C数学建模与误差分析

化工数学高海丽福建农林大学材料工程学院Email:haili_gao@课程特点以数学方法为主；低起点，大跨度；着重内容的实用性和先进性课程考核方式本课程为考试课，考试形式为闭卷。评分标准（满分：100分）,平时成绩占50%，（作业：30分，课堂表现：20分）授课教材及主要参考书：教材：《化工数学》，周爱月，化学工业出版社，2011年9月，第三版。参考书1：《计算物理学讲义》，刘金远，大连理工大学物理与光电工程学院参考书2：《化工数学》，宋怀俊，郑州大学出版社，2006年。参考书3：《AnIntroductiontoComputationalPhysics》,TaoPang，世界图书出版社（影印版），2006年，第二版。参考书4：《计算物理学》，顾昌鑫主编，复旦大学出版社，2009年。参考书5：《高等工程数学》课件，赵彤，中科院研究生院。课程介绍目录第一章数学建模与误差分析第二章方程的数值解法*第三章数据处理*第四章常微分方程数值解法*第五章偏微分方程数值解法*第六章蒙特卡洛方法第一章数学建模与误差分析

1.1化工数学概论

1.1.1数学模型1.1.2数学建模及其重要意义1.1.3化工问题的数学描述1.1.4计算机编程语言1.2数值方法与误差分析*

1.2.1数值方法与算法稳定性

1.2.2误差定义

1.2.3误差的种类及其来源1.2.4数值计算应注意的问题第一章数学建模与误差分析

1.1化工数学概论

1.1.1数学模型1.1.2数学建模及其重要意义1.1.3化工问题的数学描述1.1.4计算机编程语言1.2数值方法与误差分析*

1.2.1数值方法与算法稳定性1.2.2误差定义

1.2.3误差的种类及其来源

1.2.4数值计算应注意的问题1.1化工数学概论1.1.1数学模型数学教学及学习中有两种能力—“算数学”（计算、推导、证明，…）与“用数学”（实际问题建模及模型结果的分析、检验、应用）的培养应该并重1.1化工数学概论1.1.1数学模型过去让同学们用数学工具解决实际问题的困难（手工计算，高级语言编程，…）。计算机强大的运算、图形功能和方便的数学软件，使学生可以自由地选择算法和软件，在屏幕上通过数值的、几何的观察、联想、类比，去发现线索，探讨规律。1.1化工数学概论1.1.1数学模型

1.1化工数学概论1.1.1数学模型1.1化工数学概论1.1.1数学模型1.1化工数学概论1.1.1数学模型1.1化工数学概论1.1.1数学模型你需要——数学模型华罗庚先生曾说“宇宙之大，粒子之微，火箭之速，化工之巧，地球之变，生物之谜，日用之繁……无一不可用数学来表达。”1.1化工数学概论1.1.1数学模型1.《星际争霸》“农民采集饱和度建模”，赣南师范学院，数学与计算机科学学院，08数本2班341000。2.《星际争霸》中的运筹学应用。1.1化工数学概论1.1.1数学模型1.1化工数学概论1.1.1数学模型此原理对男生有着重要的指导意义：强大的爱情攻势有事不一定能达到

满意的效果，反而不利与学业的成长；有时通过慢慢接触，慢慢了解，再加上

适当的追求行动，女生的疏远度就会慢慢降低。学习成绩也不会降低！！！！！！！！1.1化工数学概论1.1.1数学模型1.1化工数学概论1.1.1数学模型1.1化工数学概论1.1.1数学模型1.1化工数学概论1.1.1数学模型数学建模和最优化的案例就在咱们周围不去了解和利用数学技术解决身边的问题，实在可惜！1.1化工数学概论1.1.1数学模型需要事先说明的问题（丑话说在前面）：（1）数学模型是一种定量分析问题的工具，数学建模有一定的艺术性，否则问题的分析会变糟（2）定性分析是定量分析的基础（3）定量分析是定性分析的支持（4）从数学模型中求解出来的最终答案，仅仅是为实际问题的系统处理提供了有用的可以作为决策基础的信息。1.1化工数学概论1.1.1数学模型需要事先说明的问题：（课程定位）数学建模不是一朝一夕的事情，在做这件事情之前需要有一定的数学基础。本课程将会向大家介绍这些数学基础，为将来数学建模做准备数学建模过程现实世界现实问题的信息现实问题的解答数学模型的解答数学模型数学世界表述解释验证求解

？实践实践理论求解方法数值法演绎法数值解解析解1.1化工数学概论1.1.2数学建模过程及其重要意义数学建模的一般步骤模型准备模型假设模型构成模型检验模型分析模型求解模型应用模型准备模型假设形成一个比较清晰的数学问题在合理与简化之间作出折中了解实际背景明确建模目的搜集有关信息掌握对象特征针对问题特点和建模目的作出合理的、简化的假设1.1化工数学概论1.1.2数学建模过程及其重要意义实际问题确保模型的合理性、适用性与实际现象、数据比较模型应用模型检验模型分析模型求解模型构成用数学的语言、符号描述问题尽量使用简单的数学工具各种数学方法、软件和计算机技术如：结果的误差分析、统计分析、模型对数据的稳定性分析1.1化工数学概论1.1.2数学建模过程及其重要意义数学建模的意义作为用数学方法解决实际问题的第一步，数学建模自然有着与数学同样悠久的历史。进入20世纪以来，随着数学以空前的广度和深度向一切领域渗透，以及计算机的出现和飞速发展，数学建模越来越受到人们的重视，数学建模在现实世界中有着重要意义。（1）在一般工程技术领域，数学建模仍然大有用武之地（2）在高新技术领域，数学建模几乎是必不可少的工具。（3）数学迅速进入一些新领域，为数学建模开拓了许多新的领域。

美国科学院一位院士总结了将数学转化为生产力过程中的成功和失败，得出了“数学是一种关键的、普遍的、可以应用的技术”的结论，认为数学“由研究到工业领域的技术转化，对加强经济竞争力是有重要意义”，因而“计算和建模重新成为中心课题，它们是数学科学技术转化的主要途径”。1.1化工数学概论1.1.2数学建模过程及其重要意义1.1化工数学概论1.1.3化工问题的数学描述化学工程的基本研究对象是工业装置的各类传递现象（动量传递、质量传递、能量传递）和化学反应过程。早期的化学工程研究主要采用试验方法，通过量纲分析和相似理论，将实验室研究的结果外推到工业化。对于化学反应过程，试验模型与工业原型之间一般难以满足近似条件，致使相似放大的方法往往失败。随着计算机技术的发展，产生了过程系统工程这一学科，以高度的模型化和数学化为其特征，在过程的模拟和系统的综合方面发展出一系列有效的数学方法。1.1化工数学概论1.1.3化工问题的数学描述化工中的一般问题含有多个组分的两相或多相物质在某个给定的工程体系之中相互接触，在一定条件下，每种组分可能发生相转变，并伴随着热效应；也可能发生放热或吸热的化学反应。给定初始条件，要求确定系统在规定点的状态（在一定的接触时间以后），或者达到一定状态装置的尺寸大小。1.1化工数学概论1.1.3化工问题的数学描述(一）为了描述这种一般系统，通常要用到下述四种类型的关系（1）物料平衡：对每种组分有着不同的物料平衡关系；如果存在化学反应，还要使用相应的化学计量关系式。它所依据的是质量守恒定律。（2）能量平衡：热力学第一定律表明系统内能的变化，等于加进系统内的热量与系统对外界所做功之差，即△U=Q-W。如果没有热量加进系统，系统对外也没有做功，则热力学第一定律可简化为焓平衡。1.1化工数学概论1.1.3化工问题的数学描述（3）速率方程：当考虑时间因素时，就要应用速率方程，它包括传递速率和反应速率，例如各种相界面间的质量传递，发生在不同相中的单个的化学反应等。（4）平衡关系：平衡状态是指系统的压力、温度和浓度等不随时间而变化的状态。在多相系统中要考虑到从一相到另一相的传递净速率问题，平衡一般发生在相间的边界界面上。二、大多数化学与化工问题可以用微分方程进行数学描述，一般步骤是：（1）画出示意图，列出所给数据；（2）确定自变量和因变量：通常可独立选择用来描述系统变化的量称为自变量，而当自变量变化时，反映体系某些性质的随之变化的量称为因变量。自变量和因变量是由不同的问题所决定的。对于非稳态问题，时间一般选做自变量；（3）写出系统规定的自变量及其对应的因变量的数值，这就是所谓的边界条件或初始条件；（4）选用前述的四种关系式，列出问题的数学模型或方程式，其中要注意简化问题时所采取的假设和近似的合理性；（5）求解数学模型，获得合乎逻辑的解。1.1化工数学概论1.1.3化工问题的数学描述1.1化工数学概论1.1.3化工问题的数学描述

1.1化工数学概论1.1.3化工问题的数学描述反应级数二、浓度与反应速率基元反应：反应物通过一步反应变成生成物；非基元反应：反应物通过多步，才能转变成生成物。质量作用定律：基元反应速率与浓度的相互关系。

1.1化工数学概论1.1.3化工问题的数学描述三、反应级数一级反应：如：如：零级反应：酶的催化反应，光敏反应往往也是零级反应。1.1化工数学概论1.1.3化工问题的数学描述二级反应：三级反应：如：如：

1.1化工数学概论1.1.3化工问题的数学描述1.1化工数学概论1.1.3化工问题的数学描述催化作用：改变反应的自由能，不能改变反应方向。1.1化工数学概论1.1.3化工问题的数学描述1.1化工数学概论1.1.3化工问题的数学描述1.1化工数学概论1.1.3化工问题的数学描述1.1化工数学概论1.1.3化工问题的数学描述例：气凝胶热导率的数值模拟

Two-dimensionalEnergyEquationwhere,Hisinternalheatgeneration.2.1X10-4mm1.3X10-4mmHotair:800CColdair:200CSolidclayAirCalculatedthermalconductivity:0.06495(W/Km)Testedthermalconductivity:0.04397(W/Km)1.1化工数学概论1.1.3化工问题的数学描述1.1化工数学概论1.1.4计算机编程语言工程数学是以计算方法为基础，计算机为工具来解决工程问题。使用计算机室通过计算机编程语言实现的。工程数学常用的计算机编程语言是：Fortran语言，C，C++语言等。这些年来MATLAB软件使用的愈来愈广泛。下面简单介绍一下Fortran语言和MATLAB软件。

Fortran语言是世界上广泛流行的、最适于数值计算的一种计算机语言，是世界上最早出现的高级程序设计语言。从1954年第一个Fortran语言版本问世至今，经过多年在各个领域，特别是在科学工程计算领域，积累了大量成熟可靠的Fortran语言代码。

现在常用的

Fortran语言的编译版本是

CompaqVisualFortran6.5等，有

IMSL数学和统计库可供直接调用，为开发和处理大型复杂计算提供了便利的手段。MATLAB

语言是当今国际上科学界最具影响力、也是最有活力的软件。它起源于矩阵运算，并已经发展成一种高度集成的计算机语言。它提供了强大的科学运算、灵活的程序设计流程、高质量的图形可视化与界面设计、便捷的与其他程序和语言接口的功能。MATLAB语言在各国高校与研究单位起着重大的作用。

MATLAB语言由美国TheMathWorks开发，2003年推出了其全新的MATLAB6.5.1正式版。目前MATLAB每年都有最新版本推出。1.1化工数学概论1.1.4计算机编程语言第一章数学建模与误差分析

1.1化工数学概论

1.1.1数学模型1.1.2数学建模及其重要意义1.1.3化工问题的数学描述1.1.4计算机编程语言1.2数值方法与误差分析*

1.2.1数值方法与算法稳定性

1.2.2误差定义

1.2.3误差的种类及其来源

1.2.4数值计算应注意的问题

数值方法已成为科学研究的第三种基本手段。所谓数值方法，是指将欲求解的数学模型（数学问题）简化成一系列算术运算和逻辑运算，以便在计算机上求出问题的数值解，并对算法的收敛性和误差进行分析、计算。这里所说的“算法”，不只是单纯的数学公式，而且是指由基本的运算和运算顺序的规定所组成的整个解题方案和步骤。一般可以通过框图（流程图）来直观地描述算法的全貌。

选定适合的算法是整个数值计算中非常重要的一环，例如，当计算多项式

1.2数值方法与误差分析1.2.1数值方法与算法稳定性

1.2数值方法与误差分析1.2.1数值方法与算法稳定性

1.2数值方法与误差分析1.2.1数值方法与算法稳定性

表数值方法与误差分析1.2.1数值方法与算法稳定性

由表1.2.1可见，按不同算式和近似值计算出的结果各不相同，有的甚至出现了负值，这真是差之毫厘，谬以千里。可见近似值和算法的选定对计算结果的精确度影响很大。因此，在研究算法的同时，还必须正确掌握误差的基本概念、误差在数值运算中的传播规律、误差分析的基本方法和算法的数值稳定性。否则，一个合理的算法也可能会得出一个错误的结果。

衡量一个算法的好坏时，计算时间的多少是非常重要的一个标志。由于实际的执行时间依赖于计算机的性能，因此所谓算法所花时间是用它执行的所有基本运算的总次数来衡量的。这样时间与运算的次数直接联系起来了。当然，即使用一个算法计算同一类型的问题时，由于各问题的数据不同，计算快慢也会不同，一般是用最坏情况下所花的时间来作讨论。什么叫做误差？误差的种类有哪些？1.2数值方法与误差分析1.2.1数值方法与算法稳定性基本定义：1.误差误差是近似值与准确值之差，即：式中：表示误差；表示准确值，又称精确值、真值；表示近似值。

1.2数值方法与误差分析1.2.2误差定义

1.2数值方法与误差分析1.2.2误差定义

1.2数值方法与误差分析1.2.2误差定义

按四舍五入取得的近似数都是有效数字。1.2数值方法与误差分析1.2.2误差定义

1.2数值方法与误差分析1.2.2误差定义

关于有效数字，有如下几点结论：1.2数值方法与误差分析1.2.2误差定义数值计算过程中会出现各种误差，可分为两大类：1.2数值方法与误差分析1.2.3误差的种类及其来源1.2数值方法与误差分析1.2.3误差的种类及其来源1模型误差在建模过程中，欲将复杂的物理现象抽象、归纳为数学模型，往往只得忽略一些次要因素的影响，而对问题作某些必要的简化。这样建立起来的数学模型实际上必定只是所研究的复杂客观现象的一种近似的描述，它与真正客观存在的实际问题之间有一定的差别，这种误差称为“模型误差”。2观测误差在建模和具体运算过程中所用到的一些初始数据往往都是通过人们实际观察、测量得来的，由于受到所用观测仪器、设备精度的限制，这些测得的数据都只能是近似的，即存在着误差，这种误差称为“观测误差”或“初值误差”。3截断误差在不少数值运算中常遇到超越计算，如微分、积分和无穷级数求和等，它们需用极限或无穷过程来求得。然而计算机却只能完成有限次算术运算和逻辑运算，因此需将解题过程化为一系列有限的算术运算和逻辑运算。这样就要对某种无穷过程进行“截断”，即仅保留无穷过程的前段有限序列而舍弃它的后段。这就带来了误差，称它为“截断误差”或“方法误差”。1.2数值方法与误差分析1.2.3误差的种类及其来源

1.2数值方法与误差分析1.2.3误差的种类及其来源4舍入误差