整式的乘法重难点题型专训（原卷版+解析）

专题06整式的乘法重难点题型专训

国【题型目录】

题型一整式乘法中的化简求值问题

题型二整式乘法中不含某项求字母的值

题型三整式乘法中的看错问题

题型四整式乘法中的遮挡问题

题型五整式乘法的应用问题

题型六整式乘法中的规律探究性问题

题型七整式乘法的新定义问题

题型八整式乘法的混合运算

丹【经典例题一整式乘法中的化简求值问题】

1、单项式的乘法法则

单项式与单项式相乘，把它们的系数，相同字母分别相乘，对于只在一个单项式里含有的字母，则连

同它们的指数作为积的一个因式.

2、单项式与多项式相乘的运算法则

单项式与多项式相乘，就是用单项式去乘多项式的每一项，再把所得的积相加.

即m(a+b+c)=ma+mb+me.

3、多项式与多项式相乘的运算法则

多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项乘另一个多项式的每一项，再把所得的积相加.即

【例1X2023秋・四川内江•八年级统考期末）已矢口d=2d+d—12%一5,贝！!当龙2—2x—5=0,d的值为（）

A.25B.20C.15D.10

【变式训练】

【变式11（2021春・江苏扬州•七年级统考期中）已知（尸1）3=加+版2+5+1,则a+6+c+d+i的值为（）

A.-1B.0C.1D.2

【变式2]（2021秋・全国•八年级专题练习）已知。一〃=根，"=T，化简（〃一2乂Z?+2）的结果是.

【变式3]（2022秋.上海静安•七年级上海市市西中学校考期中）知识再现：我们知道哥的运算法则有4条,

分别是：①暧・优=/"，②（""）"=*,③（时=a"b",®a'n^an=am-n,反过来，这4条运算法则可以

写成：①②/"'=3'）"，③屋加'=（皿"，®am-n=am^an.

z[\2022

问题解决：已知0xO.752022,且6满足等式（271=3“，

⑴求代数式。、6的值；

⑵化简代数式（*-曰任+孙+V）,并求当x=。，y=6时该代数式的值.

【经典例题二整式乘法中不含某项求字母的值】

【解题技巧】整式乘法中不含某一项，合并同类项后系数为0。解决这类题目，首先要掌握单项式与多

项式，多项式与多项式的乘法。

单项式与单项式相乘，把它们的系数、相同字母的事分别相乘，对于只在一个单项式里含有的字

母，则连同它的指数作为积的一个因式。根据乘法分配律，用单项式乘以多项式的每一项，再把所得

的积相加。单项式乘以多项式的积仍是一个多项式，积的项数与原多项式的项数相同；如果式中含有

乘方运算，仍应先算乘方，在算乘法。

先用一个多项式的每一项分别乘以另一个多项式的每一项，再把所得的积相加。运算过程中，需

要关注符号的变化（负负得正，正负为负）；乘法运算的结果中，如果有同类项，需要合并同类项，

化为最简形式。

除此以外，还要注意区分未知数和参数，会合并同类项。同类项所含字母相同，并且相同字母的

指数也相同的项，叫做同类项。合并同类项就是利用乘法分配律，同类项的系数相加，所得的结果作

为系数，字母和指数不变，实际上就是乘法分配律的逆向运用。

【例2】（2022秋・重庆江北•八年级校考期中）关于尤的三次三项式

A=5x3-6x2+10=a(x-l)3+Zj(x-l)2+c(x-l)+<7(其中。，b,c,d均为常数)，关于x的二次三项式

2

B=x+ex+f（%/均为非零常数），下列说法有几个正确（）

①当A+B的结果为关于x的三次三项式时，则/=TO；

2

②若二次三项式B=x+ex+f能分解成（X—3/X+5）,则=-30；

③当多项式A与8的乘积中不含项时，则e=6；

@a-b+c=—1.

A.1个B.2个C.3个D.4个

【变式训练】

【变式1］（2022秋・重庆万州.八年级重庆市万州新田中学校考期中）已知（5-3x+%/-6x3）（l-2x）的计算

结果中不含V的项，则加的值为（）

A.3B.-3C.--D.0

2

［变式2］（2023春,七年级课时练习）若的积不含/项，贝ija=.

【变式3］（2021秋•江苏无锡•七年级校联考期中）【感悟数学方法】

已知：A=lab-a,B=-ab+2a+b.

（1）计算：5A-2B-,

（2）若5A-23的值与字母匕的取值无关，求。的值.

【解决实际问题】请利用上述问题中的数学方法解决下面问题：

新冠疫情期间，某医药器材经销商计划同时购进一批甲、乙两种型号的口罩.已知甲型号口罩每箱进价为

800元，乙型号口罩每箱进价为600元.该医药公司根据疫情，决定购进两种口罩共20箱，有多种购进方

案，现销售一箱甲型口罩，利润率为45%,乙型口罩的售价为每箱1000元.而且为了及时控制疫情，公司

决定每售出一箱乙型口罩，返还顾客现金元，甲型口罩售价不变，要使不同方案所购进的口罩全部售出

后经销商最终获利相同，求机的值.

【经典例题三整式乘法中的看错问题】

【例3】（2022秋・河南新乡•八年级校考期末）因式分解Y+G+/；,甲看错了。的值，分解的结果是

(%+6)(x-2),乙看错了b的值，分解的结果为(x-8)(x+4),那么f+依+6分解因式正确的结果为()

A.(x+3)(x-4)B.(x+4)(x-3)

C.(x+6)(x-2)D.(x+2)(x-6)

【变式训练】

【变式1](2021秋・全国•八年级专题练习)因式分解V+以+人，甲看错了a的值,分解的结果是(工+6)(九-1),

乙看错了b的值，分解的结果为(x-2)(x+l),那么％+双+〃分解因式正确的结果为().

A.(x-2)(x+3)B.(x+2)(x—3)

D.(x+2)(x+3)

【变式2](2022秋•黑龙江大庆•八年级校考阶段练习)在将犬+如+〃因式分解时，小刚看错了根的值，

分解得(%-1乂%+6)；小芳看错了”的值，分解得(x-2)(x+l),那么原式/+m+〃正确分解为.

【变式3](2022秋•山东烟台•八年级统考期末)利用多项式乘以多项式的法则，可以计算

(^x+a^x+b^-x2+ax+bx+ab-x2+(<a+b^x+ab,

反过来无2+(a+b)龙+。6=(尤+a)(x+b).

请仔细观察f+(a+A)x+",一次项系数是两数之和，常数项是这两数之积，二次项系数是1,具有这种

特点的二次三项式可利用x2+(a+b)x+o/?=(尤+a)(尤+b)进行因式分解.

根据上述阅读，解决下列问题：

(1)已知关于尤的二次三项式V-3x+/有一个因式是(x+2),求另一个因式和左的值；

(2)甲，乙两人在对二次三项式d+px+q进行因式分解时，甲看错了一次项系数，分解的结果为

(x+2)(x+4),乙看错了常数项，分解的结果为(尤-3「求这个二次三项式，并将其进行正确的因式分解.

A【经典例题四整式乘法中的遮挡问题】

【例4】(2022春・河北承德•七年级承德市民族中学校考期末)小明在利用完全平方公式计算一个二项整式

的平方时，不小心用墨水把中间一项的系数染黑了，得到正确的结果为4a2.ab+9b2,则中间一项的系数是

()

A.12B.-12C.12或-12D.36

【变式训练】

【变式1](2022秋.四川南充.八年级四川省南充高级中学校考期中)数学课上，老师讲了单项式乘多项式,

放学回到家，李刚拿出课堂笔记复习，发现一道题：-kv(3y-2x-3)=-12孙汩+12孙，口的地方被墨水弄

污了，你认为口内应填写()

A.+8x2yB.-Sx2yC.+8盯D.-8xy2

【变式2](2021春.全国•七年级专题练习)小明同学在做数学作业时发现一道数学题有部分内容被墨水污

染了：“先化简，再求值(〃-3)(〃+3)-(〃-2)2,其中。=“・”小明翻开答案看到这题的结果是7.你能帮他

确定出被墨水污染了的部分内容"・”=.

【变式3](2020春•山东枣庄•八年级统考期末)【类比学习】

小明同学类比除法240勺6=15的竖式计算，想到对二次三项式x?+3x+2进行因式分解的方法：

即(x?+3x+2)+(x+1)=x+2,所以x?+3x+2=(x+1)(x+2).

【初步应用】

小明看到了这样一道被墨水污染的因式分解题：x2+ax+6=(X+2)(x+众)，(其中口、☆代表两个被污

染的系数)，他列出了下列竖式：

X+—

x+2)ax+6

X2+2X

(□-2)x+6

☆x+2支

0~

得出口=,☆=.

【深入研究】

小明用这种方法对多项式x?+2x2-x-2进行因式分解，进行到了：X3+2X2-X-2=(x+2)(*)(*代表一

个多项式），请你利用前面的方法，列出竖式，将多项式x3+2x2-x-2因式分解.

【经典例题五整式乘法的应用问题】

【例5】（2022秋・河南三门峡•八年级校考期末）比较图1和图2你可以得到①，如图3,点C是线段A8

上的一点，以AC,CF为边向两边作正方形，设AB=8,两正方形的面积和。+邑=26,求图中阴影部分

的面积是②（）

aa

b

b

图1

A.①(Q+b)2=(〃一322

②26B.①(Q+b)-{a-b)2=+4〃b

222

C.@(a+b\a-b)=a-bD.①(Q+Z?)-(a-A)?=+4QZ?②26

【变式训练】

【变式1］（2022秋.河南周口.八年级统考期中）如图，有两个正方形A,B,现将5放在A的内部得图甲,

将A,5并列放置后构造新的正方形得图乙，若图甲和图乙中阴影部分的面积分别为4和30,则正图乙的边

长为（）

A.7B.8C.5.6D.10

【变式2］（2022秋.河北邢台•八年级校考阶段练习）现有如图所示的A,B,C三种纸片若干张.

（1）现取1张A纸片，2张C纸片，其面积和为.

（2）淇淇要用这三种纸片紧密拼接成一个没有缝隙的大正方形，她选取A纸片9张，再取8纸片1张，还

需要取C纸片张.

【变式3］（2023秋•陕西安康•八年级统考期末）某种植基地有一块长方形和一块正方形实验田，长方形实

验田每排种植（3。-3株豌豆幼苗，种植了（3a+b）排，正方形实验田每排种植（。+6）株豌豆幼苗，种植了

（a+6）排，其中a>b>0.

（1）长方形实验田比正方形实验田多种植豌豆幼苗多少株？（用含。、b的式子表示，并化简）

（2）用含6的式子表示该种植基地这两块实验田一共种植了多少株腕豆幼苗，并化简；当。=4,6=3时,

一共种植了多少株？

【经典例题六整式乘法中的规律探究性问题】

【例6】（2022秋.全国.八年级期末）南宋数学家杨辉在其著作《详解九章算法》中揭示了为非

负整数）展开式的项数及各项系数的有关规律如图，后人也将其称为“杨辉三角”.

(a+b)°=l

(a+Z?)1=a+b

(a+=ci~+2ab+b~

(a+b)3=a3+3a%+3aZ)2+b3

(a+6)4=a4+4a3b+6a2b2+4-ab3+b4

(a+b)5=a5+5a%+10a3b2+10a2b3+5ab4+b5

据此规律，则（元+1）2。2。展开式中含龙2。19项的系数是（）

I

I1

I21

1331

14641

I510105I

A.2017B.2018C.2019D.2020

【变式训练】

【变式1]（2022春.重庆沙坪坝.九年级重庆一中校考阶段练习）若一个只含。字母的多项式的项数是偶数，

用该多项式去乘（〃+1）,若该多项式的项数是奇数，则用该多项式去乘（。-1）,称这为第一次操作；若第一

次操作后所得多项式的项数是偶数，用该多项式去乘（。+1）,若该多项式的项数是奇数，则用该多项式去乘

3-1）称这为第二此操作，以此类推.

①将多项式（〃-1）以上述方式进行2次操作后所得多项式项数是5；

②将多项式（4+2〃）以上述方式进行3次操作后，多项式的所有系数和为0；

③将多项式（〃+2〃+1）以上述方式进行4次操作后，当〃=2时，所得多项式的值为243；

④将多项式（。-1）以上述方式进行〃次操作后所得多项式为（〃-+；

四个结论错误的有（）

A.0B.1C.2D.3

【变式2]（2022春・河南郑州•七年级统考期末）如果将（〃+〃）〃"为非负整数）的每一项按字母，的次数由

大到小排列，就可以得到下面的等式：（。+扮°=1它只有一项，系数为1;（〃+/=〃+〃，它有两项，系数

分别是1,1；（6Z+/?）2=a2+2ab+b2,它有三项，系数分别是1,2,1；（a+fe）3=a3+3a2b+3ab2+b3,它

有四项，系数分别是1,3,3,1；Ca+b）4=a4+4c^b+6a2b2+4ab3+b4,它有四项，系数分别是1,4,6,

4,1;

如果将上述的每个式子的各项系数都排成下表，我们发现每一行的首末都是1,并且下一行的数比上一行的

数多1,中间各数都写在上一行两数的中间，且等于它们的和.参考这个表，请你直接写出.

1

11

121

1331

14641

15101051

1615201561

【变式3](2021•陕西西安•七年级西安市中铁中学校考阶段练习)(1)填空：(尤-1)(x+1)=<-1；

(x-l)(1+x+l)—X3-1；

(X-1)(/+/+X+1)=;

(2)猜想：(x-1)+.]+……+x+l)=(〃为大于3的正整数)，并证明你的结论；

(3)运用⑵的结论计算(32019+32018+32017+……+32+3+1)-(3侬(^2)X(8x380)；

(4)32。19_32018+32017_32016+……+35_34+33-32+3=.

【经典例题七整式乘法的新定义问题】

【例7】（2022秋•重庆江津•九年级校考期中）设a,b是有理数，定义运算a㊉。=（a-2>+6,例如:

(T^(-3)=[(T)-2f+(-3)=6,1㊉2=(1—2)2+2=3,0©1=(0-2)2+1=5.下列结论：①2㊉(-5)=-5；

②0㊉0=0；③机，“为有理数，当"2+”=4时，则机㊉6=〃㊉6；@x,y为有理数，当x㊉y=y㊉x时，则

彳=>;⑤设4=5㊉(-2)+6㊉(-2)+7㊉(-2)+...+1003(-2),

8=(T)㊉2+(-2)㊉2+(-3)㊉2+…+(-96)㊉2,则A>3.其中所有正确的结论有()

A.2个B.3个C.4个D.5个

【变式训练】

【变式1］（2022秋•重庆沙坪坝•九年级重庆八中校考阶段练习）任何一个正整数〃都可以写成两个正整数相

乘的形式，我们把两个乘数的差的绝对值最小的一种分解”=P4（pW/称为正整数n的最佳分解，并定义

一个新运算尸(〃)=,例如：12=1x12=2x6=3x4,又因为|1—12|>|2-6|>|3—4],则尸(12)=]那么以

下结论中：①尸(24)=；；②若”是一个完全平方数，则尸(刈=1；③〃是一个完全立方数(即"=d,。是

正整数)，则尸(〃)=工④若*")=一^，则网25〃+6)N：.正确的个数为()

aP+18

A.1个B.2个C.3个D.4个

【变式2](2022春•四川成都・七年级统考期末)在学习教材上的综合与实践《设计自己的运算程序》时，

小萱对自己设计的运算给出如下定义：(。,3=(6+6)(6尤+4).(1,2)的化简结果是；若(凡切乘

以S,。)的结果为9/-60X3+118X2-60X+9,则a+匕的值为

【变式3](2023秋•北京石景山•八年级校考期末)阅读材料：把形如a?+6x+c的二次三项式配成完全平

方式的方法叫做配方法，配方法的基本形式是完全平方公式的逆写，即1+2.

例如：①我们可以将代数式片+6。+10进行变形，其过程如下：

a~+6a+10=(o~+6a)+10=(o~+6o+9)+10-9=(a+3)2+1

V(a+3)2>0,

/.(O+3)2+1>1,

因此，该式有最小值L

材料二：我们定义：如果两个多项式A与8的差为常数，且这个常数为正数，则称A是B的“雅常式”，这

个常数称为A关于2的“雅常值”.如多项式A=f+2x+l,3=(尤+4)(尤-2),

2

A—B—^x+2尤+1)—(x+4)(x—2)=(尤2+2x+l)—(尤2+2尤一8)=9,

则A是8的“雅常式”，A关于8的“雅常直，为9.

⑴已知多项式C=f+x-i,D=(x+2)(尤-1),则C关于。的“雅常值”是；

⑵已知多项式M=O-a)2,N=^-2x+b(a,b为常数)，M是N的“雅常式”，且N的最小值为-2,求

“关于N的“雅常值”.

【例8】(2023秋•湖北武汉•八年级校考期末)计算

(1-2-3------2022)x(2+3+…+2023)-(1-2-3-------2023)x(2+3+…+2022)的结果是()

A.2023B.2022C.2021D.2020

【变式训练】

【变式1](2021春・浙江•七年级期末)如图，长为y(cm),宽为x(cm)的大长方形被分割为7小块，除阴

影A,B外，其余5块是形状，大小完全相同的小长方形，其较短的边长为5cm,下列说法中正确的是()

①小长方形的较长边为y-15；

②阴影A的较短边和阴影B的较短边之和为工->+5；

③若y为定值，则阴影A和阴影B的周长和为定值；

④当x=25时，阴影A和阴影8的面积和为定值.

A.①③④B.①④C.①③D.①②③

【变式2](2021•全国•七年级假期作业)有一个多项式除以2d+4犬-3,商为x+1,余式为5x+8,那么这

个多项式为一.

【变式3](2022秋•河北衡水•七年级校考期中)七年级学习代数式求值时，遇到这样一类题“代数式

依-y+6+3x-5y-l的值与x的取值无关，求。的值”，通常的解题方法是：把x、y看作字母，。看作系数

合并同类项，因为代数式的值与x的取值无关，所以含x项的系数为0,

即原式=(〃+3)x—6y+5,所以a+3=o,则々=—3.

（1）若关于X的多项式（2x—3）加+2/—3x的值与X的取值无关，求m值；

（2）已知A=2x?+3孙-2x-l,B=-x2+xy-\■,且3A+63的值与x无关，求y的值；

（3）7张如图1的小长方形，长为°,宽为b,按照图2方式不重叠地放在大长方形ABC。内，大长方形中未

被覆盖的两个部分（图中阴影部分），设右上角的面积为加，左下角的面积为邑，当AB的长变化时，邑的

值始终保持不变，求。与6的等量关系.

【培优检测】

1.（2023秋・贵州安顺•八年级校联考期末）如（x+a）与（x+3）的乘积中不含x的一次项，则。的值为（）

A.3B.-3C.1D.-1

2.（2021春・浙江宁波•七年级校考期中）已知。，b,c是正整数，d>b,且/一"一℃+云=13,贝M-C等

于（）.

A.-1B.-1或一13C.1D.1或13

3.（2023秋・河北沧州•八年级校考期末）已知（加-〃）~46,（m+〃）2=4000,贝U苏+/的值为（）

A.2022B.2023C.3954D.4046

4.（2022秋•四川宜宾•八年级统考期中）已知2（%+3）（%-1）=2X2+痛+〃，则m的值是（）

A.-10B.10C.-2D.2

5.（2023秋•重庆沙坪坝•七年级重庆一中校考期末）关于x的三次三项式

A=5x3-6x2+10=a（ic-1）3+b（x-1）2+c（x-D+d（其中a,b,c,d均为常数）,关于x的二次三项式B=V+ex+/

（e,/均为非零常数），下列说法中正确的个数有（）

①当A+3为关于尤的三次三项式时，则/=-1。；

②当多项式A与8的乘积中不含％4项时，贝l|e=6；

③。+6+c=9；

A.0个B.1个C.2个D.3个

6.（2022秋・广东广州•八年级校考期末）有足够多张如图所示的A类、8类正方形卡片和C类长方形卡片,

若要拼一个长为（3。+2勾、宽为的大长方形，则需要C类卡片的张数为（）

aba3a+2b

A.3B.4C.5D.6

7.（2022秋.山东济宁.八年级校考期末）有"个依次排列的整式：第1项是（x+1）,用第1项乘以（x-l）,

所得之积记为生,将第1项加上R+1）得到第2项，再将第2项乘以（x-l）得到出，将第2项加（%+1）得

到第3项，再将第3项乘以（x-l）得到的，以此类推；某数学兴趣小组对此展开研究，得到4个结论:

①第5项为*5+*4+三+*2+》+1；②/-1；③若第2023项的值为0,则电。24=-2；④当x=—3时，

第m项的值为1一（-3）""’.以上结论正确的个数为（）

4

A.1B.2C.3D.4

8.（2022秋.重庆沙坪坝•八年级重庆市第七中学校校考阶段练习）有依次排列的2个整式：x,x+3,对任

意相邻的两个整式，都用右边的整式减去左边的整式，所得之差写在这两个整式之间，可以产生一个新整

式串：%3,x+3,这称为第一次操作；将第一次操作后的整式串按上述方式再做一次操作，可以得到第

二次操作后的整式串；以此类推.通过下列实际操作，

①第二次操作后整式串为：尤，3-x,3,x,尤+3；

②第二次操作后，当国＜3时，所有整式的积为正数；

③第四次操作后整式串中共有19个整式；

④第2022次操作后，所有的整式的和为2尤+6069.下列结论正确的是（）

A.①②B.①③C.②④D.①④

9.（2023秋・湖南衡阳•八年级统考期末）己知敬=4+6+2021,则的值为.

10.（2021春・浙江温州•七年级校考期中）如果（x-4）（%+〃）=/+加，则代数式相+〃的值为.

11.（2021春•内蒙古包头•七年级包头市第三十五中学校考期中）如图，边长为（加+3）的正方形纸片中，剪

出一个边长为功的正方形之后，剩余部分可剪拼成一个长方形（不重叠无缝隙），若拼成的长方形一边长为

3,则另一边长是

1

1

1

1

1

1-------►

1

1

1

1

1

1

1

<-----"7+3-------►<—m—>

12.（2022春・广西•七年级统考阶段练习）观察下列各式的计算过程:

13.（2022春・江苏扬州•七年级校联考期末）在数学中，为了书写简便，18世纪数学家欧拉就引进了求和符

左=3

号“Z"，如£%=1+2+3+—F（〃一1）+〃,£（%+左）=（x+3）+（x+4）d----F（x+n）；已知

k=ln

&=2

£[（%+=4/+4%+刀,则加+几的值是.

n

14.（2022秋.重庆沙坪坝•八年级重庆南开中学校考期末）春天是耕种的最佳时节，我校两个劳动实践小组

在试验田里种植了黄瓜、番茄、辣椒三种蔬菜，单位面积种植黄瓜、番茄、辣椒的株数之比为1：2：2.第

一小组种植黄瓜、番茄、辣椒面积之比为3：2：4,第二小组在余下的实验田里继续种植这三种蔬菜，将余

下试验田面积的工]种植辣椒，辣椒的种植总面积将达到这三种蔬菜种植总面积的3，且第二小组种植三种蔬

0o

菜的总株数是第一小组种植三种蔬菜的总株数的;，则最后实验田里种植黄瓜和番茄的总株数之比为

15.（2023秋・广东惠州•八年级统考期末）学习了平方差、完全平方公式后，小明同学对学习和运用数学公

式非常感兴趣，他通过上网查阅，发现还有很多数学公式，如立方和公式：（a+b）（a2-ab+b2）=a3+b3,

他发现，运用立方和公式可以解决很多数学问题，请你也来试试利用立方和公式解决以下问题:

(1)【公式理解】公式中的字母可以代表任何数、字母或式子:

①化简：(a—b乂/=；

②计算：(20233+1)+(20232-2023+1)=；

(2)【公式运用】已知：-+x=3,求［+/的值.

XX

16.(2022秋.湖南株洲.八年级统考期末)定义：如果一个数的平方等于-1,记为产=-1,这个数i叫做虚

数单位，把形如。+玩(八6为实数)的数叫做复数，其中。叫做这个复数的实部，。叫做这个复数的虚部,

它的加、减、乘法运算与整式的加、减、乘法运算类似.例如：(2-。+(5+3，)=(2+5)+(-1+3"=7+2，；

(l+z)?(2z)=1?21?(z)+2?iz?(z)=2+(-1+2)z-z2=2+i-(-1)=3+z

根据以上信息，完成下列问题：

⑴计算：产，/.

(2)计算:(l+z)x(3-4z)；

⑶计算：,•+/+『+/+户+…+严3

17.(2022秋・福建福州•八年级校考阶段练习)数学活动课上，老师准备了若干个如图1的三种纸片，A种

纸片是边长为。的正方形，5种纸片是边长为6的正方形，C种纸片是长为。、宽为6的长方形，并用A种

纸片一张，8种纸片一张，C种纸片两张拼成如图2的大正方形.

b山

a

C

图1图2

（1）若要拼出一个面积为（a+力）（3a+b）的矩形，则需要A号卡片张，5号卡片张，C号卡片

_____张.

（2）观察图2,请你写出下列三个代数式：5+32,a2+b2,而之间的等量关系;根据得出的等量关

系，解决如下问题：已知（2021-xy+（2023-x）2=2022,求（2022-x?的值.

（3）两个正方形ABCD,A£FG如图3摆放，边长分别为无，兀若/+/=34,BE=2,求图中阴影部分面

积和.

图3

18.（2020秋•吉林长春•八年级长春市解放大路学校校考期中）我们知道，对于任意一个实数a,20”这

个结论在数学中非常有用，有时我们需要将代数式配成完全平方式，然后利用Wo”来解决问题.

例如：x2+4x+5=%2+41+4+1=（兀+2）2+1,

•・,（X+2）2>0,

(X+2)2+1>1,

♦•x~+4x+521.

22

(1)填空：X-4X+5=(x)+.

(2)请用作差法比较V-2与2x-5的大小，并写出解答过程.

(3)求/一4x+V+2y+8的最小值.

19.(2023秋•山西朔州•八年级统考期末)【阅读理解】

“若x满足(80—x)(x-60)=30,求(80-+(尤-60)2的值”

解：设(80-x)=a,(x-60)=b,贝!](80-x)(x-60)=o&=3。，a+b=(80-x)+(x-60)=20,所以

(80-x)2+(x-60)2=a2+Z?2=(a+Z?)2-2<7Z?=202-2x30=340

【解决问题】

⑴若无满足(25-x)(18-尤)=30,求(25-xy+(18-x)，的值.

⑵若x满足尤2+(10_尤了=260,求x(10—x)的值.

(3)如图，正方形A3C。的边长为x,AE=6,CG=8,长方形斯GO的面积是240,四边形NGO8和MEDQ

都是正方形，PQDH是长方形，求图中阴影部分的面积(结果必须是一个具体的数值).

20.(2023春•全国•七年级专题练习)我国宋朝数学家杨辉在他的著作《详解九章算法》中提出“杨辉三角”

(如图)，此图揭示了(。+6)"(〃为非负整数)展开式的项数及各项系数的有关规律.

1

11

121

1331

例如：(.+力=1,它只有一项，系数为1；系数和为1；

(a+"=a+6,它有两项，系数分别为1,1,系数和为2；

(4+6)2=/+2"+〃，它有三项，系数分别为1,2,1,系数和为4；

(a+"=03+3/6+3/+/,它有四项，系数分别为1,3,3,1,系数和为8；

则

(1)(。+6)”的展开式共有项，系数和为.

(2)(a+bp=.

⑶(a+域=.

⑷(a+&)6=.

(5)(a+6户的展开式中第三项系数为.

专题06整式的乘法重难点题型专训

旨【题型目录】

题型一整式乘法中的化简求值问题

题型二整式乘法中不含某项求字母的值

题型三整式乘法中的看错问题

题型四整式乘法中的遮挡问题

题型五整式乘法的应用问题

题型六整式乘法中的规律探究性问题

题型七整式乘法的新定义问题

题型八整式乘法的混合运算

K【经典例题一整式乘法中的化简求值问题】

1、单项式的乘法法则

单项式与单项式相乘，把它们的系数，相同字母分别相乘，对于只在一个单项式里含有

的字母，则连同它们的指数作为积的一个因式.

2、单项式与多项式相乘的运算法则

单项式与多项式相乘，就是用单项式去乘多项式的每一项，再把所得的积相加.

即m（a+b+c）=ma+mb+me.

3、多项式与多项式相乘的运算法则

多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项乘另一个多项式的每一项，再把所得的

积相力口.即（a+n）=am+an+bm+1m.

【例1】（2023秋・四川内江•八年级统考期末）已知贝I当

X2-2X-5=0,d的值为（）

A.25B.20C.15D.10

【答案】A

【分析】把所求的式子化简成已知式子是解此类题的关键.

［详解1d=x4-2x3+x2-12x-5=x2（x2-2x-5）+6（x2-2x）~5

JC—2x—5=0,尤2—2x=5,

；.d=25

选A

【点睛】式子的变形，一定是加了多少就要减去多少才能保持不变.

【变式训练】

【变式1］（2021春•江苏扬州•七年级统考期中）已知（x-1户=加+求+5+",则a+6+c

+d+l的值为（）

A.-1B.0C.1D.2

【答案】c

【分析】令尤=1,求出Q+〃+c+d=。，即可求出a+b+c+d+1.

【详解】I?：,/（x-if=ax3+bx2+cx-^-d,

令JV=1,得（1—l）3=Q+Z?+C+d=0

「.a+Z?+c+d+l=O+l=l,

故选：C.

【点睛】本题考查了代数式求值，解题的关键是熟练掌握运算法则，根据式子的特点巧解.

【变式2】（2021秋・全国•八年级专题练习）已知a-6=根，仍=-4,化简（。-2乂/7+2）的

结果是.

【答案】2祖-8

【分析】根据多项式乘以多项式展开，在把已知式子代入求解即可；

【详解】由题可知（4一2）（6+2）=。6+2。一26—4=。6+2（。一人）一4,

'/a—b=m,ab=Y,

•,•原式=-4+2/n—4=2m—8；

故答案是：2m-8.

【点睛】本题主要考查了整式的化简和代数式求值，准确化简计算是解题的关键.

【变式3]（2022秋・上海静安.七年级上海市市西中学校考期中）知识再现：我们知道嘉的

运算法则有4条，分别是：①腔②（a"）、/,③（"）"=〃出‘，④,

反过来，这4条运算法则可以写成：①/"=""・#,②③储目=（"）",

④尸

z]\2022

问题解决：已知4=xO.752022,且6满足等式（27〃丫=叶，

（1）求代数式。、b的值；

⑵化简代数式（》-封，+冲+力，并求当》=。，＞=万时该代数式的值.

【答案】（1））=1,6=2

（2）x3—y3,—7

【分析】（1）逆用积的乘方法则即可求得。的值，逆用暴的乘方法则可求得人的值;

（2）利用多项式乘多项式的法则化简，并把值代入即可求得代数式的值.

（1V022（V022（437°22

【详解】⑴解：一号x0.752022=-j4x0.75==1,

由（27"丫=3即得：272）=32BP（33）M=312,

所以36〃=3已故得66=12,解得6=2；

所以々=1,6=2；

（2）解：（x-y）（x2+xy+y2）

=x3+x2y+xy2-x2y-xy2-y3

=x3-/,

当x=a=l,y=6=2时，原式=F—23=-7.

【点睛】本题考查了幕的运算法则的逆用，多项式的化简求值，熟练运用幕的运算法则，能

正确进行多项式的乘法运算是关键.

A【经典例题二整式乘法中不含某项求字母的值】

【解题技巧】整式乘法中不含某一项，合并同类项后系数为0。解决这类题目，首先要

掌握单项式与多项式，多项式与多项式的乘法。

单项式与单项式相乘，把它们的系数、相同字母的幕分别相乘，对于只在一个单项

式里含有的字母，则连同它的指数作为积的一个因式。根据乘法分配律，用单项式乘以

多项式的每一项，再把所得的积相加。单项式乘以多项式的积仍是一个多项式，积的项

数与原多项式的项数相同；如果式中含有乘方运算，仍应先算乘方，在算乘法。

先用一个多项式的每一项分别乘以另一个多项式的每一项，再把所得的积相加。运

算过程中，需要关注符号的变化（负负得正，正负为负）；乘法运算的结果中，如果有

同类项，需要合并同类项，化为最简形式。

除此以外，还要注意区分未知数和参数，会合并同类项。同类项所含字母相同，并

且相同字母的指数也相同的项，叫做同类项。合并同类项就是利用乘法分配律，同类项

的系数相加，所得的结果作为系数，字母和指数不变，实际上就是乘法分配律的逆向运

用。

【例2】（2022秋・重庆江北•八年级校考期中）关于X的三次三项式

A=5x3-6x2+10=tz（x-l）3+Z?（x-1）"+c（x-l）+rf（其中b,c,d均为常数），关于x

的二次三项式3=x2+ex+/（e,/均为非零常数），下列说法有几个正确（）

①当A+3的结果为关于x的三次三项式时，则/=-10;

2

②若二次三项式B=x+ex+f能分解成（x-3）（x+5）,则由'=一30；

③当多项式A与8的乘积中不含/项时，则e=6；

@a-b+c=-l.

A.1个B.2个C.3个D.4个

【答案】C

【分析】①计算A+3的值，再根据题意列方程求解；②计算（彳-3）"+5）的值，根据题意列

方程求e,/的值，再计算③先求A3的值，再根据题意列方程求解；④先求

A=5?-6%2+10=a(x-1)3+b{x-1)2+c(x-Y)+d,再歹U方程求解.

【详解】解：@A+B=5x3-5x2+ex+(10+f),

・•・e,/均为非零常数，

.-.10+/=0,

故①正确；

②：B=+ex+f=(x-3)(x+5)=尤2+2x-15,

e=2,f=-15,

ef=-30,

故②是正确的；

(3)•1,AB=5x5+(5e-6)x4+(5/-6e)x3+(10-6f)x2+Wex+10/,

•/5e-6=0,

「.e=1.2,

故③是错误的；

④・「A=5x3-6x2+10=a(x-I)3+b(x-I)2+c(x-1)+J

=ax'+(b-3〃)%2+(2a-2b+c)x+(〃+b-c+d),

4=5

b-3a=-6

：.<,

2。—2b+c—0

a+b—c+d=10

4=5

b=9

解得：Q，

c=3

d=9

ci—Z?+c=—1,

故④是正确的；

故选：C.

【点睛】本题考查了多项式，整式的加减，方程思想是解题的关键.

【变式训练】

【变式1](2022秋・重庆万州•八年级重庆市万州新田中学校考期中)已知

(5-3工+“2-6/)。一2”的计算结果中不含炉的项，则加的值为()

A.3B.-3C.--D.0

2

【答案】B

【分析】先计算(5-3x+加-6V)(l_2x)的结果，不含V的项，则合并后含V的项的系数

为0.

【详解】(5—3x+mx2——2x)

=5—10x—3x+6x2+mx2—Imx'—6x3+12x4

=12x4+(—2m—6)x3+(6+m)x2—13x+5

•.•已知(5-3x+mx2-6x3)(l_2x)的计算结果中不含/的项，

—2m—6=0

m=—3

故选：B.

【点睛】本题考查多项式中不含某一项的系数特点，解题的关键是能够掌握做题方法，不含

某一项，则多项式合并后，该项的系数为0.

【变式2](2023春•七年级课时练习)若12尤3一以2+:尤13/+：苫-£|的积不含丈3项，则

【答案】|

【分析】先利用多项式乘多项式法则，展开合并后得到

6/+(1-3。)/+x,根据题意得=0,即可求解a.

2J6)1352

【详解】解:

=615+J丁—3d^4Q%3-|/_|%2---------%

525615

5

=6x+((〃+：卜2

•.・^2x3-ox2b/+；工_(］的积不含工3项，

解得：

故答案为：

【点睛】本题考查多项式乘多项式，掌握多项式乘多项式的运算法则是解题的关键.

【变式3](2021秋.江苏无锡.七年级校联考期中)【感悟数学方法】

已知：A=2ab-afB=-ab+2a+b.

（1）计算：5A-2B；

（2）若5A-23的值与字母b的取值无关，求。的值.

【解决实际问题】请利用上述问题中的数学方法解决下面问题：

新冠疫情期间，某医药器材经销商计划同时购进一批甲、乙两种型号的口罩.己知甲型号口

罩每箱进价为800元，乙型号口罩每箱进价为600元.该医药公司根据疫情，决定购进两种

口罩共20箱，有多种购进方案，现销售一箱甲型口罩，利润率为45%,乙型口罩的售价为

每箱1000元.而且为了及时控制疫情，公司决定每售出一箱乙型口罩，返还顾客现金加元,

甲型口罩售价不变，要使不同方案所购进的口罩全部售出后经销商最终获利相同，求机的

值.

【答案】感悟数学方法：（1）12ab—9a—2b；（2）a=解决实际问题：%=40.

6

【分析】感悟数学方法：（1）将A、B的值代入计算整式的加减即可得；

（2）根据“值与字母b的取值无关”建立方程，再解方程即可得；

解决实际问题：设经销商购进甲型口罩无箱，从而可得购进乙型口罩（20-力箱，再根据题

意列出利润的表达式，然后参照（2）的方法求解即可得.

【详解】感悟数学方法：（1）A=2ab-a,B=-ab+2a+b,

5A—2B=5（2〃Z?—tz）—2（—ab+2a+b）,

=10ab-5a-\-2ab-4a-2b,

=12ab—9a—2b；

（2）5A—2B—