第 04 章 动量和角动量(v2)

大学物理学

第四章动量和角动量上海交通大学物理与天文系冲量：力的时间积累动量质点动量定理质点系动量守恒定律，则力距角动量质点角动量定理质点系角动量守恒定律，则质心质心运动定理相对论质速关系相对论动力学基本方程相对论动能静止能量总能量质能关系动量和能量关系大学物理学：动量和角动量2

牛顿定律是瞬时的规律。但在有些问题中，如：碰撞（宏观）、散射（微观）…我们往往只关心过程中力的效果，即只关心始末态间的关系，对过程的细节不感兴趣；而有些问题我们甚至尚弄不清楚过程的细节。大学物理学：动量和角动量3作为一个过程，我们关心的是力对时间和空间的积累效应。力在空间上的积累作功，改变动能力在时间上的积累大学物理学：动量和角动量4§4.1动量定理与动量守恒定律质点的动量一个质量为m的质点以速度v运动，我们定义它的动量为从牛顿第二定律可知：要获得较大的动量，在相同的时间内就需施加较大的力；或者在相同力的作用下，作用较长时间。大学物理学：动量定理与动量守恒定律5动量与动能不同：为力在时间上的积累效应，定义为冲量(impulse)在有限时间内，initialfinal一、质点的动量定理——动量定理大学物理学：动量定理与动量守恒定律6讨论1。冲量是矢量；动量定理的分量形式也成立。大学物理学：动量定理与动量守恒定律7讨论2。冲量的大小和方向与整个过程中力的性质有关。在冲击等过程中，力的作用时间很短暂，而力随时间的变化却很复杂，无法通过力的积分计算冲量,但可由求得力的冲量。并估算力的平均冲力：

大学物理学：动量定理与动量守恒定律84.动量与参照系有关，但动量差值与参照系无关。因此，动量定理适用于所有惯性系。3.动量定理适用于任何形式的质点运动，但在讨论如冲击、碰撞等过程时更方便。讨论大学物理学：动量定理与动量守恒定律9解：(1)30047t/sF/N[例4-1]m=10kg木箱，在水平拉力作用下由静止开始运动，拉力随时间变化如图。已知木箱与地面摩擦系数为=0.2，求：(1)t=4秒时刻木箱速度；(2)t=7秒时刻木箱速度；(3)t=6秒时刻木箱速度。m大学物理学：动量定理与动量守恒定律1030047t/sF/N大学物理学：动量定理与动量守恒定律11[例4-2]质量为m的行李，垂直地轻放在传送带上，传送带的速率为v

，它与行李间的摩擦系数为μ，试计算：(1)行李将在传送带上滑动多长时间?(2)行李在这段时间内运动多远?(3)有多少能量被摩擦所耗费?(1)以地面为参照系解:mxOv大学物理学：动量定理与动量守恒定律12(2)行李在这段时间内运动多远?(地面参照系？)(或：)mxOv大学物理学：动量定理与动量守恒定律13由质点动能定理mxOv(3)被摩擦损耗的能量等于一对摩擦力做的功以传送带为参考系：大学物理学：动量定理与动量守恒定律14有多少能量被摩擦所耗费?设有N个粒子，第i个物体，受到的外力为Fi

，内力（即粒子之间的相互作用）为fij

二、质点系的动量定理大学物理学：动量定理与动量守恒定律15·······ijFiPifijPj

fji对所有粒子求和则第

i粒子的运动方程共有N个方程········ijFiPifijfjiPj大学物理学：动量定理与动量守恒定律16依牛顿第三定律，因内力总是成对出现（fij

和

fji

）为质点系的总动量。为质点系所受到的合外力。大学物理学：动量定理与动量守恒定律17质点系的动量定理：或：与单个质点的动量定理形式上相同。大学物理学：动量定理与动量守恒定律18若（1）质点系所有质点不受外力；三、动量守恒定律(momentumconservationlaw)质点系总动量不随时间改变或（2）质点系所受合外力为零，——质点系动量守恒定律大学物理学：动量定理与动量守恒定律19大学物理学：动量定理与动量守恒定律201.合外力沿某一方向为零；可得到该方向上的动量守恒。（尽管总动量不守恒）注意2.在某些情况下，如碰撞、打击、爆炸等过程，外力与内力相比小很多。

在极短的时间内，外力的时间积累（冲量）相比之下可以忽略不计。我们可以有近似的动量守恒。大学物理学：动量定理与动量守恒定律213.动量定理只适用于惯性系4.在牛顿力学的理论体系中，动量守恒定律是牛顿定律的推论。但动量守恒定律是更普遍、更基本的定律，它在宏观和微观领域、低速和高速范围均适用。大学物理学：动量定理与动量守恒定律22[例4-3]光滑水平路面上，有一质量为m1=5kg的无动力小车以匀速率v0=2m/s向前行驶，小车由轻绳与另一质量为m2=25kg的车厢连结，车厢右端有一质量为m3=20kg的物体（可视为质点），物体与车厢的动摩擦因数为μ=0.2，开始物体静止在车厢上，绳子是松驰的．求：（1）当小车、车厢、物体以共同速度运动时，物体相对车厢的位移（设物体不会从车厢上滑下）；

（2）从绳拉紧到小车、车厢、物体具有共同速度所需时间．解：（1）（2）大学物理学：动量定理与动量守恒定律23[例4-4]

已知高H，傾角为的斜面光滑。小车质量

M，从顶端滑至中点时刚好有一钢球

m

从

h高度掉入。求小车到达底部时的速度V

?HhmM大学物理学：动量定理与动量守恒定律24H/2解：m、M

系统，冲击过程(M+m)gN重力在冲击过程中可以忽略，斜面方向动量守恒!HhmM大学物理学：动量定理与动量守恒定律25求小车到达底部时的速度V

?H/2冲击过程后，m、M、地球系统机械能守恒：解得：大学物理学：动量定理与动量守恒定律26HhmM求小车到达底部时的速度V

?[例4-5]

炮车、炮弹与反冲速度(recoilvelocity)大学物理学：动量定理与动量守恒定律27θ[例4-5]

炮车的质量为M，炮弹的质量为m。若炮车与地面有摩擦，摩擦系数为μ

,炮弹相对炮身的速度为u，求炮身相对地面的反冲速度

v

。解：选取炮车和炮弹组成系统内、外力分析。水平的动量守恒吗？xy大学物理学：动量定理与动量守恒定律28θ运用质点系的动量定理：x方向：y方向：xy大学物理学：动量定理与动量守恒定律29θ大学物理学：动量定理与动量守恒定律30讨论：1.若炮车与地面没有摩擦2.若炮车与地面有摩擦，但水平发射炮弹3.自锁现象，即v=0时大学物理学：动量定理与动量守恒定律31§4.2质心质心运动定理大学物理学：质心质心运动定理32一、质心质点系质量分布的平均位置，称为质点系的质量中心简称“质心”n个质点，质量：

m1，m2，，mn质心位置：位置矢量：

Czyx0大学物理学：质心质心运动定理33质心位置的分量式：连续体的质心位置：对于密度均匀，形状对称的物体，其质心都在它的几何中心。说明：大学物理学：质心质心运动定理34二、质心运动定理质心位置公式：结论：系统中各质点的动量之矢量和等于质心的速度乘以质点系的总质量。由质点系动量定理的微分式：大学物理学：质心质心运动定理35质心运动定理：质心的运动等同于一个质点的运动，这个质点具有质点系的总质量M，它受到的外力为质点系所受所有外力的矢量和。大学物理学：质心质心运动定理36质心的两个重要性质：系统在外力作用下，质心的加速度等于外力的矢量和除以系统的总质量。（2）系统所受合外力为零时，质心的速度为一恒矢量。（1）大学物理学：质心质心运动定理37Mearth=5.972×1024

kgMmoon=1/81Mearth[例4-6]有质量为m+M的弹丸，从地面以与水平线成a角斜抛出去，它在飞行到最高点处爆炸成沿水平方向运动、质量分别为m和M的两碎片。已知质量为m的碎片相对质量为M的碎片的速度为u，问质量为M的碎片落在何处。解：oxxMmMa大学物理学：质心质心运动定理38[例4-7]长为

L，质量均匀分布的柔性链子开始静止于一光滑表面ABC

上，其D

端至B

点的距离为

L-a，求当

D

端滑到B点时链子的速度。大学物理学：质心质心运动定理38§4.3碰撞问题

一、碰撞过程碰撞是自然界中十分普遍的现象，泛指一类“物体”间的“相互作用”。大学物理学：碰撞问题40E.Rutherford有可能结合在一起；或产生新的成份（如粒子间的碰撞）特点：“碰撞”前，无相互作用；

接近时发生相互作用；“碰撞”后，相互作用消失。大学物理学：碰撞问题41由于碰撞过程中（1）相互作用强，（2）力的形式复杂，（3）无法直接测量和记录碰撞过程。难以直接研究“碰撞”。但是：“碰撞”前后，“物体”的性质是容易测量的。通常根据“碰撞”前后“物体”性质的变化来研究“物体”间的相互作用性质。如：高能粒子对撞机可用来（1）产生新粒子，（2）研究粒子间的基本相互作用。大学物理学：碰撞问题421、弹性碰撞

二、碰撞分类按照“碰撞”前后“物体”的性质分类“碰撞”后的“物体”与“碰撞”前相同，且“物体”内部状态无变化。如：宏观物体无形变，无发热等；微观粒子（有内部结构）的状态同碰撞前。特点：“碰撞”前后“物体”总能量保持不变。（宏观物体指动能，微观粒子指广义能量）大学物理学：碰撞问题432、非弹性碰撞“碰撞”后的“物体”与“碰撞”前不相同;如：宏观物体有形变，有发热等；微观粒子（有内部结构）的状态不同于碰撞前，或产生新的粒子或“物体”内部状态有变化。非弹性碰撞的特点：“碰撞”前后“物体”总机械能不守恒。（对微观粒子指部分或全部机械能转化为内部能量）注意：力学部分的碰撞限于宏观物体的碰撞。大学物理学：碰撞问题44牛顿发现：碰撞后两球的分离速度(v2-v1)与碰撞前两球的接近速度(v10-v20)成正比，其比值与两球的材料构成性质有关，即e称为恢复系数(coefficientofrestitution)，其取值范围为大学物理学：碰撞问题45大学物理学：碰撞问题46由动量守恒和总动能守恒：

三、碰撞理论讨论限于两个质点的弹性碰撞和完全非弹性碰撞1、弹性碰撞:e=1这是弹性碰撞所应遵循的两个一般关系。大学物理学：碰撞问题47对一维碰撞：并设大学物理学：碰撞问题48仍向前运动；向后运动；速度互换。大学物理学：碰撞问题492、完全非弹性碰撞e=0以冲击摆为例：MlM+m碰撞前后，水平方向动量守恒：通常用来测量高速运动物体的速度。细绳张力始终垂直于其位移方向，不作功；只有重力作功机械能守恒:入射物体的速度：只需测量复摆所摆动的最大角度即可。大学物理学：碰撞问题50[例4-7]

光滑桌面上，质量为m1的小球以速度u

碰在质量为m2的静止小球上，u

与两球的连心线成θ

角(称为斜碰)。设两球表面光滑，它们相互撞击力的方向沿着两球的连心线，已知恢复系数为e，求碰撞后两球的速度。x、y方向动量分别守恒：解：oyx设碰后两球速度分别为v1、v2

恢复系数：大学物理学：碰撞问题51oyx讨论：两个质量相等的小球发生弹性斜碰：

m1=m2,e=1时，联立三个方程后求解，得：大学物理学：碰撞问题52解：(1)A球所受合外力的冲量[例4-8]光滑球盘上有两只光滑弹性小球A和B，质量均为m，半径为R，B球静止在盘壁边，A球以m/s的速度斜射至(-R，R)处与盘壁和B球同时碰撞,碰撞后，若A球的速度为，求:(1)A球所受合外力的冲量。(2)A，B组成的系统所受的合外力的冲量。(3)球与壁之间的恢复系数。(2)A，B系统所受合外力的冲量(3)球与壁之间的恢复系数xyAB大学物理学：碰撞问题53[例4-9]

如图所示，一个质量为m的小球以入射角与一粗糙的表面发生斜碰。已知小球与表面的摩擦系数为，恢复系数为e，求碰撞后小球的速度大小与方向。考虑小球，碰撞过程，忽略重力由动量定理：x：y：解：恢复系数：v,θx0y大学物理学：碰撞问题54§4-5相对论动量和能量基本出发点：基本规律在洛伦兹变换下形式不变；低速时回到牛顿力学大学物理学：相对论动量和能量55

仍定义动量动量守恒在Lorentz变换下保持不变利用质量、动量守恒可以推出一、动量和质量大学物理学：相对论动量和能量56考察两个全同小球的完全非弹性碰撞两个小球的孤立系统,动量守恒同时，惯性定律要求质心保持匀速直线运动孤立系统总质量守恒！推导过程如下：大学物理学：相对论动量和能量57SoS’AB（1）S系中B球静止，质量为A球运动，质量为（与速度u有关，称运动质量）（称静止质量）SoAB动量守恒碰撞后一起运动大学物理学：相对论动量和能量58（2）S系中A球静止，质量为B球运动，质量为SoS’ABS’O’AB碰撞后一起运动动量守恒大学物理学：相对论动量和能量59因vx

和vx’为S及S中对碰撞后两小球共同速度的描述大学物理学：相对论动量和能量60讨论由于空间的各向同性,质量与速度方向无关相对论动量大学物理学：相对论动量和能量61③④不可能！⑤只有在时才可能！PhotonNeutrino(?)讨论大学物理学：相对论动量和能量62大学物理学：相对论动量和能量63二、相对论动力学方程式中在同一惯性系——按照Lorentz

变换变化。——按照关系式变化。大学物理学：相对论动量和能量64由得两式联立求得：大学物理学：相对论动量和能量65讨论

不仅取决于

还取决于

若与牛二定律形式相同惯性的量度但大学物理学：相对论动量和能量66③对于一维运动,所施力为一恒力,则:讨论加速器的主要困难大学物理学：相对论动量和能量67三、相对论能量1、相对论动能经典力学中的动能定理应该是成立的设计质点从静止开始（动能为零），通过外力作功，使动能增加大学物理学：相对论动量和能量68<<讨论大学物理学：相对论动量和能量69——与运动有关的能量静止时的能量（restenergy）除动能以外的能量2、相对论总能量总能量总能量与物体质量成正比大学物理学：相对论动量和能量70（1）当动能由物体质量由反之亦然！物体动能的变化必然伴随着质量的变化；质量的变化必然也伴随着动能的变化！讨论大学物理学：相对论动量和能量71（2）Einstein对关系式

的意义大胆推广！认为：它不仅适用于动能，而且还适用于总能量注意：能量和质量的变化为广义的，包括任何形式的能量和质量变化质能关系式讨论大学物理学：相对论动量和能量72（3）静能总的内部能量（internalenergy）包括：1、物质内部分子热运动能量2、物质分子和原子的内聚能(cohesionenergy)3、原子内部的电子激发能(excitedenergy)4、核内结合能(nuclearbondenergy)上述各种能量占总静能的1％例外：

，99％的能量不为人所知，不能被利用！讨论大学物理学：相对论动量和能量73四、相对论的动量能量关系式大学物理学：相对论动量和能量74五、光子对于光子，静质量为零,设光子能量大学物理学：相对论动量和能量75[例4-10]两全同粒子以相同的速率相向运动，碰后复合。求：复合粒子的速度和质量解：设复合粒子质量为M

速度为由能量（质量）守恒>损失的动能部分地转换成静能。碰撞过程，动量守恒大学物理学：相对论动量和能量76§4.6角动量与角动量定理大学物理学：角动量与角动量定理77一、力矩(Torque)力是物体运动状态改变的原因；力可使物体产生平动或转动。平动力转动？力矩遵从牛顿2nd定律遵从什么规律？遵从角动量定理大学物理学：角动量与角动量定理78d力矩：设力在垂直于转轴的平面内还与力的方向（作用线到转轴的距离）有关。不仅与力的大小有关，考虑到力矩与转动的方向，定义：o称为力对转轴的力矩大学物理学：角动量与角动量定理78forFM力对参考点O的力矩：为参考点到力的作用点的有向线段力矩方向由确定。力矩大小：这种定义适用于质点绕固定点的转动。大学物理学：角动量与角动量定理80rFMzFrOM平面

z轴·二、角动量类似于力矩的定义，可定义质点对参考点的角动量：角动量大小L单位：kgm2/s或Js大学物理学：角动量与角动量定理81Ｏ质点匀速率圆周运动注意：同一质点相