第10章 压杆的稳定性分析与稳定设计

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刚体的平衡位形和弹性体的平衡构形都存在稳定与不稳定问题。本章首先介绍关于弹性体平衡构形稳定性的基本概念，包括：平衡构形、平衡构形的分叉、分叉点、屈曲以及弹性平衡稳定性的静力学判别准则。然后根据微弯的屈曲平衡构形，由平衡条件和小挠度微分方程以及端部约束条件，确定不同刚性支承条件下弹性压杆的临界力。最后，本章还将介绍工程中常用的压杆稳定设计方法—安全因数法。最后，本章还将介绍工程中常用的压杆稳定设计方法—安全因数法。图示刚性杆AD在B、E两处由弹簧刚度为k的两根弹簧所支承，并在FP力作用下保持水平平衡位置。试求系统的临界载荷FPcr。（提示：假定AB杆在微小倾角时保持平衡。）第1类习题确定平衡稳定的临界力aFPcrFPcrlθFPcrFPcrFBFE解：当载荷达临界值时，刚性杆将在微小位移下保持平衡。这时，一端弹簧伸长，另一端弹簧压缩。

由平衡条件：其中图示刚性杆AD在B、E两处由弹簧刚度为k的两根弹簧所支承，并在FP力作用下保持水平平衡位置。试求系统的临界载荷FPcr。（提示：假定AB杆在微小倾角时保持平衡。）第1类习题确定平衡稳定的临界力

已知l=3m，直径d=20mm，柱子轴线之间的间距a=60mm。柱子的材料均为Q235钢，E=200GPa，柱子所受载荷FP的作用线与两柱子等间距，并作用在两柱子所在的平面内。假设各种情形下欧拉公式均适用。

试求：结构的临界载荷。图示结构中两根柱子下端固定，上端与一可活动的刚性块固结在一起。第2类习题确定压杆的临界力xyOFP几种可能的屈曲形式第1种屈曲形式两杆分别失稳，杆的两端都是固定端约束μ=0.5单根杆的临界载荷为结构的临界载荷为图示结构中两根柱子下端固定，上端与一可活动的刚性块固结在一起。第2类习题确定压杆的临界力FP第1种屈曲形式两杆整体绕y轴屈曲，这时杆的上端相当于自由端，下端为固定端，μ=2.0结构的临界载荷为第2种屈曲形式xzO几种可能的屈曲形式图示结构中两根柱子下端固定，上端与一可活动的刚性块固结在一起。第2类习题确定压杆的临界力FP第1种屈曲形式两杆整体绕y轴屈曲，这时杆的上端相当于可以水平移动的固定端，下端为固定端，屈曲波形为1个正弦半波。μ=1.0结构的临界载荷为第2种屈曲形式xzO几种可能的屈曲形式图示结构中两根柱子下端固定，上端与一可活动的刚性块固结在一起。第2类习题确定压杆的临界力第3种屈曲形式xyOFP第1种屈曲形式两杆整体绕z

轴屈曲，这时杆的上端相当于自由端，下端为固定端，μ=2.0第2种屈曲形式第3种屈曲形式这时欧拉公式中的惯性矩应为两根杆的横截面对于z轴的惯性矩。几种可能的屈曲形式图示结构中两根柱子下端固定，上端与一可活动的刚性块固结在一起。第2类习题确定压杆的临界力第4种屈曲形式xyOFP第1种屈曲形式两杆在xy平面内绕z

方向、绕各自的形心主轴屈曲，两端均作为固定端，其屈曲波形为1个正弦半波，μ=1.0第2种屈曲形式第3种屈曲形式几种可能的屈曲形式图示结构中两根柱子下端固定，上端与一可活动的刚性块固结在一起。第2类习题确定压杆的临界力第4种屈曲形式第5种屈曲形式第1种屈曲形式第2种屈曲形式结构的临界载荷图示结构中两根柱子下端固定，上端与一可活动的刚性块固结在一起。第2类习题确定压杆的临界力第3种屈曲形式第4种屈曲形式第5种屈曲形式结构的临界载荷图示结构中两根柱子下端固定，上端与一可活动的刚性块固结在一起。第2类习题确定压杆的临界力图示长l=150mm、直径d=6mm的40Cr钢制微型圆轴，在温度为t1=－60℃时安装，这时，轴既不能沿轴向移动，又不承受轴向载荷；温度升高时轴和架身将同时因热膨胀而伸长，轴材料线膨胀数α1＝1.25×10－5/℃，架身材料的线膨胀系数α2＝7.5×10－6/℃。40Cr钢的σs=600MPa，E=210GPa。若规定轴的稳定工作安全因数［n］st=2.0，且忽略架身因受力而引起的微小变形，试校核当温度升高到t2=60℃时，该轴是否安全。第3类习题校核压杆的稳定性ball-socketjointRollerbearingframeworkshaftscrew解：1.计算轴的受力：变形谐调方程为：图示长l=150mm、直径d=6mm的40Cr钢制微型圆轴，在温度为t1=－60℃时安装，这时，轴既不能沿轴向移动，又不承受轴向载荷；温度升高时轴和架身将同时因热膨胀而伸长，轴材料线膨胀数α1＝1.25×10－5/℃，架身材料的线膨胀系数α2＝7.5×10－6/℃。40Cr钢的σs=600MPa，E=210GPa。若规定轴的稳定工作安全因数［n］st=2.0，且忽略架身因受力而引起的微小变形，试校核当温度升高到t2=60℃时，该轴是否安全。第3类习题校核压杆的稳定性ball-socketjointRollerbearingframeworkshaftscrewFNFN温升时，由于α1>α2使轴受压力FN。该力无法由平衡方程求得，所以需要借助于变形协调条件图示长l=150mm、直径d=6mm的40Cr钢制微型圆轴，在温度为t1=－60℃时安装，这时，轴既不能沿轴向移动，又不承受轴向载荷；温度升高时轴和架身将同时因热膨胀而伸长，轴材料线膨胀数α1＝1.25×10－5/℃，架身材料的线膨胀系数α2＝7.5×10－6/℃。40Cr钢的σp=300MPa，E=210GPa。若规定轴的稳定工作安全因数［n］st=2.0，且忽略架身因受力而引起的微小变形，试校核当温度升高到t2=60℃时，该轴是否安全。解：1.计算轴的受力：变形谐调方程为：由此解出：第3类习题校核压杆的稳定性ball-socketjointRollerbearingframeworkshaftscrewFNFN2.计算轴的柔度，判断压杆类型属细长杆

属细长杆

轴属于细长杆

图示长l=150mm、直径d=6mm的40Cr钢制微型圆轴，在温度为t1=－60℃时安装，这时，轴既不能沿轴向移动，又不承受轴向载荷；温度升高时轴和架身将同时因热膨胀而伸长，轴材料线膨胀数α1＝1.25×10－5/℃，架身材料的线膨胀系数α2＝7.5×10－6/℃。40Cr钢的σp=300MPa，E=210GPa。若规定轴的稳定工作安全因数［n］st=2.0，且忽略架身因受力而引起的微小变形，试校核当温度升高到t2=60℃时，该轴是否安全。第3类习题校核压杆的稳定性ball-socketjointRollerbearingframeworkshaftscrewFNFN3.校核压杆的稳定性轴属于细长杆结论：轴的稳定性不安全。ball-socketjointRollerbearingframeworkshaftscrewFNFN

图示长l=150mm、直径d=6mm的40Cr钢制微型圆轴，在温度为t1=－60℃时安装，这时，轴既不能沿轴向移动，又不承受轴向载荷；温度升高时轴和架身将同时因热膨胀而伸长，轴材料线膨胀数α1＝1.25×10－5/℃，架身材料的线膨胀系数α2＝7.5×10－6/℃。40Cr钢的σp=300MPa，E=210GPa。若规定轴的稳定工作安全因数［n］st=2.0，且忽略架身因受力而引起的微小变形，试校核当温度升高到t2=60℃时，该轴是否安全。第3类习题校核压杆的稳定性图示结构中AB为圆截面杆，直径d=80mm，杆BC为正方形截面，边长a=70mm，两杆材料均为Q235钢，E=200GPa，两部分可以各自独立发生屈曲而互不影响。已知A端固定，B、C为球铰，l=3m，稳定安全因数［n］st=2.5。试求此结构的许可载荷［FP］。第4类习题确定压杆的许可载荷解：这一结构中的两根杆都是压杆

，二者独立发生屈曲。F´P＝F"P＝FP

图示结构中AB为圆截面杆，直径d=80mm，杆BC为正方形截面，边长a=70mm，两杆材料均为Q235钢，E=200GPa，两部分可以各自独立发生屈曲而互不影响。已知A端固定，B、C为球铰，l=3m，稳定安全因数［n］st=2.5。试求此结构的许可载荷［FP］。第4类习题确定压杆的许可载荷F´PF"P图示结构中AB为圆截面杆，直径d=80mm，杆BC为正方形截面，边长a=70mm，两杆材料均为Q235钢，E=200GPa，两部分可以各自独立发生屈曲而互不影响。已知A端固定，B、C为球铰，l=3m，稳定安全因数［n］st=2.5。试求此结构的许可载荷［FP］。第4类习题确定压杆的许可载荷F´PF"P解：1.计算两根杆的柔度AB杆：一端固定、另一端铰链约束，BC杆：两端均为铰链约束，F´PF"P两杆材料相同，柔度大的压杆容易屈曲，所以AB杆将先于BC杆失稳。于是，结构的临界力为：图示结构中AB为圆截面杆，直径d=80mm，杆BC为正方形截面，边长a=70mm，两杆材料均为Q235钢，E=200GPa，两部分可以各自独立发生屈曲而互不影响。已知A端固定，B、C为球铰，l=3m，稳定安全因数［n］st=2.5。试求此结构的许可载荷［FP］。第4类习题确定压杆的许可载荷AB杆：BC杆：2.计算临界载荷图示结构中AB为圆截面杆，直径d=80mm，杆BC为正方形截面，边长a=70mm，两杆材料均为Q235钢，E=200GPa，两部分可以各自独立发生屈曲而互不影响。已知A端固定，B、C为球铰，l=3m，稳定安全因数［n］st=2.5。试求此结构的许可载荷［FP］。第4类习题确定压杆的许可载荷3.确定许可载荷应用稳定性设计准则F´PF"P图示梁及柱的材料均为Q235钢，E=200GPa，σs=240MPa，均布载荷q=24kN/m，竖杆为两根63×63×5等边角钢（连结成一整体）。试确定梁及柱的工作安全因数。第5类习题稳定与静不定的综合问题（1）图示梁及柱的材料均为Q235钢，E=200GPa，σs=240MPa，均布载荷q=24kN/m，竖杆为两根63×63×5等边角钢（连结成一整体）。试确定梁及柱的工作安全因数。第5类习题稳定与静不定的综合问题（1）FRCF'RCFRC=F'RC解：

1．首先求解静不定问题。因为AB为静不定梁，所以需要解除C处的多余约束，代之以FRC。解：

由变形谐调条件，有：物性关系：对于CD柱，承受轴向压缩，其变形量为对于AB梁，由型钢表查得，均布载荷q和约束力FRC作用下，梁中点C处的挠度为图示梁及柱的材料均为Q235钢，E=200GPa，σs=240MPa，均布载荷q=24kN/m，竖杆为两根63×63×5等边角钢（连结成一整体）。试确定梁及柱的工作安全因数。第5类习题稳定与静不定的综合问题（1）解：

1．首先求解静不定问题。

图示梁及柱的材料均为Q235钢，E=200GPa，σs=240MPa，均布载荷q=24kN/m，竖杆为两根63×63×5等边角钢（连结成一整体）。试确定梁及柱的工作安全因数。第5类习题稳定与静不定的综合问题（1）由型钢表查得工字钢和角钢的几何性质

图示梁及柱的材料均为Q235钢，E=200GPa，σs=240MPa，均布载荷q=24kN/m，竖杆为两根63×63×5等边角钢（连结成一整体）。试确定梁及柱的工作安全因数。第5类习题稳定与静不定的综合问题（1）No.16a工字钢：Iz=1130cm4，Wz=141cm3

2No.63×63×5角钢：iy=1.94cm,解：

1．首先求解静不定问题

图示梁及柱的材料均为Q235钢，E=200GPa，σs=240MPa，均布载荷q=24kN/m，竖杆为两根63×63×5等边角钢（连结成一整体）。试确定梁及柱的工作安全因数。第5类习题稳定与静不定的综合问题(1)解：

2．确定梁的强度安全因数图示梁及柱的材料均为Q235钢，E=200GPa，σs=240MPa，均布载荷q=24kN/m，竖杆为两根63×63×5等边角钢（连结成一整体）。试确定梁及柱的工作安全因数。第5类习题稳定与静不定的综合问题(1)FRCFAFB解：

2．确定梁的强度安全因数由画出弯矩图梁内最大弯矩在C处图示梁及柱的材料均为Q235钢，E=200GPa，σs=240MPa，均布载荷q=24kN/m，竖杆为两根63×63×5等边角钢（连结成一整体）。试确定梁及柱的工作安全因数。第5类习题稳定与静不定的综合问题(1)xx=0.767mFRCFAFBxMacMCdMDbeME解：

2．确定梁的强度安全因数梁内最大弯矩在C处No.16a工字钢：

Iz=1130cm4，Wz=141cm3

图示梁及柱的材料均为Q235钢，E=200GPa，σs=240MPa，均布载荷q=24kN/m，竖杆为两根63×63×5等边角钢（连结成一整体）。试确定梁及柱的工作安全因数。第5类习题稳定与静不定的综合问题(1)xFRCFAFBxMacMCdMDbeME解：

3．确定柱的稳定安全因数柱的临界应力柱的柔度柱的工作应力图示梁及柱的材料均为Q235钢，E=200GPa，σs=240MPa，均布载荷q=24kN/m，竖杆为两根63×63×5等边角钢（连结成一整体）。试确定梁及柱的工作安全因数。第5类习题稳定与静不定的综合问题(1)2No.63×63×5角钢：iy=1.94cm,F'RC柱的临界应力

图示梁及柱的材料均为Q235钢，E=200GPa，σs=240MPa，均布载荷q=24kN/m，竖杆为两根63×63×5等边角钢（连结成一整体）。试确定梁及柱的工作安全因数。

第5类习题稳定与静不定的综