哥德巴赫猜想

应用数学系1002韩怡茹指导老师：辛京奇哥德巴赫猜想的历史与发展哥德巴赫猜想，费马猜想与四色猜想是世界三大猜想。哥德巴赫猜想是与质数有关的著名猜想。自猜想提出来到现在还没有完全被证明。但在证明的过程中无数数学家为之做出贡献，特别是我国数学家华罗庚，王元，潘承洞，陈景润等为猜想做出了全世界为之钦佩的贡献。在这个想的证明上我国走在前列。值得我们了解这个猜想和这些数学家。引言目录一、哥德巴赫猜想的简介二、哥德巴赫猜想的证明历程三、哥德巴赫猜想的研究方法四、哥德巴赫猜想的研究过程中的一些奇闻异事五、哥德巴赫猜想的现状与困难一、哥德巴赫猜想的简介哥德巴赫

哥德巴赫（GoldbachC.),出生于1690.3.18出生于德国，后定居于俄国.曾在英国牛津大学学习；原学法学，由于在欧洲各国访问期间结识了伯努利家族，所以对数学研究产生了兴趣；哥德巴赫(C.Goldbach)并不是职业数学家，而是一个喜欢研究数学的富家子弟.从小受过很好的教育.哥德巴赫喜欢到处旅游，结交数学家，然后跟他们通讯.1742年，他在给好友欧拉的一封信里陈述了他著名的猜想——歌德巴赫.成为关于数学的一场革命.一、哥德巴赫猜想的简介哥德巴赫猜想

1729年~1764年，哥德巴赫与欧拉保持了长达三十五年的书信往来。在1742年6月7日给欧拉的信中，哥德巴赫提出了以下的猜想:(a)任何一个≥6的偶数，都可以表示成两个奇质数之和。(b)任何一个≥9的奇数，都可以表示成三个奇质数之和。

这就是所谓的哥德巴赫猜想。

我们把猜想（A）称为“关于偶数的哥德巴赫猜想”，亦称为

“强哥德巴赫猜想”，把猜想（B）称为“关于奇数的哥德巴赫猜想”，亦称为“弱哥德巴赫猜想”.由于2n+1=2(n+1)+3,所以，从猜想（A）的正确性就立即推出猜想（B）亦是正确的.二、哥德巴赫猜想的证明历程1、弱哥德巴赫猜想的研究

所谓弱哥德巴赫猜想问题是指：每一个充分大的自然数，都可以表示成不超过k个素数之和，后来有人明确估计出k≤80万，这方面取得的成就可见下表：二、哥德巴赫猜想的历史进程二、哥德巴赫猜想的历史进程2、殆素数的步步攻破

殆素数就是素因子个数不多的正整数。现设N是偶数，虽然现在不能证明N是两个素数之和，但是可以证明它能够写成两个殆素数的和，即N=A+B，其中A和B的素因子个数都不太多，譬如说素因子个数不超过10。现在用“a+b”来表示如下命题：每个大偶数N都可表为A+B，其中A和B的素因子个数分别不超过a和b。显然，哥德巴赫猜想就可以写成“1+1”。在这一方向上的进展都是用所谓的筛法得到的。二、哥德巴赫猜想的历史进程a+b问题的推进1920年，挪威的布朗证明了“9+9”。1924年，德国的拉特马赫证明了“7+7”。1932年，英国的埃斯特曼证明了“6+6”。1937年，意大利的蕾西先后证明了“5+7”,“4+9”,“3+15”和“2+366”。1938年，苏联的布赫夕太勃证明了“5+5”。1940年，苏联的布赫夕太勃证明了“4+4”。1956年，中国的王元证明了“3+4”。稍后证明了“3+3”和“2+3”。二、哥德巴赫猜想的历史进程1948年，匈牙利的瑞尼证明了“1+c”，其中c是一很大的自然数。1962年，中国的潘承洞和苏联的巴尔巴恩证明了“1+5”，中国的王元证明了“1+4”。1965年，苏联的布赫夕太勃和小维诺格拉多夫，及意大利的朋比利证明了“1+3”。1966年，中国的陈景润证明了“1+2”。陈景润及其家人二、哥德巴赫猜想的历史进程王元（1930—

），是我国著名数学家，华罗庚数学奖得主.他是中国科学院数学研究所的研究员.生于浙江兰溪一个知识分子的家庭，很早就受到启蒙教育

.1948年，王元高中毕业考入浙江英士大学数学系.浙大的教学环境激发了王元对数学真正的兴趣.大学四年级时他在读书讨论班上报告了A·E·英哈姆的《素数分布论》.1952年，王元从浙江大学毕业，因成绩名列前茅，被推荐到中国科学院数学研究所，一年后又被分配到该所数论组师从华罗庚先生.从此，他与华先生结下了不解之缘，风风雨雨30多年，他自己也成长为一代著名数学家.五十年代至六十年代初，他首先将解析数论中的筛法用于哥德巴赫猜想的研究，并证明了命题3＋4.1957年又证明了2＋3.王元证明的2+3表示的是：每个充分大的偶数都可以表示成至多两个质数的乘积再加上至多3个质数的乘积.其缺点在于两个相加的数中，还没有一个肯定为质数的，这个“2”与“3”都是指“殆素数”意思是很像素数.这是中国学者首次在这一研究领域跃居世界领先的地位.其成果为国内外有关文献频繁引用.此时的王元只有27岁.潘承洞，我国数学家，数学教育家.在解析数论研究方面有突出的贡献.主要成就涉及算数数列中的最小素数、哥德巴赫猜想研究等领域.学术造诣深厚，专长于节系数轮的研究，尤以哥德巴赫猜想的卓越研究成就为中外数学家所赞誉，与当代著名数学家华罗庚、王元、陈景润一起被国际数学界称之为中国数论派洞的代表.196l～1965年，主要从事被誉为数学王冠上的明珠的哥德巴赫猜想的研究。1961年证明了(1十5)，发表论文《表大偶数为素数及一个素数因子不超过5个的数之和》；1963年又证明了(1十4)，发表论文《表大偶数为素数与一个不超过4个素数乘积之和》。这些成果使中国在哥德巴赫猜想的研究中处于世界领先地位，被国际数学界公认为实现了哥德巴赫猜想研究的关键性突破。陈景润是我国福建人，1933年出生于福州市郊的一个邮政局职员家里.由于刻苦努力，他在1949年高中未毕业就以同等学历考入了厦门大学.1953年毕业，去北京当中学教师.1954年厦门大学校长王亚南将陈景润调回厦门大学数学系资料室当资料员，为他致力数学研究提供了方便.陈景润认真钻研华罗庚教授的《堆垒素数论》和《数论导引》，他的第一篇论文是关于华林问题，深得华罗庚教授的赞赏，于1597年他被再次调到北京，在中国科学院数学所工作，1981年当选为中国科学院学部委员.华罗庚，1910年出生于江苏省金坛县，这位中国最杰出的数学家，一生充满了传奇.他是蜚声海外的数学家，他的研究成果被翻译成多种文字而闻名于世，但他的学历竟然只是初中毕业，而且在初中一年级时数学成绩不及格；他是个残疾人，早年因伤寒而左腿残疾，并在特殊年代受过冲击，但他硬是靠坚韧的意志，将他的应用科学搞得有生命有色彩；抗战时期，他在艰苦的环境下，靠着小油灯微弱的光线，研究出世界上最优秀的数学成果；而在新中国成立初期，他又毅然放弃国外优厚的待遇，满腔热情地回国效力；他不仅自己成果不断，而且发现和培养了中国几位接触的数学家，如陈景润、杨乐、张广厚……

华罗庚是我国最早从事哥德巴赫猜想的数学家.1936～1938年，他赴英国剑桥大学留学，在哈代的指导下从事数论研究，并开始研究哥德巴赫猜想，取得了很好的成果，证明了对于“几乎所有”的偶数，猜想（B）都是正确的.1950年，华罗庚从美国回国，在中科院数学研究所组织数论研究讨论班，选择哥德巴赫猜想作为讨论的主题，倡议并指导他的一些学生研究这一问题.参加这个数论讨论班的学生有王元、潘承洞和陈景润等.华罗庚与他的学生们三、哥德巴赫猜想研究的方法1、圆法

对于“哥德巴赫猜想”，圆法是将它转化为求方程N=P+Q（P,Q≥3）的素数解问题.虽然哈代和李特伍德没有能够证明任何无条件的结果，但是他们创造的圆法及其初步探索，是对哥德巴赫猜想和解析数论的极为重要的贡献，指出了一个很有成功希望的研究方向.三、哥德巴赫猜想研究的方法2、筛法

筛法是以一种用为寻求素数的十分古老的方法，它是由两千多年前的希腊学家厄拉多塞所创造的，称为厄拉多塞筛法.直到1920年前后，才有布隆首先对厄拉多塞筛法做了具有价值的改进，并利用他的方法证明了命题9+9这一惊人的结果，从此开辟了利用筛法研究猜想（A）及其他许多数论的极为广泛且成果的新途径.布朗对数论的发展做出了巨大的贡献.人们称他的方法为布朗筛法.三、哥德巴赫猜想的研究方法3、密率

密率是史尼雷尔曼在1930年首先提出的关于自然数集合的一个十分重要的基本概念.密率理论有着非常广泛的应用.1933年史尼雷尔曼就利用他的密率理论和布朗筛法证明了猜想（c）,但他没有确定其中的常数k.如果我们用s表示最小的整数，使每一个充分大的整数都可以表示为不超过s个素数之和（s通常被称为史尼雷尔曼常数），那么用史尼雷尔曼的方法可以证明s≤800000，后来这一结果得到了不断的改进.四、哥德巴赫猜想研究过程中的奇闻异事1、维诺格拉多夫与华罗庚

从20世纪30年代起，华罗庚在数论领域的研究工作受到了维诺格拉多夫的深刻影响.I.M.维诺格拉多夫是前苏联科学院院士，20世纪杰出的数论大师之一，维氏曾帮助年轻的华罗庚出版了数论专著《堆垒素数论》，并于1946年邀请华罗庚访问了苏联，对华罗庚的数学工作与才能极为赏识。华罗庚对维诺格拉多夫也抱着尊敬、感激之情。维诺格拉多夫比华罗庚大约20岁，他们结成了忘年之交，这种学术友谊，已成为中俄数学交流史上不可磨灭的一页。

华罗庚与维诺格拉多夫长期保持着通信联系.1946年3月至5月，华罗庚应维诺格拉多夫的邀请，由苏联对外文化协会安排访问了苏联.访苏期间，华罗庚与维诺格拉多夫进行了深入的学术切磋，并广泛接触了苏联文化、知识界.华罗庚的研究工作受到苏联同行的高度评价，他被誉为“一位最年轻的对数学极有贡献的数学家.我们由此可以看到这个古老的国家，其前途充满着朝气和光明.”在访问结束离苏前夕，华罗庚给维诺格拉多夫写了一封书面道谢信：华罗庚于1946年5月25日从苏联经伊朗、印度回到昆明，同年7月又从上海乘船飘洋，赴美国访问。在离开中国前夕，华罗庚给维诺格拉多夫写了一封信：华罗庚赴美后，先在普林斯顿高等研究院做研究，同时在普林斯顿大学兼教。他抵达普林斯顿不久，即致维诺格拉多夫一函：自1946年访苏以后，华罗庚每迁一地，似乎都习惯于给维诺格拉多夫写封信。甚至1948年6月间他到英国作短期访问时，也从剑桥给维诺格拉多夫寄去了一张问候明信片：1950年2月，华罗庚放弃了他在美国伊利诺大学的终身教授职位，毅然回到中国，并在返国途中发表了著名的《致中国全体留美学生的公开信》。回国后不久，他即于4月12日给维诺格拉多夫写了一封意气奋发的长信：四、哥德巴赫猜想研究过程中的奇闻异事2、华罗庚慧眼识陈景润

华罗庚是我国最早研究哥德巴赫猜想的数学家。他于1950年刚回国时，在数学所内开办了几个讨论班，以哥德巴赫猜想为主攻方向，陈景润最初并不在这个讨论班里，甚至不在数学所里，他于1950年至1953年间在厦门大学数学系上学时，一位法国教授看他对数论有兴趣，就介绍他念华罗庚的专著《堆垒素数论》。陈景润并不是常人眼中的那种天才，然而却有着无比的勤奋和顽强的毅力，他把《堆垒素数论》拆开成一页一页的，把每一页都念得滚瓜烂熟，了然于心，融会贯通。这正合了华罗庚所说的“勤能补拙是良才，一份辛苦一分才”。

经过一遍一遍的硬抠，陈景润终于在《堆垒素数论》的字里行间发现了可以改进的地方，他把自己钻研的心得写信告诉华罗庚，华罗庚仔细琢磨陈景润的信后，十分赞叹.1957年，华罗庚把陈景润调到数学所，使得陈景润在自己的栽培下茁壮成长，30年代初，清华大学的熊庆来、杨武之等教授慧眼识华罗庚，50年代华罗庚又慧眼识陈景润，中国现代科学史上的这两段佳话何其相似，又跟中国数论学派的出现与贡献紧密相连.3、哥德巴赫猜想研究的热潮1978年《人民文学》在第一期上发表了著名作家徐迟的报告文学《哥德巴赫猜想》.使徐迟、陈景润等人始料不及的是，《哥德巴赫猜想》一文发表后，难以数计的中国人加入了证明这一猜想的行列.他们都想摘取这颗数学皇冠上的明珠.王元先生说，《哥德巴赫猜想》发表后，他和陈景润不知收到了多少封讨论哥德巴赫猜想的来信，也不知有多少人宣称已经解决了这个问题.时至今日，中国科学院数学所几乎每天还能收到这样的来信.在数学所业务处，记者看到好几大纸箱的讨论猜想的来信.王元先生说，有许多人来信与他讨论哥德巴赫猜想，有的人不分昼夜还往他家里打电话讨论，更有甚者，有人不知怎么知道了王元家的地址，上门非要与王元讨论哥德巴赫猜想，弄得王元哭笑不得.面对纷至沓来的“哥德巴赫猜想论文”，中科院数学研究所杨乐院士等大数学家不得不通过媒体，语重心长的告诫对哥德巴赫从猜想着了魔，废寝忘食，昼夜不舍的盲目乱猜的人，说他们的研究没有任何结果，也影响了自己的本职工作，劝他们别做无用功了。五、哥德巴赫猜想的困难和现状1、哥德巴赫猜想的现状“近20年来，哥德巴赫猜想的证明没有本质进展.”陈景润在这项工作上取得的进展是迄今为止最好的求证结果，目前还没有更大的突破.2、哥德巴赫猜想的困难数学家自1920年应用布朗筛法获得了一些成就。但这些结果都不是猜想原题所要证明的，他们也只是向猜想原题证明的靠近.而对猜想原题的证明至今数学界还很少有人涉足。以华罗庚为首的数学家表示“显然，利用陈景润的加权筛法不可能证明（1,1）”筛法证明的不是哥德巴赫猜想原题，而是挪威数学家布朗改进的命题，两者题意有着本质的不同.3、我国数学家对哥德巴赫猜想的贡献著名数学家华罗庚作为我国最早研究