西安科技大学 研究生 数值分析课件

1绪论本章主要内容：

1.1数值方法的必要性

1.2误差与有效数字

1.3数值计算的若干原则

1.4算法及数值稳定性重点：误差难点：有效数字、稳定性1.1

数值方法的必要性某些数学问题目前在数学上还没有求解方法。如一元高次多项式方程，一元超越方程。有些数学问题在理论上有解决方法，但实际中并不可用，如大规模线性方程组。有些数学问题在实践中有解决的方法，但仍需要对算法进行分析(误差分析)，如求定积分的例子。

1.1

数值方法的必要性数值分析是通过构造数值算法，并用高性能（速度快、精度高、存储容量大）的计算工具（电子计算机）来求解给定数学问题（模型）的数值解。并不过分关心问题的数学解法及精确解。

高性能的计算工具仅是求解给定问题数值解的物质基础。通过对给定问题的进行分析，按照一定的思想，制定出求解问题的算法才是数值分析的主要工作，它包括对算法的构造，对算法收敛性、稳定性及时间和空间复杂性的分析等。

1.1

数值方法的必要性结合计算机的特点，迭代算法是构造数值算法的最基本的方法，离散化是构造数值算法的最常用的手段。数值算法有以下几个特点：理论上的精确运算与实际运算之间存在差异理论上的解题方案与实际能用性之间存在着差异精确解法与近似解法往往没有本质区别1.2

误差与有效数字1.2.1误差的来源与分类通常，解决一个实际问题需经过以下几个步骤。实际问题数学模型计算结果数值算法分析、假设抽象、量化构造数值计算方法编程、输入计算、分析在以上环节中，不可避免的存在着误差，分为以下几种：模型误差：从实际问题中抽象出数学模型时导致的误差；观测误差：数学模型中的参数值在观测时所导致的误差；方法误差：针对数学模型构造算法时所导致的误差；舍入误差：在用计算机进行数值计算时由于计算机字长的限制所导致的误差或由于计算次序所导致的误差。1.2误差与有效数字1.2.1误差的来源与分类方法误差又称截断误差或余项。舍入误差的积累可能对计算结果造成很大影响。在数值分析课程中我们不讨论数学模型本身的模型误差和观测误差，只研究为求解数学模型而产生的方法误差和舍入误差。针对不同的数值方法，误差估计的侧重点也不同，有些数值方法主要讨论方法误差，如数值积分/微分、函数插值/逼近等；有些数值方法主要讨论舍入误差及观测误差(输入数据的误差)，如线性方程组求解。两个例子1.2

误差与有效数字1.2.2误差的度量1.绝对误差与绝对误差界（限）设x是某个精确值x*的近似值，则称为近似值x的绝对误差，简称误差。如果能找到绝对误差值的一个上界，使得，称是近似值x的绝对误差界，简称误差界。由于误差界不唯一，通常取满足的最小值。例1-1设的近似值及误差界。1.2

误差与有效数字1.2.2误差的度量2.相对误差与相对误差界（限）设x是某个非零精确值x*的近似值，则称为近似值x的相对误差。如果能找到相对误差值的一个上界，使得，称是近似值x的相对误差界。由于精确值往往是未知的，通常令例1-2相对误差（界）的例子。1.2

误差与有效数字1.2.2误差的度量3.有效数字若近似值的绝对误差界是某一数位上的半个单位，则称精确到该位，若从该位到的左起第一位非零数字一共有n位，则称近似值有n位有效数字。从该定义可以看出，通常的“四舍五入”后得到的数字都是有效数字。而精确值被认为有无穷多位有效数字。有效数字还有另一种定义方法。1.2

误差与有效数字1.2.2误差的度量3.有效数字设近似值可写成规格化的形式（1-1）其中，ai是0-9之间的整数，，k为整数。如果（1-2）则称为的具有n位有效数字的近似值。例1-3设1.2

误差与有效数字1.2.2误差的度量3.有效数字这种定义方法实际上给出了有效数字与绝对误差的关系。下面的定理揭示了有效数字与相对误差的关系。定理1-1

设近似值x可写成（1-1）的规格化形式，若x至少有n位有效数字，则x的相对误差满足（1-3）反之，若的相对误差满足

（1-4）则至少有n位有效数字。（证明参[2]p5）例1-4求1/19的近似值的相对误差不超过0.1﹪，应取几位有效数字？

1.2

误差与有效数字1.2.3误差的传播1.函数的误差

例1-5P13习题31.2

误差与有效数字1.2.3误差的传播

2.运算的误差例1-6测得某正方体的边长为20cm，计算其体积的误差界及相对误差界。(用两种方法)1.3数值计算的若干原则1.3.1机器数存放在计算机中的数称为机器数。实数有定点和浮点两种形式表示。实数的机器数是有误差的。范围与误差的大小与机器数的字长有关。随觉运算的深入，误差可能迅速膨胀，这种现象必须得到有效控制；也可能出现大数吃掉小数等现象，必须尽量避免。稳定性1.3数值计算的若干原则1.3.2误差处理的几个原则避免两个相近的数相减。避免绝对值太小的数做除数。防止大数吃掉小数。优化计算步骤，提高计算效率。严格控制递推公式中误差的传播简化计算步骤一些避免相近数相减示例当|x|>>1时当|x|<<1时1.4算法与数值稳定性1.4.1算法及其相关概念算法是为解决一个实际问题采取的确定的、有限的步骤。

算法具有有穷性、确定性、能行性、输入和输出算法的描述自然语言描述流程框图/N-S图描述伪代码/某种计算机语言描述算法复杂性时间复杂性空间复杂性好算法的标准结果正确逻辑清晰、结构良好便于维护、可扩充性强时、空复杂性优良算法的收敛性线性收敛超线性收敛平方收敛算法的分类并行算法与串行算法数值算法与非数值算法1.4算法与数值稳定性1.4.2算法的稳定性与病态数学问题

1算法的稳定性

算法的数值稳定性是指算法对误差的传播（或积累）是否受到控制的问题。如果算法的计算结果对初始数据的误差及计算中的舍入误差不敏感，则称该算法是稳定的；否则该算法是不稳定的。由于误差不可避免，算法的稳定性在数值计算中是不可回避的重要问题。例1-6求定积分的例子（p6）1.4算法与数值稳定性1.4.2算法的稳定性与病态数学问题

2病态数学问题

病态数学问题是指这样的问题，当它的