中，向量x的长度称为向量x的范数（或欧几里德范数），用表示向量x与xe的距离为当x-xe的范数限定在某一范围之内时，记为

它的几何意义，在三维状态空间中以xe为球心，以为半径的一个球域，可记为5.2Lyapunov意义下的稳定性1.Lyapunov意义下的稳定性（稳定和一致稳定）定义：对于系统如果对任意实数都对应存在另一个实数使得一切满足的任意初始状态出发的运动轨迹（状态方程的解）在所有时间内都满足：则称系统的平衡状态是李雅普诺夫意义下稳定的。即：系统的运动曲线不超出，则系统稳定。时变：与有关定常系统：与无关，是一致稳定的。几何意义范数划出了一个球域它能将系统解的所有各点都包围在内。即从出发的轨迹，在t>t0的任何时刻总不会超出。等幅振荡在李氏意义下是稳定的。2.Lyapunov意义下渐近稳定性1）是李氏意义下稳定的2）平衡状态是渐近稳定的。平衡状态一致渐近稳定几何意义：稳定下任意状态轨迹最终收敛于xe.即轨迹不会超出，且最终趋于平衡点。

3.Lyapunov意义下大范围内渐近稳定性对都有初始条件扩展到整个空间，且是渐近稳定。大范围渐近稳定的必要条件：系统只能有一个平衡状态。线性系统(严格)：如果它是渐近稳定的，必是有大范围渐近稳定性(线性系统稳定性与初始条件的大小无关)。非线性系统：只能在小范围一致稳定，由状态空间出发的轨迹都收敛或其附近。当与无关大范围一致渐近稳定。4.Lyapunov意义下的不稳定性不管，有多小，只要由内，由出发的轨迹超出以外，则称此平衡状态是不稳定的。从定义看，球域限制初始状态的取值，球域规定了系统自由响应的边界。1.系统自由响应

有界，则平衡状态稳定；2.如果不仅有界，而且收敛于平衡状态则平衡状态渐近稳定；3.如果无界，则平衡状态不稳定；结论：（1）线性系统：任一孤立平衡状态，均可坐标变换转移到原点，分析原点的稳定性具有代表性；（2）非线性系统：各个平衡点的稳定性不同，分析各个平衡状态的稳定性；（3）对于线性系统：平衡状态是渐近稳定，则一定是大范围渐近稳定；（4）经典控制中的系统稳定指渐近稳定，而李氏意义下的稳定包括临界稳定。（5）线性系统的平衡状态不稳定表征系统不稳定。（6）非线性系统的平衡状态不稳定只说明存在局域发散的轨迹。至于是否趋于无穷远域外是否存在其它平衡状态。若存在极限环，则系统仍是李雅普诺夫意义下的稳定性。例：分析系统李亚普诺夫意义下的稳定性。解：系统的平衡状态为系统状态解为系统状态与平衡状态之间的范数：系统的状态不收敛到平衡状态，系统是稳定，但是不是渐近稳定。虽然系统有无穷个平衡状态，但系统为线性定常系统，只分析原点的稳定性即可。5.3李雅普诺夫第一法（间接法）利用状态方程解的特性来判断系统稳定性。1.线性定常系统稳定性的特征值判据：（1）李氏稳定的充要条件：

即系统矩阵A的全部特征值位于复平面左半部。（2）李氏渐近稳定的充要条件：

2.非线性系统的稳定性分析：

假定非线性系统在平衡状态附近可展开成泰劳级数，可用线性化系统的特征值判据判断非线性系统的平衡状态处的稳定性。设非线性系统状态方程：在平衡状态附近存在各阶偏导数，于是：

--非线性函数其中：--级数展开式中二阶以上各项之和雅可比矩阵令

则线性化系统方程为：

(1)若，则非线性系统在处是渐近稳定的，与无关；(2)若则非线性系统在是不稳定；

结论：(3)若，稳定性与有关，即非线性系统平衡状态的稳定性与函数展开的高阶项有关。

例：系统的状态方程为：系统的平衡状态例：单摆系统的状态方程为：系统的平衡状态非线性系统各个平衡点的稳定性不相同。（1）以上的稳定性指系统的状态稳定性，称为系统的内部稳定性，即有界输入、有界状态（BIBS）稳定。（2）任意有界输入作用下，均有输出有界，称为系统外部稳定性，即有界输入、有界输出（BIBO）稳定。3.BIBS稳定与BIBO稳定4.外部稳定性与内部稳定性之间的关系对于线性系统，传递函数为传递函数的极点决定系统的外部稳定性。线性系统的状态空间描述系统的特征值决定系统的内部稳定性。（1）若传递函数无零极点对消传递函数无零极点对消，则传递函数的极点与系统的特征值相同，内部稳定性等价与外部稳定性。（2）若传递函数有零极点对消传递函数有零极点对消，则传递函数的极点少于系统的特征值数，传递函数极点只是系统矩阵A的特征值的子集，可能消去的是正实部的极点，则系统可能具有外部稳定性，但不一定具有内部稳定性。（3）若系统是既能控又能观测的，则内部稳定与外部稳定等价。例：系统的状态空间表达式为：分析系统的内部稳定和外部稳定。（1）系统A的特征方程：特征值，系统的状态不是渐近稳定的。（2）系统的传递函数为：系统的传递函数的极点位于左半平面，所以系统输出稳定。系统具有正实部的极点被系统的零点对消了，所以系统的输入输出特性中没有表现出来。当系统的传递函数不出现零极点对消，且系统矩阵A的特征值与传递函数的极点相同时，系统的BIBS和BIBO稳定性相一致。

1、标量函数的正定性

如果对所有在域中的非零状态向量且在x

=0处有则在域（域包含状态空间的原点）内的标量函数称为正定函数。预备知识如果时变函数由一个定常的正定函数作为下限，即存在一个正定函数则称时变函数在域（包含状态空间原点）内是正定函数。2、标量函数的负定性

如果是正定函数，则标量函数3、标量函数的正半定性

如果标量函数

除了原点以及某些状态等于零外，在域内的所有其它状态都是正定的，则称为正半定标量函数。称为负定函数。

4、标量函数的负半定性

如果

是正半定函数，则标量函数

既可为正值，也可为负值时，则标量函数称为不定的标量函数。称为负半定函数。5、标量函数的不定性如果在域内，不论域多么小，

1、

4、

正定的2、正半定的

3、负定的5、不定的正定的

6、二次型函数

建立在Lyapunov第二法基础上的稳定性分析中，有一类标量函数起着很重要的作用，即二次型函数（每项的次数都是二次）。例如，

注意，这里的x为实向量，P为实对称矩阵。二次型函数的定号性二次型函数的正定性可用赛尔维斯特准则判断。（1）正定：二次型函数为正定的充要条件是矩阵P的所有主子行列式均为正值，即

（2）正半定：如果P是非奇异矩阵，且它的所有主子行列式均非负，则是正半定的是正定的，则是负定的。（3）负定：二次型函数为负定的充分必要条件是，P的各阶主子式满足是正半定的，则是负半定的。（4）负半定：二次型函数为负定的充分必要条件是，P的各阶主子式满足[例]试证明下列二次型是正定的。二次型可写为

利用赛尔维斯特准则，可得

因为矩阵P的所有主子行列式均为正值，所以是正定的。5.4李雅普诺夫第二法(直接法)李氏第二法又称直接法，可以在不求出状态方程的解条件下直接确定系统的稳定性

尽管采用Lyapunov第二法分析非线性系统的稳定性时，需要相当的经验和技巧，然而当其它方法无效时，这种方法却能解决非线性系统的稳定性问题。RLC电路，选取电感电流和电容电压作为状态变量，系统的平衡状态xe=0，电路总能量：能力的变化率

，系统总能量不变，响应为等幅振荡，李氏意义下稳定；

，系统总能量衰减，李氏意义下渐近稳定。干扰使系统偏离平衡状态，系统具有正能量，产生自由运动；能量变化率表明能力是不断消耗、维持不变、增大，导致系统稳定性变化。由力学经典理论可知，对于一个振动系统，当系统总能量（正定函数）随着时间连续减小（这意味着总能量对时间的导数必然是负定的），直到平衡状态时为止，则振动系统是稳定的。1.Lyapunov函数(李氏函数)Lyapunov第二法是建立在更为普遍的情况之上的，即：如果系统有一个渐近稳定的平衡状态，则当其运动到平衡状态的邻域内时，系统存储的能量随着时间的增长而衰减，直到在平稳状态达到极小值为止。若能找到描述上述过程的能量函数，系统的稳定性问题也就容易解决。然而对于一些纯数学系统，毕竟还没有一个定义“能量函数”的简便方法。为了克服这个困难，Lyapunov引出了一个虚构的能量函数，称为Lyapunov函数。当然，这个函数无疑比能量更为一般，并且其应用也更广泛。实际上，任一标量函数只要满足Lyapunov稳定性定理的假设条件，都可作为Lyapunov函数（可能十分困难）。Lyapunov函数与和t有关，我们用来表示Lyapunov函数。如果在Lyapunov函数中不含t，则用其对时间的导数2.Lyapunov第二法Lyapunov第二法直接利用能量函数的符号特征，提供了判断平衡状态处的稳定性、渐近稳定性或不稳定性的准则，而不必直接求出方程的解（这种方法既适用于线性系统，也适用于非线性系统）。其平衡状态满足，假定状态空间原点作为平衡状态()，并设在原点邻域存在对x的连续的一阶偏导数。设系统状态方程：定理1：若(1)是正定的；

(2)是负定的；则系统在原点处的平衡状态是渐近稳定的。说明：负定能量随时间连续单调衰减。则在原点处的平衡状态是大范围一致渐近稳定的。进一步地，若物理含义：李氏函数是一个能量函数，一定为正定的。随系统的运动能量在逐渐减小，则。能量最终耗尽，系统又回到平衡状态，则系统渐近稳定。注意：该定理给出的是系统渐近稳定的充分条件，即如果能找到满足定理的李氏函数，则系统一定是渐近稳定的。但如果找不到这样的李氏函数，并不意味系统是不稳定的。该定理本身并没有给出能量函数的建立。一般情况，v(x)是不唯一的。通常V(x)可取为二次型函数，即其中P阵的元素可以时变，可以定常。例1：已知非线性系统的状态方程为：试用李雅普诺夫第二法判断其稳定性。解：令原点是系统的唯一平衡点。

选取李氏函数则负定原点是渐近稳定的；只有一个平衡状态，该系统是大范围渐近稳定；由于V(x)与t无关，又是大范围一致渐近稳定。定理1几何意义：等能量轨迹(整个平面)例：线性时变系统，试判断其原点是否是大范围渐近稳定。解：系统在原点大范围渐近稳定定理2：稳定性若(1)正定；

(2)负半定；

(3)在非零状态存在某个x值使它恒为零；则系统在平衡状态是李雅普诺夫意义下稳定的。始终为零，表明能量不再变化，系统的运动不会趋于平衡点，而是等幅振荡状态，即系统可以保持在一个极限环上。在这种情况下，原点处的平衡状态称为在Lyapunov意义下是稳定的。例2：试判断下列线性系统平衡状态的稳定性。解：设则故系统是李雅普诺夫意义下的稳定。

定理2定理3：若(1)正定；

(2)负半定；

(3)在非零状态不恒为零，则平衡状态是渐近稳定的。说明：当是负半定时，附加了条件不恒等于零。负半定，意味能量为常数，不会再减小。系统的状态x距平衡点的距离为一常数，系统一定不是渐近稳定的。附加条件后，仅仅只在某个时刻暂为零，其它时刻均为负，表明系统的能量的衰减不会停止。

恒等于零，系统地运动轨迹将落在特定的曲面上，意味运动不会收敛到平衡点。对应非线性系统中出现极限环或线性系统的临界稳定；不恒等于零，系统地运动轨迹只在某个时刻与特定曲面相切，运动轨迹通过切点后并不停留而继续运动向平衡点收敛，系统仍为渐近稳定。例3：试判断下列线性系统平衡状态的稳定性。解：1)

令即原点是平衡状态。设

其它

负半定当系统在李氏意义下是稳定的。是否是渐近稳定？

假设

要求为此，需要进一步分析状态方程看：则要求必需在时，不可能衡为零。

只有全零解非零状态时原点是渐近稳定，且是大范围一致渐近稳定。定理3

如果选择另一个李氏函数

正定的负定的定理4：若(1)正定；

(2)正定则系统的平衡状态是不稳定的。说明：正定能量函数随时间增大，在处发散。

线性系统不稳定非线性系统不一定推论1：当正定，正半定，且在非零状态不恒为零时，则原点不稳定。推论2：正定，正半定，若，，则原点是李雅普诺夫意义下不稳定(同定理3)。原点不稳定

例4：试判断下列线性系统平衡状态的稳定性。解:设则

可见与无关，故非零状态(如)有，而对其余任意状态有

故正半定。令即非零状态时，不恒为零，则原点不稳定即系统不稳定。推论1几点说明（1）李氏第二法分析稳定性关键是找到李氏函数，李氏稳定性本身没有提供构造李氏函数的一般方法。李氏函数是一个标量函数，对于渐近稳定的平衡状态，李氏函数总是存在的，对于渐近稳定的线性系统，李氏函数一定可用二次型函数构造。几点说明(2)这里仅给出了充分条件，也就是说，如果我们构造出了Lyapunov函数，那么系统是渐近稳定的。但如果我们找不到这样的Lyapunov函数，我们并不能给出任何结论，例如我们不能据此说该系统是不稳定的。(3)对于非线性系统，通过构造某个具体的Lyapunov函数，可以证明系统在某个稳定域内是渐近稳定的，但这并不意味着稳定域外的运动是不稳定的。对于线性系统，如果存在渐近稳定的平衡状态，则它必定是大范围渐近稳定的。(4)我们这里给出的稳定性定理，既适合于线性系统、非线性系统，也适合于定常系统、时变系统，具有极其一般的普遍意义。(5).选取不唯一，但没有通用办法，选取不当，会导致不定的结果。

这仅仅是充分条件。(6).--单调衰减(实际上是衰减振荡)线性系统与非线性系统的稳定性比较

在线性定常系统中，若平衡状态是局部渐近稳定的，则它是大范围渐近稳定的，然而在非线性系统中，不是大范围渐近稳定的平衡状态可能是局部渐近稳定的。因此，线性定常系统平衡状态的渐近稳定性的含义和非线性系统的含义完全不同。

Lyapunov第二法的步骤：构造一个正定二次型函数；求，并代入状态方程；判断的定号性；判断非零情况下，是否为零。渐近稳定李氏稳定不稳定5.5线性定常系统渐近稳定性判别法设系统状态方程为：为唯一平衡状态。设选取如下的正定二次型函数

为李氏函数

则：--非奇异矩阵将代入：令

由渐近稳定性定理1，只要Q正定(即负定)，则系统是大范围一致渐近稳定。

定理：系统在平衡状态大范围渐近稳定的充要条件为:

给定一正定实对称矩阵Q，存在唯一的正定实对称矩阵P使成立，则标量函数

为系统的一个李氏函数。

方法1：1.给定正定矩阵Q，Q=I2.设P为实对称矩阵

3.解矩阵方程

4.判断P的正定性，若P正定，则系统渐近稳定，且为李氏函数。方法2：Q取正半定(定理2)允许单位矩阵主对角线上部分元素为零负半定。

例1：解：选取P正定

是大范围一致渐近稳定

2.线性定常离散系统渐近稳定性判别设系统状态方程：其中---非奇异阵，是平衡状态。设令李氏代数方程定理：系统渐近稳定的充要条件为：给定任一正定实对称阵Q，存在一个正定实对称P，使式成立，则是系统的一个李氏函数。例：设离散时间系统的状态方程为试确定系统在平衡点处是大范围内渐近稳定的条件。解：根据稳定定理知P为正定。即满足上述条件必有即只有当传递函数的极点位于单位圆内，系统在平衡点处才是大范围内渐近稳定的。二、线性时变系统的稳定性分析定理：若系统的矩阵A是t的函数（即时变函数），则系统在平衡点Xe=0处是大范围内渐近稳定的充要条件为：对于任意给定连续对称正定矩阵Q(t)，存在一个连续对称正定矩阵P(t)，使得而系统的李亚普诺夫函数是证明：设李亚普诺夫函数是则P(t)必是正定且对称矩阵，其由定理可知，当P是正定对称矩阵时，若Q也是一个正定对称矩阵，则是负定的，系统便是渐近稳定的。矩阵方程属于黎卡蒂(Riccati)矩阵微分方程，其解为式中，是时变系统的状态转移矩阵是黎卡蒂矩阵方程的初始条件。若取所以根据P(t)是否具有连续、对称和正定性来分析线性时变系统的稳定性。且李氏函数为

如果要检验非线性系统平衡状态的渐近稳定性，则非线性系统的线性化模型稳定性分析远远不够。必须研究没有线性化的非线性系统。有几种基于Lyapunov第二法的方法可达到这一目的，包括用于判断非线性系统渐近稳定性充分条件的克拉索夫斯基方法、用于构成非线性系统Lyapunov函数的Schultz-Gibson变量梯度法、用于某些非线性控制系统稳定性分析的鲁里叶(Lure’)法等。下面仅讨论克拉索夫斯基方法。5.6Lyapunov第二法在非线性系统中的应用定理:（克拉索夫斯基定理）考虑如下非线性系统式中，x为n维状态向量，为的非线性n维向量函数，假定对可微（i=1,2,…,n）。该系统的雅可比矩阵定义为又定义式中，是雅可比矩阵，是的共轭转置矩阵

如果矩阵

是负定的，则平衡状态x=0是渐近稳定的。该系统的Lyapunov函数为

此外，若随着，则平衡状态是大范围渐近稳定的。