2024年四川省成都市锦江区中考数学一诊试卷（附答案解析）

2024年四川省成都市锦江区中考数学一诊试卷

一、选择题（32分）

1.（4分）一个几何体如图水平放置，它的左视图是（）

/

正面

2.（4分）下列函数：①孙=1,②丫=白，

的反比例函数的有（）

A.①②③B.②③④C.①③④D.①②④

3.（4分）下列说法正确的是（）

A.对角线互相垂直的四边形是菱形

B.矩形的对角线互相垂直

C.一组对边平行的四边形是平行四边形

D.四边相等的四边形是菱形

4.（4分）如图，ZDAB=Z.CAE,请你再添加一个条件，使得△4DEsA4BC.则下列选

项不成立的是（）

ADAEADDE

c---=——D.—=—

•ABACABBC

5.（4分）我国南宋数学家杨辉所著的《田亩比类乘除算法》中有这样一道题：''直田积八

百六十四步，只云阔不及长一十二步，问阔及长各几步？”意思是：一块矩形田地的面

积为864平方步，只知道它的宽比长少12步，问它的长和宽各多少步？设这块田地的宽

第1页（共32页）

为X步，则所列的方程正确的是（）

B.x+（x+12）=864

D.x（x+12）=864

则位似中心可能是（）

*

D

C.点CD.点。

7.（4分）在同一平面直角坐标系中，反比例函数y=（与一次函数y=依-后的图象可能是

8.（4分）如图所示，。是矩形/BCD的对角线/C的中点，E为4D的中点.若48=6,

BC=8,则△8。£的周长为（）

A.10B.8+2V5C.8+2V13D.14

二、填空题（20分）

9.（4分）已>1.=，=|（6+d+fH0）,求---------------------

10.（4分）为了估计鱼塘中鱼的数量，养鱼者先从鱼塘中捕获50条鱼，在每一条鱼身上做

好标记后把这些鱼放归鱼塘，再从鱼塘中打捞鱼.通过多次实验后发现捕捞的鱼中有作

记号的频率稳定在5%左右，则鱼塘中估计有鱼条.

11.（4分）已知M（xi,〃），N（X2,»）两点都在反比例函数y=F的图象上，且xi>0

>X2,则yiy2.（填“>”“<”或“=”）

12.（4分）如图，数学兴趣小组下午测得一根长为0.8加的竹竿影长是1%同一时刻测量

第2页（共32页）

树高时发现树的影子有一部分落在教学楼的墙壁上，测得留在墙壁上的影高1.2心，地面

上的影长为3机，请你帮算一下，树高是m.

1

13.（4分）如图，设48是已知线段，经过点8作BD±AB,使连接D/,在

D4上截取。在N2上截取/C=/E.已知线段的长为2,则线段3c的长

三、解答题（48分）

14.（8分）我校德育处发现同学们就餐时剩余饭菜较多，浪费严重，于是准备在校内倡导

“光盘行动”，让同学们珍惜粮食，为了让同学们理解这次活动的重要性，德育处在某天

午餐后，随机调查了部分同学这餐饭菜的剩余情况，并将结果统计后绘制成了如图所示

（2）德育处通过数据分析，估计这次被调查的所有学生一餐浪费的食物可以供40人用

一餐.据此估算，我校3500名学生一餐浪费的食物可供多少人食用一餐?

（3）德育处准备在被调查的没有剩的甲、乙、丙、丁四名同学中选两名同学在周一的国

旗下进行倡议“光盘行动”的主题演讲，请用树状图或列表法求选中甲、丙两位同学的

第3页（共32页）

概率.

15.（8分）如图，小明用自制的直角三角形纸板DM测量水平地面上树A8的高度，已知

两直角边跖：DE=2：3,他调整自己的姿势和三角形纸板的位置，使斜边。尸保持水平,

并且边与点8在同一直线上，垂直于地面，测得/M=21s,边。尸离地面的距

离为1.6m,求树高48.

MA

16.（10分）如图，4D是△NBC的角平分线，过点D分别作NC、的平行线，交4B于

点、E,交/C于点尸.

（1）求证：四边形AEDb是菱形.

（2）若FC=4,BE=9,40=10,求四边形4ED厂的边长和面积.

17.（22分）如图，一次函数夕=履+1（左W0）的图象与反比例函数y=（（a40）的图象交

1

于/、3两点.与坐标轴交于C、。两点，连接04、OB,已知tcmN0DC=2，/\AOC

（1）求一次函数和反比例函数的解析式;

第4页（共32页）

（2）P是线段48的中点，直线。尸向上平移6（6>0）个单位长度后，将的面

积分成1：7两部分，求b的值；

（3）我们把只有一组邻边相等，且只有一组对角为直角的四边形，叫作“直角等补形”；

设M为y轴负半轴上一点，N为平面内一点，当四边形儿加是直角等补形时，求点M

的坐标.

一、填空题（20分）

18.（4分）设xi,X2是关于x的方程/+3%-加=0的两个根，且2XI=X2,则加=.

19.（4分）学校联欢会设计了一个“配紫色”游戏：如图是两个可以自由转动的转盘，A

盘被分成面积相等的几个扇形，2盘中蓝色扇形区域所占的圆心角是120。.同学们同时

转动两个转盘，如果其中一个转盘转出了红色，另一个转盘转出了蓝色，那么可以配成

紫色，赢得游戏.若小赵同学同时转动/盘和2盘，她赢得游戏的概率

是.

A盘B盘

20.（4分）如图，在矩形48CD中，AB=4cm,BC=8cm,将矩形纸片折叠，使点/与。C

边的中点重合，则折痕的长度为cm.

AD

BC

21.（4分）如图，反比例函数y=£（x>0）的图象过点4反比例函数y=9的图象与直线

。工交于点2,C,已知03：04=1：3,过点/分别作y轴和x轴的平行线，分别交反

比例函数y=?的图象于点。和£,连接CD交y轴于G,连接CE交x轴于点凡当^

CFG的面积为］时，a+b=.

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22.（4分）如图，在正方形488中，48=4,点E和厂分别为N。、上的动点，且工£

EG、5

=BF,以即为底边在右侧构造等腰△EFG且满足）=—,连接CG,则CG的最小值

EF2

二、解答题（30分）

23.（8分）2023年亚运会在杭州举行，吉祥物莲莲、琼琼、底底”称之为“忆江南组合”.随

着杭州亚运会的开幕，某特许零售店“亚运会吉祥物”的销售日益火爆.据调查“亚运

会吉祥物”每盒进价8元，售价12元.

（1）商店老板计划首月销售330盒，经过首月试销售，老板发现单盒“亚运会吉祥物”

售价每增长1元，月销量就将减20盒.若老板希望“亚运会吉祥物”月销量不低于270

盒，则每盒售价最高为多少元？

（2）实际销售时，售份比（1）中的最高售价减少了2a元，月销量比（1）中最低销量

270盒增加了60。盒，于是月销售利润达到了1650元，求。的值.

24.（10分）如图，在平面直角坐标系中，。为坐标原点，点/在x轴的正半轴上，在第一

象限内以04为边作口。42C,点C在反比例函数y=歹（x>0）的图象上，D是边AB的中

点，点C的横坐标为2.

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3

(i)如图i,若点。的纵坐标为5,求反比例函数的解析式；

(2)如图2,若点。在反比例函数y=/(x〉0)图象上且△OCD〜△CD3,求口OABC

的面积.

(3)如图3,在(1)的条件下，将直线/1：>=-%向上平移得到直线/2,直线/2与双

曲线交于Mi,跖两点，点尸为的中点，过点Mi作MiALL/i于点N.试探究等

的值是否为定值，若是定值，请求出这个定值；若不是定值，请说明理由.

25.(12分)如图1,已知正方形/2C。的边长为4,点E是射线上一动点，连接

将BE绕点8顺时针旋转90°得BE,将N3沿BE翻折得HB,连接E.

(1)求证：NAEB=/A'BE；

(2)在点E运动过程中，△⑷BE'的面积是否发生变化？若不变，请求出△，'BE'

的面积；若变化，请说明理由；

(3)如图2,点M,N分别为AB,A'E'的中点，连接MN,EN.当旧

时，求的面积.

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2024年四川省成都市锦江区中考数学一诊试卷

参考答案与试题解析

一、选择题（32分）

【解答】解：从左面看，是一个正方形，正方形内部有两条横向的虚线.

故选：B.

2.（4分）下列函数：①肛=1,②y=白，③>=而一1（kWO）,@y=3-X,其中，歹是x

的反比例函数的有（）

A.①②③B.②③④C.①③④D.①②④

【解答】解：①由原方程知，y=^；符合反比例函数的定义；故本选项正确；

②'二克符合反比例函数的定义；故本选项正确；

③反比例函数的一般式y=[1W0）可以转化为>=履一1（左/0）的形式.故本选项正

确；

④y=3-x属于一次函数；故本选项错误；

综上所述，y是x的反比例函数的有①②③；

故选：A.

3.（4分）下列说法正确的是（）

A.对角线互相垂直的四边形是菱形

B.矩形的对角线互相垂直

C.一组对边平行的四边形是平行四边形

D.四边相等的四边形是菱形

【解答】解：4对角线互相垂直且平分的四边形是菱形；故本选项错误；

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B,矩形的对角线相等，菱形的对角线互相垂直；故本选项错误；

C、两组对边分别平行的四边形是平行四边形；故本选项错误；

。、四边相等的四边形是菱形；故本选项正确.

故选：D.

4.(4分)如图，/D4B=/CAE,请你再添加一个条件，使得△4DEs^4BC.则下列选

项不成立的是()

ADAEADDE_

A./D=/BB./E=/C

AB-AC°。AB-BC

【解答】解：

ZDAB+ZBAE=ZCAE+ZBAE,

：.ZDAE=ZBAC,

...当添加条件/。时，则△4D£S2\/3C,故选项N不符合题意；

当添加条件/£=NC时，则故选项3不符合题意；

当添加条件77=77时，则故选项C不符合题意；

ABAC

ADDE

当添加条件时，则△40E和△4SC不一定相似，故选项D符合题意；

ADDC

故选：D.

5.(4分)我国南宋数学家杨辉所著的《田亩比类乘除算法》中有这样一道题：“直田积八

百六十四步，只云阔不及长一十二步，问阔及长各几步？”意思是：一块矩形田地的面

积为864平方步，只知道它的宽比长少12步，问它的长和宽各多少步？设这块田地的宽

为x步，则所列的方程正确的是()

A.x+(x-12)=864B.x+(x+12)=864

C.x(x-12)=864D.x(x+12)=864

【解答】解：•.•这块田地的宽比长少12步，且这块田地的宽为x步，

...这块田地的长为(x+12)步.

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根据题意得：x（x+12）=864.

故选：D.

6.（4分）图中的两个三角板是位似图形，则位似中心可能是（）

*

D

C.点CD.点D

【解答】解：如图所示：两个三角形的位似中心是：点4

故选：A.

7.（4分）在同一平面直角坐标系中，反比例函数》=5与一次函数左的图象可能是

【解答】解：当人>0时，：左>0,-k<0,

反比例函数》=5的图象在第一、三象限，一次函数〉=履-左的图象经过第一、三、四

象限；

当左<0时，'：k<0,-k>0,

反比例函数》=5的图象在第二、四象限，一次函数了=履-左的图象经过第一、二、四

象限.

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故选：B.

8.（4分）如图所示，。是矩形/BCD的对角线/C的中点，£为/。的中点.若AB=6,

BC=8,则△BOE的周长为（）

A.10B.8+2V5C.8+2V13D.14

【解答】解：；四边形是矩形，48=6,BC=8,

.".AB=CD=6,AD=BC=8,

:点。是/C的中点，E为/。的中点，

11

；.0£=/£>=3,/£=赵。=4,

在RtZXAftE1中，AE=4,AB=6,

根据勾股定理得，BE=7AB2+力E2=V62+42=2V13,

在RtA/BC中，根据勾股定理得，

4C=7AB2+BC2=V62+82=10.

•.•四边形NB。是矩形，

AZABC^9Q°,

;点。是NC的中点，

：.BO=5.

.•.△80E周长为5+3+2V13=8+2V13.

故选：C.

二、填空题（20分）

9.（4分）已喘="产|（b+d+fKO）,=—I—•

ace3

【解答】解：♦.•工=-=-=

baf5

a+c+e3

由等比性质可得丁丁=口

b+d+f5

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3

故答案为：

10.（4分）为了估计鱼塘中鱼的数量，养鱼者先从鱼塘中捕获50条鱼，在每一条鱼身上做

好标记后把这些鱼放归鱼塘，再从鱼塘中打捞鱼.通过多次实验后发现捕捞的鱼中有作

记号的频率稳定在5%左右，则鱼塘中估计有鱼1000条.

【解答】解：设鱼塘中有鱼x条，

根据题意得一=5%,

x

解得x=1000,

经检验x=1000为原方程的解，

所以估计鱼塘中有鱼1000条.

故答案为：1000.

11.（4分）已知以），N（m，》）两点都在反比例函数的图象上，且xi>0

>X2,则VI<12（填“〉”“〈”或“=”）

【解答】解：•••反比例函数尸F中，-5<0,

...反比例函数y=F的图象在第二、四象限.

'.'X1>O>X2,

:.N（X2,>2）在第二象限，M（XI,J1）在第四象限.

.'.yi<0,y2>0.

".y\<yi.

故答案为：<.

12.（4分）如图，数学兴趣小组下午测得一根长为0.8加的竹竿影长是1羽，同一时刻测量

树高时发现树的影子有一部分落在教学楼的墙壁上，测得留在墙壁上的影高1.2/77,地面

上的影长为3加，请你帮算一下，树高是3.6m.

【解答】解：设树高为xm,

第12页（共32页）

%—1.20.8

由题意得:

3—1，

解得：x=36

树IWJ是3.6m?

故答案为：3.6.

13.（4分）如图，设48是已知线段，经过点2作使BD=*4B,连接ZX4,在

上截取DE=D8；在48上截取/C=/£.已知线段N3的长为2,则线段3c的长为

3-V5_.

【解答】解：BD=%B=1,DE=DB,

：.DE=DB=\,48=250=2,

由勾股定理得：AD=VD52+AB2=Vl2+22=V5,

：.AC=AE=AD-DE=V5-1,

；.BC=AB-AC=2-（V5-1）=3-5

故答案为：3—V5.

三、解答题（48分）

14.（8分）我校德育处发现同学们就餐时剩余饭菜较多，浪费严重，于是准备在校内倡导

“光盘行动”，让同学们珍惜粮食，为了让同学们理解这次活动的重要性，德育处在某天

午餐后，随机调查了部分同学这餐饭菜的剩余情况，并将结果统计后绘制成了如图所示

（1）这次被调查的同学共有1000名:并把条形统计图补充完整：

（2）德育处通过数据分析，估计这次被调查的所有学生一餐浪费的食物可以供40人用

一餐.据此估算，我校3500名学生一餐浪费的食物可供多少人食用一餐？

（3）德育处准备在被调查的没有剩的甲、乙、丙、丁四名同学中选两名同学在周一的国

旗下进行倡议“光盘行动”的主题演讲，请用树状图或列表法求选中甲、丙两位同学的

概率.

【解答】解：（1）这次被调查的同学共有400・40%=1000（名）；

剩少量的人数是：1000-400-250-150=200,

（2）3500x^^=140（人）.

答：我校3500名学生一餐浪费的食物可供140人食用一餐;

（3）画树状图得：

开始

乙丙丁甲丙丁甲乙丁甲乙丙

•••所有出现的等可能性结果共有12种，其中满足条件的结果有2种.

：.P（恰好选中甲、丙两位同学）="=与

1Z6

15.（8分）如图，小明用自制的直角三角形纸板DM测量水平地面上树N3的高度，已知

两直角边£下：DE=2：3,他调整自己的姿势和三角形纸板的位置，使斜边。厂保持水平,

并且边OE与点8在同一直线上，AM■垂直于地面，测得边。尸离地面的距

第14页（共32页）

离为1.6m,求树高45.

MA

【解答】解：VZDEF=ZBCD=90°,/D=/D,

\ADEFs^DCB,

・EFBC2

9DE~CD~3"

2

\BC=^CD.

:AM=CD=21m,

：.AB=AC+BC=1.6+14=15.6(m).

答：树IWJ15.6m.

16.(10分)如图，4D是△/3C的角平分线，过点。分别作的平行线，交4B于

点E,交/C于点?

(1)求证：四边形ABD歹是菱形.

(2)若尸C=4,BE=9,40=10,求四边形4ET＞尸的边长和面积.

...四边形AEDF是平行四边形.

'：AD是△NBC的角平分线，

/BAD=NDAC.

5L'：AC//DE,

N4DE=ZDAC.

：.ZADE=ZBAD.

第15页(共32页)

：.EA=ED.

，四边形/功用是菱形.

（2）解：如图所示，连接即交4D于。，

•.•四边形甲是菱形，

1

.\AD^EF,0A—0D=,2。=5,

设菱形4切产的边长为％,贝l|4g=x+9,4C=x+4,

•:DE〃AC,

：.ABEDsABAC,

9BEDE9x

**ABAC"x+9%+4'

解得x=6或x=-6,

经检验，x=6是原方程的解，

:.AE=6,即菱形AEDF的边长为6,

/.0E=7AE2一。不=V11,

：.EF=20E=2VT1,

，四边形AEDF=^EF-AD=lOVll.

17.（22分）如图，一次函数〉=依+1（左=0）的图象与反比例函数y=£（a力0）的图象交

于N、3两点.与坐标轴交于C、。两点，连接CM、OB,已知tcmz_ODC=*,AAOC

（1）求一次函数和反比例函数的解析式；

（2）P是线段48的中点，直线O尸向上平移6（6>0）个单位长度后，将△/O3的面

积分成1：7两部分，求6的值；

第16页（共32页）

（3）我们把只有一组邻边相等，且只有一组对角为直角的四边形，叫作“直角等补形”;

设M为y轴负半轴上一点，N为平面内一点，当四边形是直角等补形时，求点又

的坐标.

【解答】解：（1）•.•直线产=依+1*70）与坐标轴交于C、。两点，

1

C（0,1）,D（一五，0）,

；.OC=1,

VtanZOZ）C=

C111

-=-即---

P212

-

fc

一次函数的解析式为片上+1.

设/（冽，一）,

m

•:SMOC=1,

1

X1X优=1,

2

解得：加=2,

a

••A(2,—

•直线尸系4经过点/(2,]),

a1

=—X2+1,

22

解得：Q=4,

...反比例函数的解析式为y=~

（1

V=5%+1

（2）联立方程组得《2

-y=X-

解得七:二£：2­

：.A（2,2）,5（-4,-1）,

：尸是线段AB的中点，

1

.・"1,-）,

第17页（共32页）

，直线OP的解析式为y=—%,

将直线。尸向上平移6(6>0)个单位长度后得到直线尸-基6,交y轴于尸，交于

H,交04于G,如图，

过点/作NE〃。尸交y轴于£,则£(0,3),

・・•点尸是45的中点，

S^AOP=S^ABC=呈丛AOB，

•・•直线0P向上平移b个单位将△405的面积分成1：7两部分，

.1

••SaZG77=4s△/0P，

9：GH//OP,

：.AAGH^AAOP,

/△AGH=(空2=工，

SAAOPOP4'

・生1

U90P_2，

U：GH//OP//AE,

eAGGH1

OA-OP-2’

.EFAG

••_==1,

OFOG

3i

:.F(0,5),代入夕=一尹+6,

得b=I：

(3)根据“四边形N3MN是直角等补形”可知：四边形中只有一组邻边相等，

且只有一组对角为直角，

当/ABM=NANM=9Q°,时，如图，过点/、8分别作y轴、x轴的平行线交

第18页(共32页)

于点K,5K交》轴于L

则N/K5=N5£M=90°，

U：A(2,2),5(-4,-1),

：.AK=3,BK=6,BL=4,

「ZABK+ZBAK=ZABK+ZMBL=90°,

：.NBAK=/MBL,

：.△ABKs^BML,

・・ML—8,

・・・OM=OL+ML=1+8=9,

：.M(0,-9)；

当48=2〃时，如图，过点3作ALLy轴于L

贝!!%=4,OL=1,BM=AB=J(2+4尸+(2+1尸=34,

第19页（共32页）

22

：.ML=VBM-BL=J（3㈣2_42=V29,

0M=OL+ML=1+V29,

：.M（0,-1-V29）;

综上所述，点M的坐标为（0,-9）或（0,-1-V29）.

一、填空题（20分）

18.（4分）设xi,X2是关于x的方程，+3x-冽=0的两个根，且2XI=X2,则m=-2.

【解答】解：:xi,12是关于x的方程/+3x-冽=0的两个根，

.*.xi+x2=-3,xi*%2=~m,

•2%1=X2，

Axi+2xi=-3,解得xi=-L

••X2=-2,

-m=x1*X2=2,

；・m=-2,

故答案为：-2.

19.（4分）学校联欢会设计了一个“配紫色”游戏：如图是两个可以自由转动的转盘，A

盘被分成面积相等的几个扇形，5盘中蓝色扇形区域所占的圆心角是120°.同学们同时

转动两个转盘，如果其中一个转盘转出了红色，另一个转盘转出了蓝色，那么可以配成

紫色，赢得游戏.若小赵同学同时转动/盘和2盘，她赢得游戏的概率是

第20页（共32页）

【解答】解：转盘2红色部分圆心角为240°,相当于2个蓝色部分,

画树状图如下：

开始

A盘蓝黄红

/1\/K/N

B盘蓝红红蓝红红蓝红红

共有9种等可能的结果，其中一个转盘转出了红色、另一个转盘转出了蓝色的有3种情

况，

31

小李同学同时转动/盘和2盘，她赢得游戏的概率是§=

20.（4分）如图，在矩形48CD中，4B=4cm,BC=8cm,将矩形纸片折叠，使点/与。C

边的中点重合，则折痕的长度为_VT7_c〃z.

AD

BC

【解答】解：在矩形/BCD中，CD=AB=4cm,4D=BC=8cm,NZ)=90°,AD//BC,

根据题意可知：E是CD的中点，

1

：.DE=CE=^CD=2cm,

；.AE='AD?+DE2=782+22=2g

由折叠可知：MN是的垂直平分线，

：.AM=EM,AQ=EQ=：AE=Ecm,ZAQM=90°,

：.DM=AD-AM=(8-ME)cm,

在RtADEM中，根据勾股定理得：ME2=DAf+DE2,

：.ME2=(8-ME)2+22,

第21页（共32页）

17

：.AM=ME=I，

如图，过点M作敏，BC于点凡

AZMFN=ZAQM=90°,得矩形

MF=AB=4cm,

•；AD〃BC,

：.ZMFN=ZAMF=90°,

：.ZMAQ=90°-ZAMQ=ZNMF,

cosZMAQ=cos/NMF,

eAQMF

9'AM-MN'

V174

=MN'

4

:.MN=y/17cm.

故答案为：V17.

M：

D

E

C

21.（4分）如图，反比例函数y=£（X〉0）的图象过点4,反比例函数y=（的图象与直线

04交于点B,C,已知04=1：3,过点4分别作歹轴和x轴的平行线，分别交反

比例函数、=又的图象于点。和E,连接CD交y轴于G,连接CE交x轴于点凡当^

45

CFG的面积为1时，a+b=—.

—2—

第22页（共32页）

【解答】解：延长/。交x轴于点N,过点2作卸轴于点如图所示:

轴,

./N_Lx轴,

C_CL

・％40N=2f

•8M_Lx轴,

•S^OBM-2)

•NOMB=NONA=90°，/BOM=/AON,

△BOMsAAON,

SABOM_(0B2

S&AON°Z'

b

.2J、2

••­=(-J，

I3

b1

IP；=?

第23页（共32页）

・・a=9b,

设点辞）且加＞0,则,）,双今,,）,

•：ABOMS^AON,

・OMOB1

•・ON-OA13’

11

：.OM=^ON=^m,

二点5的坐标为（竽，当，

・・・5、C两点是正比例函数图象与反比例函数图象的两个交点,

・・・5与。关于原点对称，

・,•点。的坐标为（—生，—非），

设直线C£的解析式为尸履+K把C（-与，—当,纵竹，当代入得:二至

。11L711L11Lj

（gk+t

解得:

，直线CE的解析式为y=肃％+等,

把＞=0代入得:

解得：久=-萼

设直线CD的解析式为y=伫"，把C（一号，一当，P（m,白）代入得：

。11L11L

h

mk'+t/=一

m

仅'=熟

解得:

，直线CD的解析式为＞=冷

把x=0代入得：y=T

第24页（共32页）

,:S丛CFG=sACOG+SACOF-S^OFG=L

12bm12m3b12m2b

...一x-x—+-x—x———x—x—=1,

2m329m29m

rbb2b

吗+…=L

解得:b=l

・・.a=9b=9x*=?

._819_45

・・a+b=W+y

_,45

故答案为：—.

22.（4分）如图，在正方形45CQ中，45=4,点E和b分别为4。、4B上的动点，且4E

EGj5

=BF,以£尸为底边在右侧构造等腰△EFG且满足），连接CG,则CG的最小值

EF2

为_&_•

A,___E____________D

S

BC

【解答】解：如图，过点G作于〃,过点"作PQ//AB与过点G作GQLPQ

A^E_D

E

交于点。，B'TC

,:EG=FG,GHLEF,

二〃为斯的中点，

设尸£=x,则户=2x,

：.AF=4-2x,

：.PH=2-x,

第25页（共32页）

•._F_G____V_5

•—，

EF2

FGr-

—=

HEv

•_EH1

•・—，

HG2

ZPHE+ZPEH=NPHE+ZGHQ=90°,

ZPEH=ZGHQ,

又/HPE=/HQG,

：.△HEPsAGHQ,

：.HQ=2x,GQ=4-2x,

过点G作GTLBC于T,

贝I」BT=x+4-2x=4-x,

CT=x,GT=4-（2-x+2x）=2-x,

：.CG=JN+（2一久）2=J2（x-+2,

当x=l时，CG有最小值为企，

故答案为：V2.

二、解答题（30分）

23.（8分）2023年亚运会在杭州举行，吉祥物莲莲、琼琼、底底”称之为“忆江南组合”.随

着杭州亚运会的开幕，某特许零售店“亚运会吉祥物”的销售日益火爆.据调查“亚运

会吉祥物”每盒进价8元，售价12元.

（1）商店老板计划首月销售330盒，经过首月试销售，老板发现单盒“亚运会吉祥物”

售价每增长1元，月销量就将减20盒.若老板希望“亚运会吉祥物”月销量不低于270

盒，则每盒售价最高为多少元？

（2）实际销售时，售份比（1）中的最高售价减少了2a元，月销量比（1）中最低销量

270盒增加了60a盒，于是月销售利润达到了1650元，求。的值.

【解答】解：（1）设每盒的售价为x元，则月销量为330-20（x-12）=（570-20x）

（盒），

依题意得:570-20x2270,

解得：xW15.

答：每盒售价最高为15元；

（2）依题意得：（15-2a-8）X（270+60。）=1650,

第26页（共32页）

解得：41=1,02=-2（不合题意，舍去）.

答：。的值为L

24.（10分）如图，在平面直角坐标系中，。为坐标原点，点/在x轴的正半轴上，在第一

象限内以CM为边作CJCUBC,点C在反比例函数y=（（久>0）的图象上，D是边AB的中

点，点C的横坐标为2.

3

（1）如图1,若点。的纵坐标为5,求反比例函数的解析式；

（2）如图2,若点。在反比例函数y=/（x〉0）图象上且△OCD〜△CD3,求口OABC

的面积.

（3）如图3,在（1）的条件下，将直线/1：>=-%向上平移得到直线/2,直线/2与双

曲线交于Mi,跖两点，点尸为的中点，过点Mi作MiALL/i于点N.试探究等

的值是否为定值，若是定值，请求出这个定值；若不是定值，请说明理由.

【解答】解：（1）点的横坐标为2,

k

：.C（2,-）,

设/（冽，0）,

四边形OABC是平行四边形,

k

:.B（2+加，5）,

•.•。是的中点，

k

:・D（1+m,一），

4

3

・・,点。的纵坐标为5，

.k3

•—二，

42

第27页（共32页）

解得左=6,

反比例函数的解析式为尸提

(2)设/(m,0),

kk

由(1)可知C(2,-),B(2+m,5),D(1+m,

・・・。点在反比例函数上，

kkm

.*.7+~~=k,

44

解得冽=3,

kk

：.A(3,0),B(5,-)，D(%1)，

■:4OCD〜MCDB,

OCCD,

—=—,即

CDBD

解得k=±4V2,

V^>0,

・•・左=4企,

：.C(2,2V2),

•FCMBC的面积=3X2应=6V2；

MiTV

(3)米的值为定值，理由如下：

设直线直线小y=-Jr向上平移6个单位长度，与夕轴交于点£,与x轴交于G点,

.,.直线h的解析式为尸-亲+6,

：.E(0,b),