第3讲-简单杆系w03ban

有限单元法及软件应用

山东建筑大学2011进度安排1有限元方法概述2数理力学基础3简单杆系结构有限元法4弹性力学平面有限元方法5等参元和高斯积分6空间问题有限元法7梁结构单元8板壳问题有限元法9结构动力问题有限元法进度安排10材料非线性问题11几何非线性问题12热传导问题13有限元Fortran程序设计14ANSYS有限元软件期末考试杆系结构的有限元法3.1概述3.2弹簧系统的刚度矩阵3.3拉压直杆的有限元分析3.4梁的有限元分析3.5刚架的有限元分析3.1概述3.1.1杆系结构定义由有限根杆件在它们的端点处相互连接而成的结构分类平面杆系：各杆轴线和外力作用线在一个平面内空间杆系：各杆轴线和外力作用线不在一个平面内工程中常见类型拉压直杆，桁架（平面和空间），梁（简支悬臂梁等），刚架（平面和空间）当结构长度尺寸比两个截面方向的尺寸大得很多时，这类结构称为杆件。由杆件组成的结构体系称为杆系。由桁杆组成的杆系称为桁架；由梁组成的杆系称为刚架。若杆系和作用力均位于同一平面内，则称为平面桁架或平面刚架，否则称为空间桁架或空间刚架。3.1概述3.1.2杆系单元定义杆系结构中的杆件、梁、柱等称为杆系单元。连接的点称为节点。杆系单元为一维单元。结构离散一般原则：杆系的交叉点、边界点、集中力作用点、杆件截面尺寸突变处等都应该设置节点，节点之间的杆件即构成单元。F节点1节点2单元①节点3节点2单元②杆系结构：梁、拱、框架、桁架等，它们常可离散成杆元和梁元。○○○○○○○○○梁拱框架○○○○○桁架3.1概述3.1.2杆系单元分类桁架单元：桁架中的杆件刚架单元：刚架中的杆件区别：桁架节点：铰节点传递力！刚架节点：刚节点

传递力和力矩！3.1概述3.1.3杆系单元的有限元分析与平面问题和空间问题比较，基本流程完全相同；具体计算细节需要按照杆系单元的特性来进行。3.2弹簧系统的刚度矩阵一、单个弹簧的刚度矩阵弹簧的作用力向量位移向量为为了求出刚度矩阵，将弹簧系统看成两个简单的系统，(1)只有节点1变形，节点2固定。(2)只有接点2变形，接点1固定，如图3-3(b)所示。(3)根据线弹簧系统的叠加原理，叠加上述两种情形作用在节点1上的合力作用在节点2上的合力从上式可以看出，这一刚度矩阵是对称的另外，这一矩阵是奇异的，即它的行列式的值等于零。二、组合弹簧的刚度矩阵(1)先令只允许节点1有位移考虑弹簧1-2，由静力平衡条件有节点3没有力作用，因此只允许节点2有位移(2)令即弹簧1-2的伸长量与弹簧2-3的缩短量相等，对弹簧1-2有拉力对弹簧2-3有压力分别对两弹簧求静力平衡有(3)最后令只允许节点3有位移类似情况(1)(4)合成。对整个系统来说有3个节点，每个节点只有一个方向的位移。因此方程式为在知道了单个弹簧单元的刚度矩阵后，是否可以利用它来直接叠加出多个弹簧串联系统得总刚度矩阵呢？答案是肯定的。仍以上面两弹簧系统为例，说明如何叠加刚度矩阵。叠加刚度矩阵1、首先，写出每个弹簧单元的受力方程和单元刚度矩阵单元2：单元1：2、由于整个系统有3个节点(位移)，将上述方程扩大成3阶方程，有3、按矩阵相加原则，将两式相加，有

在上面的叠加单元刚度矩阵的过程中，我们用到了矩阵扩大的办法。这对于只有几个单元的简单系统比较方便，但是随着系统中单元数目的增多，相应扩大后的矩阵就相当大，扩大后的非零元素在矩阵中的位置就不很清楚。

为了清楚起见，一般采用按节点号将相应单元的刚度矩阵中元素写到总刚度矩阵中去的办法叠加。

对于具有n个节点的弹簧系统，由于每个节点只有一个可能的位移方向，(或只有一个自由度)，因此整个系统有n

个自由度，相应的总刚度矩阵应该是我们先写成一个空的矩阵,将单元刚度矩阵按单元的节点号写到空矩阵中去。第1个单元的节点号为1和2，则单元刚度矩阵再将第二个单元(节点号为2和3)的刚度矩阵叠加到总刚度矩阵的第2、3行的第2、3列上去，即以上面两弹簧系统为例，总刚度矩阵应该是方程求解如前所述，刚度矩阵是一个奇异阵，即，它的行列式的值为零，矩阵的逆不存在。对应线性代数方程组无定解。物理解释：对整个系统的位移都没有加以限制，这样在任何外力的作用下，系统都会像刚体一样产生整体运动

为使方程组有定解，只需要给系统加大上一定的约束(约束条件、边界条件)。例如，假设节点1固定不动从而得到定解。解上述方程可得到各个节点的位移，利用所求的位移就可计算出每个弹簧所受力的大小。从上面的推导计算中，可以总结出用有限元求解弹簧系统受力问题的基本步骤:1)形成每个单元的刚度矩阵2)由每个单元的刚度矩阵按节点号叠加成整个系统的刚度矩阵3)引入约束条件；4)以节点位移为未知量求解线性代数方程组5)用每个单元的力—位移关系求单元力。例题3-1如图3-11所示为三弹簧系统，，节点1和4固定，在节点2和节点3处施加轴向力，求节点2、节点3的位移和节点1、4处的作用力。解：1)求出单个弹簧的刚度矩阵对于弹簧1-2对于弹簧2-3对于弹簧3-4将这些单个弹簧的刚度矩阵扩展成2)列出边界条件和结构矩阵方程：为了验证结果的正确性，我们进行受力平衡验证：3.3拉压直杆的有限元分析3.3.1拉压直杆（单元描述）几何形状：等截面A,长度为l载荷：沿轴线方向分布节点：2个局部坐标系：沿轴线定义的一维坐标系ox节点坐标

在x轴的坐标：xi,xj节点位移（自由度）

沿x轴的位移：ui

,uj单元节点位移列阵ijlxuiuj单元分析单元分析的目的是为整体分析做准备，单元分析就是建立单元杆端力和杆端位移之间的关系，即单元刚度方程。单元分析的一般步骤如下：1)用广义坐标法或试凑法建立形函数，从而建立满足变形协调的单元位移场，即单元内任意一点的位移用单元节点位移(对杆件单元为杆端位移)来表示；2)由几何方程建立单元应变场，即单元内任意一点的应变由节点位移来表示；4)用变形体虚位移原理或最小势能原理建立单元刚度方程，获得单元刚度矩阵和单元等效节点载荷矩阵。3)由物理方程建立单元应力场，也即单元内任意一点的应力由节点位移来表示；

拉压杆单元，已知等直杆件杆长为横截面面积为材料弹性模量为所受轴向分布载荷集度为杆端位移分别为杆端力分别记为1、建立位移场设局部坐标系下杆中任意点a的坐标为因为只有两个边界条件因此杆轴任意一点的位移可假设为由结点位移条件

x=0

时，u=u1

x=l

时，u=u2从而可得到a截面位移为那么a截面位移形函数形函数矩阵杆端位移向量或者节点位移向量形函数具有如下性质：1)本端为1，它端为02)单元内任意一点总和为12、应变分析B为应变矩阵或者几何矩阵。3、应力分析单元的应变能4、建立单元刚度方程根据单元上的载荷，可得单元的外力势能为由此可得到单元总势能为表示单元等效节点载荷表示局部坐标单元刚度矩阵由总势能一阶变分等于零对于均质等截面较支杆来说，它的刚度值也可直接由材料力学中力与变形的关系获得。当单元上受有均布满跨轴向载荷p时节点载荷等效当单元距离1节点处有一集中轴向载荷图示所示桁架试求1-2杆和1-4杆单元的局部坐标单元刚度矩阵1-2杆：抗拉刚度1-4杆：抗拉刚度3.3拉压直杆的有限元分析3.3.2位移模式单元位移模式的推导位移模式形函数ijlxuiuja1a23.3拉压直杆的有限元分析3.3.3应变应变分量

拉压直杆只有轴向应变：几何方程的推导3.3拉压直杆的有限元分析3.3.4应力应力分量

拉压直杆只有轴向应力：物理方程的推导3.3拉压直杆的有限元分析3.3.5单元刚度矩阵3.3拉压直杆的有限元分析3.3.6单元节点等效载荷（轴向载荷）集中力根据离散的要求，集中力直接施加在所处节点上体力轴向分布载荷q(x)推导依据：

面力按照集中载荷施加在面所在的节点上3.3拉压直杆的有限元分析3.3.7平面桁架的有限元分析网格离散单元分析整体分析400mm300mmXY20kN25kN①②③④1234取杆件与杆件交点、集中力作用点、杆件与支承的交点为节点。相邻两节点间的杆件段是单元。节点编号时力求单元两端点号差最小。

ij3.3拉压直杆的有限元分析3.3.7平面桁架的有限元分析网格离散单元分析：在局部坐标系下建立单元平衡方程整体分析：在整体坐标系下组装整体平衡方程因此，组装过程中需要两个坐标系之间的转换：整体坐标系:OXY局部坐标系:OxyxyXYOα有限元中的坐标系有整体坐标系和局部坐标系。对于一个结构，整体坐标系一般只有一个；而局部坐标系有很多个，一个单元就有一个局部坐标。局部坐标系每一个单元的规定都是相同的，这样，同类型单元刚度矩阵相同。XY○○○○○Pxy杆系结构单元主要有铰接杆单元和梁单元两种类型。它们都只有2个节点i、j。约定：单元坐标系的原点置于节点i；节点i到j的杆轴（形心轴）方向为单元坐标系中x轴的正向。y轴、z轴都与x轴垂直，并符合右手螺旋法则。对于梁单元，y轴和z轴分别为横截面上的两个惯性主轴。xyzij··3.3.7平面桁架的有限元分析整体坐标系OXY：节点位移为Ui

,Vi(i,j)局部坐标系Oxy：节点位移为ui

,uj

则有：3.3拉压直杆的有限元分析ijxyXYOαUjVjUiViujui从整体坐标到局部坐标的坐标变换矩阵[T]写成矩阵形式xyiia+abXYXYxybacdcd-ca取——i节点在单元坐标系中的位移向量——i节点在结构坐标系中的位移向量x对X、Y的方向余弦y对X、Y的方向余弦同理可得单元j节点在单元坐标系和结构坐标系中的位移向量：有组合上述结果，得平面杆单元的局部坐标单元位移和整体坐标单元位移之间关系：

i、j两节点间的位移变换关系互不耦合。上式可写成坐标变换矩阵[T]的计算式：3.3拉压直杆的有限元分析3.3.7平面桁架的有限元分析推导：注意：局部坐标系下的应力和应变3.3拉压直杆的有限元分析3.3.7平面桁架的有限元分析因此，单元刚度矩阵在局部坐标系和整体坐标系下的变换式：3.3拉压直杆的有限元分析3.3.7平面桁架的有限元分析在整体坐标系下的单元刚度矩阵为：形成整体刚度矩阵、引入约束条件、求解位移和单元内力例题讲解空间杆单元（3DLINK8）ijxylz（1）单元位移向量124536（2）形函数（3）应变矩阵

（4）应力矩阵(5)等价节点力(6)单元坐标单元刚度矩阵

对于等截面空间杆单元，3.4梁的有限元分析3.4.1纯弯梁单元(单元描述)几何形状：长度l，横截面为A。材料属性：弹性模量E，横截面的惯性矩为I。节点：i,j共2个局部坐标系：oxy3.4梁的有限元分析材料力学基础知识1xy1y3.4梁的有限元分析3.4.1纯弯梁单元(单元描述)局部坐标系节点坐标值：xi=0,xj=l节点位移值：挠度vi和转角θi节点力：弯距Mi和剪力Qi因此，单元位移列阵：单元载荷列阵：3.4梁的有限元分析3.4.2

位移模式

代入单元两个节点的坐标和位移条件，即可求解四个待定常数a1-a4：梁单元内一点有2个位移：v、，因为，=dv/dx；仅一个位移是独立的，取v

。3.4梁的有限元分析3.4.3应变3.4梁的有限元分析3.4.4应力3.4.5单元刚度矩阵单元平衡方程：3.4梁的有限元分析3.4.6等效节点载荷若存在集中力或者集中力矩，将作用点取为节点若存在分布载荷，按照虚功等效的原则进行计算适用情况：截面高度小于长度的1/5的杆系结构。原因：单元的位移模式，决定了没有考虑剪切挠度。xyijlq(x)将形函数矩阵[N]代入上式，积分可得分布荷载的等效结点力。表1给出了几种特殊情况的等价节点力。荷载分布QiMiQjMjql/2ql2/12ql/2-ql2/123ql/20ql2/307ql/20-ql2/20ql/45ql2/96ql/4-5ql2/96ijqqijqij几种横向分布荷载等价节点力表1例：有一变截面梁，一端固定，另一端铰支。梁长为2l，固支端的截面尽寸为b×1.6h，铰支端的截面尺寸为b×h。梁上作用均布载荷p0。求梁端的约束反力。xy离散化将梁划分成2个单元，3个结点。每个单元长度为,截面取平均截面。单元刚度矩阵ij1223对号入座，组合整体刚度矩阵123荷载等效结点力向量约束反力向量123总荷载向量引入边界条件将整体平衡方程中对应的1、2、5行和总刚中1、2、5列删去，得解方程组，得结点位移值将结点位移值代入整体平衡方程，可得约束反力3.4梁的有限元分析3.4.7应用实例12312kN/m1m1m3.5刚架的有限元分析3.5.1平面刚架

对于小变形问题，可以认为轴向变形和弯曲变形互不影响，因此，位移模式和形函数可以分别按一维拉压杆单元和弯剪平面梁单元的结果相互独立的两种变形形式轴向拉压面内弯曲因此：刚架单元＝杆单元＋梁单元局部坐标系:oxyz3.5刚架的有限元分析3.5.1平面刚架两个坐标系：局部坐标系整体坐标系3.5.2平面刚架单元（单元描述：局部坐标系下）节点位移轴向位移横向位移绕z轴的转角节点载荷轴向力剪力弯矩3.5刚架的有限元分析ijxyijxy2356l14F2F3F5F6lF1F4（1）单元节点位移和单元节点荷载①单元节点位移②单元节点荷载刚架的有限元分析因此，局部坐标系下：单元节点位移列阵：单元节点载荷列阵：3.5.2平面刚架单元（单元描述：局部坐标系下）3.5刚架的有限元分析3.5.3单元刚度矩阵(局部坐标系下)3形函数式中形函数[N]为：其中,单元分析：局部坐标系整体分析：整体坐标系因此，需要进行坐标转换。3.5刚架的有限元分析

由于1

、2

、4、5的性质和平面铰接杆相同，因而有相