第4章 地球椭球及其数学投影变换的基本理论

第4章地球椭球及其数学投影变换的基本理论大地测量学基础环境科学与工程学院张序SuzhouUniversityofSciandTechnol(SUST)4.1地球椭球的基本几何参数及其相互关系4.1.1地球椭球基本参数及其互相关系

地球椭球是选择的旋转椭球,旋转椭球的形状和大小常用子午椭圆的五个基本几何参数(或称元素):

长半轴ａ

短半轴ｂ椭圆的扁率椭圆的第一偏心率椭圆的第二偏心率

为简化书写，还常引入以下符号4.1.2地球椭球参数间的互相关系4.2椭球面上常用坐标系及其关系4.2.1各种坐标系的建立1、大地坐标系大地经度B大地纬度L大地高H

2、空间直角坐标系

坐标原点位于总地球椭球(或参考椭球)质心；Z轴与地球平均自转轴相重合，亦即指向某一时刻的平均北极点；X轴指向平均自转轴与平均格林尼治天文台所决定的子午面与赤道面的交点G；Y轴与此平面垂直，且指向东为正。地心空间直角系与参心空间直角坐标系之分。

3、子午面直角坐标系

设P点的大地经度为L，在过P点的子午面上，以子午圈椭圆中心为原点，建立x,y平面直角坐标系。在该坐标系中，P点的位置用L,x,y表示。4、地心纬度坐标系及归化纬度坐标系

设椭球面上P点的大地经度L，在此子午面上以椭圆中心O为原点建立地心纬度坐标系;以椭球长半径a为半径作辅助圆，延长Ｐ２Ｐ与辅助圆相交Ｐ１点，则OP１与x轴夹角称为P点的归化纬度u。

5、大地极坐标系

M是椭球面上一点，MN是过M的子午线，S为连接MP的大地线长，A为大地线在M点的方位角。以M为极点；

MN为极轴；

P点极坐标为（S,A)4.2.2

坐标系之间的相互关系1、子午平面坐标系同大地坐标系的关系

令:

pn=N2、空间直角坐标同子午面直角坐标系的关系3、空间直角坐标系同大地坐标系的关系在椭球面上的点：不在椭球面上的点：由空间直角坐标计算相应大地坐标4、B、u、φ之间的关系

（1）B和u之间的关系

（2）U、φ之间的关系（3）Ｂ、φ之间的关系

大地纬度、地心纬度、归化纬度之间的差异很小，经过计算，当B=45°时4.2.3

站心地平坐标系大地站心地平坐标系是以测站法线和子午线方向为依据的坐标系。其坐标关系式：Z天顶S12P’2y东x北P2A12Z124.3椭球面上的几种曲率半径

过椭球面上任意一点可作一条垂直于椭球面的法线，包含这条法线的平面叫作法截面，法截面与椭球面的交线叫法截线。4.3.1子午圈曲率半径子午圈曲率半径4.3.2卯酉圈曲率半径(N)

卯酉圈:过椭球面上一点的法线，可作无限个法截面，其中一个与该点子午面相垂直的法截面同椭球面相截形成的闭合的圈称为卯酉圈。

麦尼尔定理:

假设通过曲面上一点引两条截弧，一为法截弧，一为斜截弧，且在该点上这两条截弧具有公共切线，这时斜截弧在该点处的曲率半径等于法截弧的曲率半径乘以两截弧平面夹角的余弦。卯酉圈曲率半径卯酉圈曲率半径的特点:

卯酉圈曲率半径恰好等于法线介于椭球面和短轴之间的长度，亦即卯酉圈的曲率中心位在椭球的旋转轴上。

4.3.3主曲率半径的计算

以上讨论的子午圈曲率半径M及卯酉圈曲率半径N，是两个互相垂直的法截弧的曲率半径，这在微分几何中统称为主曲率半径。按牛顿二项式定律展开级数

式中：如果将：按牛顿二项式定律展开级数式中：4.3.4任意法截弧的曲率半径

按尤拉公式，由曲面上任意一点主曲率半径计算该点任意方位角A的法截弧的曲率半径的公式为：

任意法截弧的曲率半径的变化规律:

ＲＡ不仅与点的纬度B有关，而且还与过该点的法截弧的方位角A有关。当Ａ＝０°时，变为计算子午圈曲率半径的，即Ｒ０＝Ｍ；当ＲＡ＝90°时，为卯酉圈曲率半径，即Ｒ９０＝Ｎ。主曲率半径M及N分别是ＲＡ的极小值和极大值。当A由0°→90°时，ＲＡ之值由Ｍ→Ｎ，当A由90°→180°时，ＲＡ值由N→Ｍ，可见ＲＡ值的变化是以90°为周期且与子午圈和卯酉圈对称的。4.4.5平均曲率半径

椭球面上任意一点的平均曲率半径R等于该点子午圈曲率半径M和卯酉圈曲率半径N的几何平均值。

M，N，R的关系

4.4椭球面上的弧长计算子午线弧长计算公式

子午线曲率半径：子午线弧长计算公式如果以B＝90°代入，则得子午椭圆在一个象限内的弧长约为10002137m。旋转椭球的子午圈的整个弧长约为40008549.995m。即一象限子午线弧长约为10000km，地球周长约为40000km。为求子午线上两个纬度B１及Ｂ２间的弧长，只需按上式分别算出相应的X１及X２，而后取差：ΔＸ＝Ｘ２－Ｘ１，该ΔＸ即为所求的弧长。当弧长甚短(例如X≤40km，计算精度到0.001m)，可视子午弧为圆弧，而圆的半径为该圆弧上平均纬度点的子午圈的曲率半径Mｍ

4.4.2由子午弧长求大地纬度

迭代解法:

4.4.3平行圈弧长公式

子午线弧长和平行圈弧长变化的比较4.5大地线

两点间的最短距离，在平面上是两点间的直线，在球面上是两点间的大圆弧，那么在椭球面上又是怎样的一条线呢?它应是大地线。4.5.1相对法截线

经证明：两点间就有两条法截线存在相对法截线

相对法截线的特点:当A，B两点位于同一子午圈或同一平行圈上时，正反法截线则合二为一。在通常情况下，正反法截线是不重合的。因此在椭球面上A，B，C三个点处所测得的角度(各点上正法截线之夹角)将不能构成闭合三角形。为了克服这个矛盾，在两点间另选一条单一的大地线代替相对法截线，从而得到由大地线构成的单一的三角形。

4.5.2大地线的定义和性质椭球面上两点间的最短程曲线叫大地线。

大地线的性质:大地线是两点间惟一最短线，而且位于相对法截线之间，并靠近正法截线，它与正法截线间的夹角

在椭球面上进行测量计算时，应当以两点间的大地线为依据。在地面上测得的方向、距离等，应当归算成相应大地线的方向、距离。长度差异可忽略,方向差异需改化。

4.5.3大地线的微分方程和克莱劳方程

所谓大地线微分方程，即表达以上三个关系式称为大地线微分方程。克莱劳定理表明：

在旋转椭球面上，大地线各点的平行圈半径与大地线在该点的大地方位角的正弦的乘积等于常数。式中常数C也叫大地线常数。大地线的克莱劳方程当大地线穿越赤道时当大地线达极小平行圈时由克莱劳方程可以写出

4.6将地面观测值归算至椭球面

观测的基准线不是各点相应的椭球面的法线，而是各点的垂线，各点的垂线与法线存在着垂线偏差。

归算的两条基本要求：

①以椭球面的法线为基准；②将地面观测元素化为椭球面上大地线的相应元素。4.6.1将地面观测的水平方向归算至椭球面

将水平方向归算至椭球面上，包括垂线偏差改正、标高差改正及截面差改正，习惯上称此三项改正为三差改正。1.垂线偏差改正δu

以测站A为中心作出单位半径的辅助球,u是垂线偏差，它在子午圈和卯酉圈上的分量分别以ξ,η表示，M是地面观测目标m在球面上的投影。垂线偏差对水平方向的影响是(R-R1)，这个量就是垂线偏差δu

。2.标高差改正δh

3.截面差改正δg

4.6.2将地面观测的长度归算至椭球面

1.基线尺量距的归算

将基线尺量取的长度加上测段倾斜改正后，可以认为它是基线平均高程面上的长度，以Ｓ0表示，现要把它归算至参考椭球面上的大地线长度S。

1)垂线偏差对长度归算的影响

2)高程对长度归算的影响

2.电磁波测距的归算

弧长计算公式两点间的弦长4.7大地测量主题解算概算4.7.1大地主题解算的一般说明

主题解算分为:

短距离(<400km)

中距离(<1000km)

长距离(1000km以上)

1.以大地线在大地坐标系中的微分方程为基础（直接在地球椭球面上进行积分运算）主要特点：解算精度与距离有关，距离越长，收敛越慢，因此只适用于较短的距离微分方程为基础2.以白塞尔大地投影为基础1)按椭球面上的已知值计算球面相应值，即实现椭球面向球面的过渡；2)在球面上解算大地问题；3)按球面上得到的数值计算椭球面上的相应数值，即实现从圆球向椭球的过渡。典型解法：白塞尔大地主题解算

特点：解算精度与距离长短无关，它既适用于短距离解算，也适用于长距离解算。可适应20000km或更长的距离，这对于国际联测，精密导航，远程导弹发射等都具有重要意义。4.7.2勒让德级数式

为了计算的级数展开式，关键问题是推求各阶导数。一阶导数：二阶导数：三阶导数勒让德级数是大地主题正算得一组基本公式，但它仅适用于边长短于30km的情况。因此，对于边长长的话，级数收敛很慢，且计算复杂。4.7.3高斯平均引数正算公式典型解法：高斯平均引数法高斯平均引数正算公式推导的基本思想：

首先把勒让德级数在P１点展开改在大地线长度中点M展开，以使级数公式项数减少，收敛快，精度高；其次，考虑到求定中点M的复杂性，将M点用大地线两端点平均纬度及平均方位角相对应的m点来代替，并借助迭代计算便可顺利地实现大地主题正解。

(1)建立级数展开式:

同理可得:

(2)(3)由大地线微分方程依次求偏导数:可得高斯引数正算公式：

注意：

从公式可知，欲求ΔＬ，ΔＢ及ΔＡ，必先有Ｂｍ及Ａｍ。但由于Ｂ2和Ａ21未知，故精确值尚不知，为此须用逐次趋近的迭代方法进行公式的计算。除此之外，此方法适合与200公里以下的大地问题解算，其计算经纬计算精度可达到0.0001”,方位角计算精度可达到0.001”。4.7.4高斯平均引数反算公式

高斯平均引数反算公式可以依正算公式导出:上述两式的主式为:

（4-231）已知：求得：4.7.5白塞尔大地主题解算方法

白塞尔法解算大地主题的基本思想:

以辅助球面为基础,将椭球面三角形转换为辅助球面的相应三角形,由三角形对应元素关系,将椭球面上的大地元素按照白塞尔投影条件投影到辅助球面上，然后在球面上进行大地主题解算，最后再将球面上的计算结果换算到椭球面上。

这种方法的关键问题是找出椭球面上的大地元素与球面上相应元素之间的关系式,同时也要解决在球面上进行大地主题解算的方法。

1.在球面上进行大地主题解算

球面上大地主题正算:

已知求解球面上大地主题反算:

已知

求解球面三角元素间的相互关系:1)球面上大地主题正解2)球面上大地主题反解方法

2

、椭球面和球面上坐标关系式在椭球面上与单位球面上的大地线微分方程为:白塞尔提出如下三个投影条件：1.椭球面大地线投影到球面上为大圆弧2.大地线和大圆弧上相应点的方