导数及其应用 课件

导数及其应用知识结构Ⅰ、导数的概念

Ⅱ、几种常见函数的导数公式

Ⅲ、求导法则

Ⅳ、复合函数求导

Ⅴ、导数的几何意义

Ⅵ、导数的应用

1．判断函数的单调性

2．求函数的极值3．求函数的最值

例2：用公式法求下列导数：（1）y=（3）y=ln(x+sinx)（2）y=（4）y=解(1)y′=(2)(3)

(4)例3、已知f(x)=2x2+3xf(1),f(0)=解:由已知得:f(x)=4x+3f(1),∴f(1)=4+3f(1),∴f(1)=-2∴f(0)=4×0+3f(1)=3×(-2)=-6例4（2001文）已知函数f(x)=x3-3ax2+2bx在点x=1处有极小值-1，试确定a、b的值，并求出f(x)的单调区间。

分析：f(x)在x=1处有极小值-1，意味着f(1)=-1且f`(1)=0，故取点可求a、b的值，然后根据求函数单调区间的方法，求出单调区间。略解：单增区间为（-∞，-1/3）和（1，+∞）单间区间为（-1/3，1）练习巩固：

设函数y=x3+ax2+bx+c的图象如图所示，且与y=0在原点相切，若函数的极小值为-4

（1）、求a、b、c的值

（2）、求函数的单调区间答案（1）a=-3,b=0,c=0（2）单增区间为(-∞,0)和(2,+∞)解:由已知,函数f(x)过原点(0,0),∴f(0)=c=0∵f(x)=3x2+2ax+b

且函数f(x)与y=0在原点相切，∴f(0)=b=0

即f(x)=x3+ax2

由f(x)=3x2+2ax=0,得x1=0,x2=(-2/3)a

由已知即解得a=-3小结：利用导数的几何意义求切线的斜率；求函数的单调区间，只要解不等式f(x)＞0或f(x)＜0即可；求函数f(x)的极值，首先求f`(x),在求f`(x)=0的根，然后检查方程根左右两侧的导数符号而作出判定；函数f(x)在［a,b］内的最值求法：①求f(x)在（a,b）内的极值；②将f(x)的各极值与f(a),f(b)比较，其中最大的是最大值，最小的为最小值。导数的应用主要表现在：定积分及其应用1、求曲边梯形的思想方法是什么？2、定积分的几何意义、物理是什么？3、微积分基本定理是什么？

求由连续曲线y=f(x)对应的曲边梯形面积的方法(2)取近似求和:任取xi[xi-1,xi]，第i个小曲边梯形的面积用高为f(xi)而宽为Dx的小矩形面积f(xi)Dx近似之。(3)取极限:，所求曲边梯形的面积S为取n个小矩形面积的和作为曲边梯形面积S的近似值：xiy=f(x)xyObaxi+1xi

(1)分割:在区间[0,1]上等间隔地插入n-1个点,将它等分成n个小区间:每个小区间宽度⊿x定积分的定义如果当n∞时，S的无限接近某个常数，这个常数为函数f(x)在区间[a,b]上的定积分，记作从求曲边梯形面积S的过程中可以看出,通过“四步曲”:分割---近似代替----求和------取极限得到解决.定积分的定义：定积分的相关名称：

———叫做积分号，

f(x)——叫做被积函数，

f(x)dx—叫做被积表达式，

x———叫做积分变量，

a———叫做积分下限，

b———叫做积分上限，

[a,b]—叫做积分区间。被积函数被积表达式积分变量积分下限积分上限

按定积分的定义，有

(1)由连续曲线y=f(x)(f(x)0)，直线x=a、x=b及x轴所围成的曲边梯形的面积为(2)设物体运动的速度v=v(t)，则此物体在时间区间[a,b]内运动的距离s为定积分的定义：

例1、求曲线与直线x轴所围成的图形面积。

略解：根据定积分的几何意义所求面积为

（一）利用定积分求平面图形的面积

平面图形的面积平面图形的面积平面图形的面积平面图形的面积平面图形的面积

特别注意图形面积与定积分不一定相等,的图像与轴围成的图形的面积为4,而其定积分为0.

如函数1、求直线与抛物线所围成的图形面积。

略解：如图直线与抛物线的交点坐标为（－1，1）和（3，9），则2、求由抛物线

及其在点M（0，－3）和N（3，0）处的两条切线所围成的图形的面积。

xyoy=－x2+4x-3略解：则在M、N点处的切线方程分别为、（3/2，3）3、在曲线

上的某点A处作一切线使之与曲线以及轴所围成的面积为.试求：切点A的坐标以及切线方程.

xyOy=x2ABC略解：设切点坐标为则切线方程为切线与x轴的交点坐标为

则由题可知有所以切点坐标与切线方程分别为xyOy=x2ABC

（1）画图,并将图形分割为若干个曲边梯形；（2）对每个曲边梯形确定其存在的范围,从而确定积分的上、下限；（3）确定被积函数；（4）求出各曲边梯形的面积和,即各积分的绝对值的和。

小结:求平面图形面积的方法与步骤：以及(1)曲线与直线轴所围成的曲边梯形的面积：以及