量子力学2 波函数-5qz

§1.8

势垒贯穿1一维束缚态总结

无限深势阱

线性谐振子波函数的自然条件有限单值连续。

束缚态波函数可以取实数。束缚态能量取分立值。两端固定，2量子力学中有另一个情况时波函数没有时的限制。粒子的能量连续。是粒子在势场中的散射过程。0aV在这种问题中粒子能量是预先确定的。3考虑在一维势场中运动的粒子。这种势场称为势垒0aV问题：粒子从x<0的地方入射，求解整个空间中粒子的运动规律。4经典力学A)粒子的能量，才能运动到图中x>a

的地方。B)粒子能量，粒子将弹回去。量子力学A)粒子的能量，粒子的运动状态？B)粒子能量，粒子运动状态？5首先讨论的情况系统的定态薛定谔方程为：区域Ⅰ和Ⅲ0aVⅠⅡⅢ区域Ⅱ

为简便起见,设6方程利用写为方程的解为:区域Ⅰ区域Ⅱ区域Ⅲ7向右传播向左传播×在区域Ⅲ()没有向左传播的波,因此

.其中为复系数,由波函数的连续性条件确定.8波函数和它的一阶导数连续.1.处2.处9求解方程组，将透射波的振幅和反射波的振幅用入射波振幅表示为10现在计算入射波，反射波，和透射波的几率流密度，几率流密度公式为①入射波几率几率流密度11②

反射波几率几率流密度③

透射波几率几率流密度12透射系数：透射波几率流密度/入射波几率流密度反射系数：反射波几率流密度/入射波几率流密度13讨论（2）由公式看出当时，仍有一定几率流被反射但当时，D＝1，即完全透射过去。这种现象称为共振透射（仅在条件下发生）这时（1）即几率流密度矢连续。当时，仍有一定几率流透射过去；入射波一部分贯穿到区域Ⅲ中，而另一部分被反射掉了。14讨论ⅠⅡⅢ三个区域中的波函数势垒的共振透射15现在讨论的情况定态薛定谔方程为：区域Ⅰ和Ⅲ区域Ⅱ

令16这时透射波振幅可以通过替代得到替代后17而透射系数为讨论（1）这时透射系数简化为18因为和同数量级，时，这样透射系数可以简化为其中。（1）势垒宽度（2）势垒高度在非相对论情况下,粒子不可能穿透无限高势垒。19数值计算通过计算一个粒子了解势垒贯穿的数量级。a（）1.02.05.010.0D0.11.2×10-21.7×10-53.0×10-10考虑电子的隧穿对不同的势垒宽度透射系数20讨论经典图象:眼前无路好回头量子图象:眼前无路穿着走（1）经典：不能翻墙而过。（）经典禁区。

（2）有一定几率穿透势垒。时的势垒贯穿现象称为隧道效应，（tunneleffect）

这是微观粒子的波动性引起的。这个现象在经典物理中是无法理解的，垒中动能是负值，但是公式在量子力学中不成立。因为在某一位置说粒子的动能是没有意义的。就像对于一个波讨论位置x

处的波长是没有意义一样。210任意势垒的隧穿将势垒分割成很多宽度为的方势垒，每个势垒的透射系数为势垒的透射系数为各个方势垒透射系数的乘积22隧道效应的应用（1）解释了衰变（2）固体的冷电子发射（3）近代半导体器件（隧道二极管）（4）扫描隧道显微镜

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1962年,Josephson发现了Josephson节。将两块超导体用一绝缘层隔开,如果绝缘层较厚,电流则不易通过绝缘层。但如果绝缘层够薄，则超导体中的也库珀电子对按一定几率穿透绝缘层形成电流。Josephson节是宏观量子隧道效应的一个典型例子量子力学提出后，Gamow

首先用势垒穿透成功的说明了放射性元素的α衰变现象。隧道效应在固体物理学中得到广泛的应用，它已经用来制造一些不同种类的电子器件。

扫描隧道显微镜就是利用穿透势垒的电流对于金属探针尖端同待测物体表面的距离很敏感的关系，可以探测到

量级高低起伏的样品表面的“地形图”24扫描隧道显微镜比尼格(1947～)

罗雷尔(1933～)

德国物理学家

瑞士物理学家

1981年比尼格和罗雷尔利用电子的隧道效应制成了扫描遂穿显微