第10章-平稳随机信号

第10章

平稳随机信号目录10.1随机信号及其特征描述10.2平稳随机信号10.3平稳随机信号通过线性系统10.4平稳随机信号的各态遍历性10.5信号处理中的最小平方估计问题10.6估计质量的评价10.7功率谱估计概述确定性信号：信号随时间变化具有规律性，可以准确预测，可以用某一明确的数学关系描述。随机信号：

信号随时间变化不具有明确的规律性，不能准确预测，不能用明确的数学关系来描述。现实中的信号绝大部分是随机信号。研究方法：

统计的方法，“估计”的方法。随机信号：人体生理信号（ECG,EEG,PCG,…)；语音信号；噪声信号；各种经济指标（作物产量，GDP,股票指数， 价格指数，…）；各种自然现象：（河水流量，平均温度，单位面积承受到的风载，太阳黑子数，…）等等。连续随机变量的概率密度函数（PDF）定义为：p(x)具有如下性质：①②③离散随机变量的概率分布{pi}，其中pi

=P(X=xi)。对所有i有pi

0且1.随机信号及其特征描述随机变量的数字特征：数学期望（均值）方差原点矩很显然，中心距很显然1.随机信号及其特征描述N

个随机变量组成的向量称为随机向量：随机向量X的均值是由其各个分量的均值所组成的均值向量：随机向量X的方差是各个分量之间互相求方差所形成的矩阵：其中称为分量Xi和Xj之间的协方差。1.随机信号及其特征描述两个随机变量X和Y，记其联合概率密度为p(x,y)，边缘概率密度分别为p(x)和p(y)，若有：则称X和Y是相互独立的。如果随机变量X和Y的协方差为零，则称X和Y是不相关的。很显然，两个独立的随机向量必然不相关：反之则不然，即两个互不相关的随机变量不一定是相互独立的。但是对于正态分布，独立和不相关却是等效的。1.随机信号及其特征描述设有n台性能完全相同的接收机。在相同的工作环境和测试条件下记录各台接收机的输出噪声波形，测试结果表明，n

条曲线中找不到两个完全相同的波形。这就是说，接收机输出的噪声电压随时间的变化是不可预知的，因而它是一个随机过程。随机过程：设有无穷多台性能相同的接收机，在同等条件下测出噪声信号波形为x1(t),x2(t),…,xN(t),…。如果我们把记录接收机的输出噪声波形看做一个随机实验，那么每一次的记录就是该随机实验的一次实现，相应的记录结果xi(t)称为样本函数。上述样本函数的总体称为随机过程X(t)，即随机信号。xi(t)称为X(t)的一个实现或样本。1.随机信号及其特征描述对于特定的时刻，例如t=t1，显然x1(t1),x2(t1),…,xN(t1)是一个随机变量，它相当于在某一个固定的时刻记录到的无穷多台接收机的输出值。当t=tj时，x1(tj),x2(tj),…,xN(tj)也是一个随机变量，因此，一个随机信号X(t)是依赖于时间t的随机变量，我们可以用描述随机变量的方法来描述随机信号。当t在时间轴上取值t1,t2,…,tm时，我们可以得到m个随机变量X(t1),X(t2),…,X(tm)，显然，描述这m个随机变量最全面的方法是利用其m维的概率分布函数（或概率密度函数）当m趋于无穷时，上式完善地描述了随机信号X(t)。1.随机信号及其特征描述对随机信号X(t)离散化，得离散随机信号X(n)。对于X(n)的每一次实现，记为x(n,i)，n代表时间，i代表实现的序号，即样本数。显然，X(n)的均值、方差、均方值等一阶二阶数字特征均是时间n的函数。均值：随机过程X(n)在任意时刻的数学期望为μX(n)方差：随机过程X(n)在任意时刻的方差为σX2

(n)均方值：1.随机信号及其特征描述自相关函数：设n1、n2

为任意两个时刻，相关函数定义为：随机信号X(n)的自相关函数描述了信号在n1和n2这两个时刻的相互关系。自协方差函数1.随机信号及其特征描述如果n1=n2=n，则有对于两个以上的随机过程，可引入互相关函数和互协方差：1.随机信号及其特征描述对任意的k，如果随机信号X(n)的概率密度函数满足则称X(n)是N阶平稳的。如果上式对都成立，则称是X(n)严平稳，或狭义平稳的随机信号。对于随机信号X(n)，若其均值为常数，即方差为有限值且为常数，即自相关函数rX(n1,n2)和n1,n2的选取起点无关，仅和n1,n2之差有关，即，则称是宽平稳随机信号。2.平稳随机信号由宽平稳随机信号的定义，还可以得到均方值：自协方差两个宽平稳随机信号X(n)和Y(n)的互相关函数和互协方差函数可以表示为：2.平稳随机信号例题：随机相位正弦序列式中A,f均为常数，Φ

是一个在0~2π

内均匀分布的随机变量。试求X(n)的均值及自相关函数，并判断其平稳性。解答：由定义可知X(n)的均值及自相关函数分别为2.平稳随机信号例题：随机振幅正弦序列式中f为常数，X为正态随机变量，均值为0，方差为σ2。试求X(n)的均值及自相关函数，并判断其平稳性。解答：由定义可知X(n)的均值及自相关函数分别为2.平稳随机信号对自相关函数和互相关函数做Z变换，有令，得到假定X(n)的功率是有限的，那么其功率谱密度的反变换必然存在，其反变换即为自相关函数，即有：（自功率谱）（互功率谱）2.平稳随机信号功率谱具有如下性质：性质1

是ω

的实函数，因此功率谱失去了相位信息；性质2

对所有的ω

都是非负的；性质3由于rX(m)是偶对称的，因此仍是ω

的偶函数；性质4

功率谱曲线在（-π,π）内的面积等于信号的均方值。工程实际中所遇到的功率谱可以分为三种：白噪声谱：功率谱在|ω|≤π

的范围内始终为一常数，如σ2，自相关函数为：线谱ARMA谱2.平稳随机信号一阶马尔可夫过程随机信号，若其概率密度函数满足称其为马尔可夫（Markov）过程2.平稳随机信号

上式的含义是：已知过程在现在时刻的状态，那么，下一个时刻的状态

只和现在的状态有关，而和过去的状态无关。无关！例如Markov-Ⅰ过程2.平稳随机信号对上述过程，可求出：DCT中遇到过2.平稳随机信号设X(n)为平稳随机信号，它通过一LSI系统H(z)后，输出为Y(n)，由于所以Y(n)也是平稳随机信号。X(n)和Y(n)之间的关系有：3.平稳随机信号通过线性系统证明：令令3.平稳随机信号通过线性系统证明：3.平稳随机信号通过线性系统例题：一个简单的两点差分器可以用来近似计算信号的斜率。设X(n)为一零均值、方差为σ2的白噪声信号，试求输出Y(n)的自相关函数和功率谱。解答：因为X(n)为白噪声序列，所以有

3.平稳随机信号通过线性系统Y(n)的功率谱为rY(m)的DTFT：或者先求出：然后：3.平稳随机信号通过线性系统一个随机信号X(n)的均值、方差、均方值及自相关函数等，均是建立在集总平均的意义上。例如均值和自相关函数：为了精确地求出μX和rX(m)，需要知道x(n,i)的无穷多个样本，这在实际工作中显然是不现实的。各态遍历随机信号：对一平稳信号X(n)，如果它的所有样本函数在某一固定时刻的一阶和二阶统计特性和单一样本函数在长时间内的统计特性一致，我们称X(n)为各态遍历随机信号。这样，我们就可以仿照确定性的功率信号那样来定义各态遍历随机信号的一阶和二阶统计特征。4.平稳随机信号的各态遍历性设x(n)是各态遍历随机信号X(n)的一个样本函数，对X(n)的数字特征可以重新定义如下：上式都是使用单一样本函数x(n)来求出μX和rX(m)，因此称为“时间平均”。对于各态遍历信号，其一阶和二阶统计特征的集总平均等于相应的时间平均。4.平稳随机信号的各态遍历性对各态遍历随机信号X(n)，既然自相关函数可以用时间平均来定义，那么其功率也可以用时间平均来定义为：上式中X(ejω)是随机信号X(n)的某一样本函数x(n)在n=-M~M时的DTFT。考虑到时间平均，M应趋于无穷，因此求极限是必要的。对X(n)的每一个样本函数x(n,i)，所求出的X(ejω,i)是不相同的，所以X(ejω,i)本身是一个随机变量，因此上式中的求均值运算也是必要的。4.平稳随机信号的各态遍历性各态历经（遍历）的平稳随机信号

实际信号处理时，往往总是假定为各态历经的平稳信号，以能解决问题为原则。因为集总平均往往不具备实施条件。假定当时，rx(k)衰减得足够快，使得：此即维纳-辛钦定理。则有

4.平稳随机信号的各态遍历性宽平稳随机过程的功率谱密度是其自相关函数的傅立叶变换诱发响应信号为一个确定性过程加上一个平稳随机过程相干平均降噪，SNR提高M倍5.信号处理中的最小平方估计问题5.信号处理中的最小平方估计问题5.信号处理中的最小平方估计问题5.信号处理中的最小平方估计问题5.信号处理中的最小平方估计问题5.信号处理中的最小平方估计问题5.信号处理中的最小平方估计问题5.信号处理中的最小平方估计问题5.信号处理中的最小平方估计问题5.信号处理中的最小平方估计问题5.信号处理中的最小平方估计问题5.信号处理中的最小平方估计问题6.估计质量的评价对于随机信号X(n)，我们能得到的往往是其一次实现的有限长数据x(n),

n=0,1,…,N-1,然后根据这N个数据来估计X(n)的均值、方差、自相关函数、功率谱及其他感兴趣的参数。设X(n)的某个特征量的真值为，估计值为，通常用下面三个指标来评价估计的质量：偏差定义为估计的偏差。若，则称是的无偏估计。若在时有则称是对的渐进无偏估计。06.估计质量的评价方差定义为估计的方差，