茆诗松概率论与数理统计12第一章12

§1.2概率的定义及其确定方法1.概率的公理化定义2.排列与组合公式3.确定概率的频率方法4.确定概率的古典方法5.确定概率的几何方法6.确定概率的主观方法（自学）学习目标

1.掌握概率的公理化定义2.掌握排列和组合公式3.熟练掌握概率的古典方法、几何方法4.了解计算概率的频率方法非负性：规范性：设为可测空间与之对应,且满足若存在实数①②③可列可加性：对两两不相容的事件列有则称为事件的概率,称概率空间.为？样本空间某些子集组成的事件域可列可加性1933年苏联的柯尔莫哥洛夫提出概率论的公理化体系一、概率的公理化定义定义1乘法原理第一步有

种方法第二步有

种方法

第步有

种方法……做一件事共有

个步骤完成这件事的方法总数二、排列与组合加法原理第一类方式有

种方法第二类方式有

种方法

第

类方式有

种方法……做一件事共有

类方式完成这件事的方法总数选排列当

时，称为全排列，计算公式为从

个不同的元素中,任取

个元素,按照一定的顺序排成一列，全部排列个数为全排列重复排列从n个不同的元素中,每次取出一个，放回后再取下一个，如此连续取r次所得的排列称为重复排列，重复排列数为取数与次序有关排列的特点组合从

个不同的元素中,任取

个元素并成一组，全部组合数为取数与次序无关组合的特点可重复组合（不讲）频率是否有统计规律性设为一随机事件,在相同条件下进行

次重复试验,令次试验中发生的次数,称为事件的频数为事件的频率.在一次试验中可能发生也可能不发生特性：一般地越大,则越大;的值是“随机的”;问？三、确定概率的频率方法实验者实例一出现正面历史上有名的“抛硬币”试验

0.5005

12012

24000皮尔逊

0.5016

6019

12000皮尔逊

0.5069

2048

4048蒲丰

0.5181

1061

2048德·摩根问有什么规律？“抛硬币”试验将一枚硬币连续抛次，记考察英语文章中26个字母出现的频率，当观察次数较大时，每个字母出现的频率呈现稳定性，下面是

Dewey

统计了438023个字母得到的统计表实例二0.00060.00090.00100.00160.0060频率0.01020.01560.01860.01870.02020.02140.0244频率0.02560.02680.02800.03890.03940.05730.0594频率0.06340.07060.07070.07760.07880.09780.1268频率ZQJXK字母FCUDLHR字母VBPGYWM字母SNIOATE字母0.00060.00090.00100.00160.0060频率0.01020.01560.01860.01870.02020.02140.0244频率0.02560.02680.02800.03890.03940.05730.0594频率0.06340.07060.07070.07760.07880.09780.1268频率ZQJXK字母FCUDLHR字母VBPGYWM字母SNIOATE字母0.00060.00090.00100.00160.0060频率0.01020.01560.01860.01870.02020.02140.0244频率0.02560.02680.02800.03890.03940.05730.0594频率0.06340.07060.07070.07760.07880.09780.1268频率ZQJXK字母FCUDLHR字母VBPGYWM字母SNIOATE字母由于频率的取值是“随机的”，那么极限

是什么意思值得研究（后面第四章讨论该问题）.频率的稳定性当

很大时,事件的频率接近一个常数,即有注①②常数

就是事件

发生的可能性大小,即概率.四、古典概型(ClassicalProbability)

具有以上两个特点的随机试验称为古典概型,也称为等可能概型.若随机试验满足:(1)试验的样本空间的元素只有有限个;(2)试验中每个基本事件发生的可能性相同.样本点总数包含的样本点个数样本点总数包含的基本事件个数样本点总数的有利场合数确定概率的古典方法:抛两枚硬币，求出现一个正面一个反面的概率.该试验的样本空间为他计算得这是一个古典概型,事件“一个正面一个反面”的有利场合是18世纪著名的法国数学家达朗贝尔取样本空间为这不是等可能概型！小趣闻例1解：说明：（1）当样本空间元素很多时，不需将中的元素一一列出，只须分别计算出试验E的基本事件总数和A包含的基本事件总数；（2）若各基本事件不具备等可能性，不能用古典概率公式计算事件A的概率。例2

设盒中有3个白球，2个红球，现从盒中任抽2个球，求取到一红一白的概率。n=C52,k=C31C21,P(A)=C31C21/C52=0.6.解:

设A={取到一红一白},

一般地，设盒中有N个球，其中有M个白球，从中任抽n个球，则这n个球中恰有k白球的概率是例3

设N件产品中有K件次品，N-K件正品,K<N.现从N件中每次任意抽取1件产品，检查解

由于每次都是从N件产品中任意取出一件，每次都有N种取法.由乘法原理，n次共有Nn种取法，且每种取法出现的可能性相同.故基本事件总数为Nn；同理,每次从K件次品中取出一件,取k次,共有种取法；其是正品还是次品后放回；这样共抽检产品n次.求事件A={所取的n件产品中恰有k件次品}的概率，k=0,1,2,…,n.从K件次品中取出k件，共有Kk种取法；从N-K件正品中取n-k件,共有(N-K)n-k种取法.由于k件次品出现在n次中的方式有Cnk种,故由乘法原理，共有CnkKk(N-K)n-k种取法。故A中基本事件个数为CnkKk(N-K)n-k，因此有在上式中，令p=K/N，则有

这是后面要学的二项分布的概率公式.解:把a只黑球b只白球视为可分辨的.把a+b只球摸出来依次排在一直线的a+b个位置上,则可能的排列法相当于把a+b个元素进行全排列,即基本事件总数为n=(a+b)!.而有利于事件Ak的场合相当于在第k个位置上放一个黑球(共有a种选择),而在其余的a+b-1个位置上,由其余的a+b-1个球任意排列,共有m=a(a+b-1)!种排法.所以例4袋中有a只黑球,b只白球.它们除了颜色不同外,其它方面全同.现在随机地把球一只只摸出来,求第k次摸出的一只是黑球(事件Ak)的概率.与k无关例5

(盒子模型):把n个大小相同的球随机放到(1)A=“某指定的n个盒子各有一球”;个盒子中去.试求下列各事件的概率.(2)B=“恰有n个盒子,其中各有一球”;(3)C=“某指定的盒子恰有个球”。解

很多问题可以归结为盒子模型.球---粒子，盒子----相空间中的小区域,则这个问题相应于统计物理学中的马克斯威尔·波尔茨曼（Maxwell-Boltzmann）统计.盒子模型的应用实例概率论历史上有名的问题---生日问题参加某次聚会共

个人,求至少有两人生日相同的概率.分析只球个人个人生日各不相同,则天个盒子至少有两人生日相同结果有点出乎人们意料注记

在实际应用中，概率非常接近1的事件可近似地看成必然事件，称为几乎必然事件.概率非常小的事件，称为小概率事件.实际推断原理:小概率事件在一次试验中是几乎不可能发生的.五、确定概率的几何方法设样本空间Ω为一有界几何体，事件A包含于Ω,用L表示几何体的测度.注:当几何体为一线段时，测度为长度；当几何体为平面上的某一区域时，测度为面积；当几何体为空间的某一区域时，测度为体积.定义：设事件A为样本空间Ω中的某个子区域，如果它的测度为L(A)，且任意点落入A中的可能性大小与L(A)成正比，而与A的位置及形状无关,则事件A的概率为

P(A)=L(A)/L(Ω)这一类概率通常称作几何概率.

解:以x,y分别表示甲乙两人到达的时刻,那末

0xT,0yT.

若以x,y表示平面上点的坐标，则：

例6(会面问题)甲乙两人相约在0到T这段时间内在某处会面.先到的人等候另一个人,经过时间t(t<T)后离去.设每人在0到T这段时间内各时刻到达该地是等可能的,且两人到达的时刻互不牵连.求甲,乙两人能会面的概率.（1）所有基本事件可以用一边长为T正方形内所有点表示.

（2）两人能会面的条件是

|x-y|t

.由等可能性知，是几何概型问题，所以

OtTxx-y=ty-x=ttTA

例7(Buffon投针问题)1777年法国科学家蒲丰提出了下列著名问题，这是几何概率的一个早期例子.平面上画着一些平行线，它们之间的距离都等于a，向此平面任投一长度