结构力学第五章位移计算

第五章静定结构位移计算

DisplacementofStaticallyDeterminateStructures§5-1结构位移计算概述

A位移转角位移线位移A点线位移A点水平位移A点竖向位移A截面转角Fp1.结构的位移(DisplacementofStructures)AFp引起结构位移的原因制造误差等荷载温度改变支座移动还有什么原因会使结构产生位移?为什么要计算位移?2.计算位移的目的铁路工程技术规范规定:(1)刚度要求在工程上，吊车梁允许的挠度<1/600跨度；桥梁在竖向活载下，钢板桥梁和钢桁梁最大挠度<1/700和1/900跨度高层建筑的最大位移<1/1000高度。最大层间位移<1/800层高。(2)超静定、动力和稳定计算(3）施工要求3.本章位移计算的假定4.计算方法(3)理想联结(IdealConstraint)。叠加原理适用（principleofsuperposition)(1)线弹性(LinearElastic),(2)小变形(SmallDeformation),

单位荷载法

(Dummy-UnitLoadMethod)§5-2变形体虚功原理

(PrincipleofVirtualWork)1.功(Work)、实功(RealWork)和虚功(VirtualWork)功：力对物体作用的累计效果的度量功=力×力作用点沿力方向上的位移实功：力在自身所产生的位移上所作的功虚功：力在非自身所产生的位移上所作的功力状态位移状态（虚力状态）（虚位移状态）注意：（1）属同一体系；（2）均为可能状态。即位移

应满足变形协调条件；

力状态应满足平衡条件。（3）位移状态与力状态完全无关；2.广义力(Generalizedforce)广义位移(Generalizeddisplacement)一个力系作的总虚功W=Σ[FP×]FP---广义力;---广义位移例:1)作虚功的力系为一个集中力2)作虚功的力系为一个集中力偶3)作虚功的力系为两个等值反向的集中力偶4)作虚功的力系为两个等值反向的集中力3.变形体的虚功原理（1）质点系的虚位移原理具有理想约束的质点系，在某一位置处于平衡的必要和充分条件是：ΣFiδri=0→→.对于任何可能的虚位移，作用于质点系的主动力所做虚功之和为零。也即（2）刚体系的虚位移原理

去掉约束而代以相应的反力，该反力便可看成外力。则有：刚体系处于平衡的必要和充分条件是：对于任何可能的虚位移，作用于刚体体系的所有外力所做虚功之和为零。FPΔ2Δ3Δ/2原理的表述：

任何处于平衡状态的变形体，当发生任意满足变形连续条件的位移时，变形体所受外力在上述位移上所作的总虚功δWe，恒等于变形体各微段外力在微段变形位移上作的虚功之和δWi。也即恒有如下虚功方程成立:δWe=δWi（3）变形体的虚功原理4.虚功原理的两种应用(1)虚功原理用于虚设的协调位移状态与实际的平衡力状态之间。例.求A端的支座反力(ReactionatSupport)。解：去掉A端约束并代以反力X，构造相应的虚位移状态.ABaC(a)bFPX(b)FP(c)直线待分析平衡的力状态虚设协调的位移状态由外力虚功总和为零，即：将代入得:通常取单位位移法(Unit-DisplacementMethod)(1)对静定结构，这里实际用的是刚体虚位移原理，实质上是实际受力状态的平衡方程(2)虚位移与实际力状态无关,故可设(3)求解时关键一步是找出虚位移状态的位移关系。(4)用几何法来解静力平衡问题例.求A端支座发生竖向位移c时引起C点的竖向位移.(2)虚功原理用于虚设的平衡力状态与实际的协调位移状态之间。解：首先构造出相应的虚设力状态。即，在拟求位移之点（C点）沿拟求位移方向（竖向）设置单位荷载。ABaCbc1ABC由求得：解得：这就是著名的单位荷载法

(Dummy-UnitLoadMethod)(1)所建立的虚功方程,实质上是几何方程。(2)虚设的力状态与实际位移状态无关，故可设单位广义力FP=1(3)求解时关键一步是找出虚力状态的静力平衡关系。(4)是用静力平衡法来解几何问题。虚功方程为：单位位移法的虚功方程平衡方程单位荷载法的虚功方程几何方程第一种应用一些文献称为“虚位移原理”，而将第二种应用称为“虚力原理”。更确切的说法为，两种应用的依据是上述两原理的必要性命题。上述两原理都是充分、必要性命题，它们和虚功原理是有区别的。

虚位移原理:一个力系平衡的充分必要条件是:对任意协调位移,虚功方程成立.虚力原理:一个位移是协调的充分必要条件是:对任意平衡力系,虚功方程成立”。§5-3静定结构支座移动时的位移计算

(AnalysisofDisplacementsinaStaticallyDeterminateStructuresInducedbySupportMovement)K1K由刚体虚功原理:计算公式为:例1：求CBAFP=1解：构造虚设力状态CBAll解：构造虚设力状态()例2：已知l=12m,h=8m,,求§5-4荷载作用产生的位移计算求k点竖向位移:由变形体虚功方程:变形协调的位移状态(FP)平衡的力状态(F=1)δWe=δWi微段弯曲δWi

的计算:微段(虚)外力:

微段(实际)变形可看成由如下几部分组成:（4）变形体虚功方程的展开式微段剪切微段拉伸位移计算一般性公式为:对于由线弹性平面杆件组成的结构受荷载作用，有：一般性公式的普遍性表现在以下几方面：（1）从变形类型看:可考虑拉压、剪、弯、扭；（2）从变形因素看：荷载、支座移动、装配误差、温度改变等外因引起的位移均可；

（3）从结构类型看：可用于各类结构；（4）从材料性质看：既可用于线弹性又可用于非线弹性材料。制造误差引起的位移计算每个上弦杆加长8mm求由此引起的A点竖向位移例1：已知图示粱的E、G,求A点的竖向位移。解：构造虚设单位力状态.l对于细长杆,剪切变形对位移的贡献与弯曲变形相比可略去不计.位移方向是如何确定的?例2：求曲梁B点的竖向位移(EI、EA、GA已知)ROBAFPFP=1RθFPRθ解：构造虚设的力状态如图示

小曲率杆可利用直杆公式近似计算轴向变形剪切变形对位移的影响可略去不计1.梁与刚架2.位移计算公式2.桁架3.组合结构4.拱这些公式的适用条件是什么?解：例:求图示桁架(各杆EA相同)k点水平位移.FPFi练习:求图示桁架(各杆EA相同)k点竖向位移.FPFi第五章位移计算作业（一）作业P199-P2015-25-45-65-75-85-95-11课外思考:P195-P1965-1~5-7,5-9~5-10交作业时间:下周二例:1)求A点水平位移

所加单位广义力与所求广义位移相对应,该单位广义力在所求广义位移上做功。3.单位力状态的确定2)求A截面转角3)求AB两点相对水平位移4)求AB两截面相对转角BA(b)试确定指定广义位移对应的单位广义力。A(a)FP=1FP=1FP=1ABCd(c)ABC(d)试确定指定广义位移对应的单位广义力。AB(e)FP=1FP=1C(f)左右=？FP=1FP=1试确定指定广义位移对应的单位广义力。FP=1(g)A(h)ABFP=1FP=1试确定指定广义位移对应的单位广义力。§5-5图乘法及其应用

(GraphicMultiplicationMethodanditsApplications)在杆件数量较多的情况下要逐个计算定积分是件很麻烦的事,不方便。下面介绍计算位移的图乘法：刚架与梁的位移计算公式为：1.图乘法(对于等截面杆)(对于直杆)图乘法求位移公式为:图乘法的适用条件是什么?例.试求图示梁B端转角.解:MPM为什么弯矩图在杆件同侧图乘结果为正?例.试求图示结构B点竖向位移.解:MPM2.几种常见图形的面积和形心位置的确定方法Ch二次抛物线图（

）图BAq例:求图示梁(EI=常数,跨长为l)B截面转角解:3.图形分解求MPM求MPM当两个图形均为直线图形时取那个图形的面积均可MP求M取yc的图形必须是直线不能是曲线或折线能用Mi图面积乘MP图竖标吗?求MPM求MPM求C截面竖向位移MPM图乘法小结1.图乘法的应用条件：（1）等截面直杆，EI为常数；（2）两个M图中应有一个是直线；（3）应取自直线图中。2.若与在杆件的同侧，取正值；反之，取负值。3.如图形较复杂，可分解为简单图形.4.应用举例例1.已知EI为常数，求C、D两点相对水平位移。lqhqMP解：作荷载弯矩图和单位荷载弯矩图例2.已知EI为常数，求铰C两侧截面相对转角。解：作荷载弯矩图和单位荷载弯矩图lqllqMP例3.已知EI为常数，求A点竖向位移。解：作荷载弯矩图和单位荷载弯矩图qlllqMP例4.图示梁EI为常数，求C点竖向位移。l/2ql/2MP例4.图示梁EI为常数，求C点竖向位移。l/2ql/2MP例4.图示梁EI为常数，求C点竖向位移。l/2ql/2MPlFPlFPl图示结构EI为常数，求AB两点(1)相对竖向位移,(2)相对水平位移,(3)相对转角。MP练习1111对称弯矩图反对称弯矩图

对称结构的对称弯矩图与其反对称弯矩图图乘,结果为零.11作变形草图FPFP11绘制变形图时，应根据弯矩图判断杆件的凹凸方向，注意反弯点的利用。如：求B点水平位移。练习解：作荷载弯矩图和单位荷载弯矩图MPll注意:各杆刚度可能不同

已知EI为常数，求C、D两点相对水平位移,并画出变形图。MP解：作荷载弯矩图和单位荷载弯矩图lqlq

已知EI为常数，求B截面转角。MP解：作荷载弯矩图和单位荷载弯矩图M解：作荷载弯矩图和单位荷载弯矩图求B点竖向位移,EI=常数。lFPllMP1M练习解：作荷载弯矩图和单位荷载弯矩图求C、D两点相对水平位移。lllMP已知：E、I、A为常数，求。ABCFPaD解：作荷载内力图和单位荷载内力图ABCFpaDABC1aD若把二力杆换成弹簧,该如何计算?B支座处为刚度k的弹簧，该如何计算C点竖向位移？ABCk=1FPABCk有弹簧支座的结构位移计算公式为:练习解：作荷载弯矩图和单位荷载弯矩图求A点竖向位移,EI=常数。MPlllAkk§5-6静定结构温度变化时的位移计算

(AnalysisofDisplacementsinaStaticallyDeterminateStructuresInducedbyTemperatureChanges)变形体虚功方程为:δWe=δWi

δWe=1ΔkP其中:荷载作用求K点竖向位移回顾:微段弯曲We=Δkt温度作用求K点竖向位移关键是计算微段的温度变形微段的温度变形分析设温度沿杆件截面高度线性变化，杆轴温度，上、下边缘的温差,线膨胀系数为。无剪应变若无剪应变温度引起的位移计算公式:对等截面直杆:上式中的正、负号：若和使杆件的同一边产生拉伸变形，其乘积为正。例：刚架施工时温度为20，试求冬季外侧温度为-10，内侧温度为0时A点的竖向位移。已知

l=4m,,各杆均为矩形截面杆，高度h=0.4m解:(1)计算轴线温度和两側温度差构造虚拟状态MFN(2)构造虚拟状态(3)计算位移例：