经济数学建模

第二章微分方程与差分方程模型模型一利率模型一、单利模型设年利率为r,初始资金量为S0,n年后资金量为Snn年后的本利和为二、复利模型1、离散型复利模型每年结算一次，n年后的本利和为每年结算m次，n年后的本利和为2、连续型复利模型连续结算（瞬时结算），n年后的本利和为三、现值模型1、单利现值模型若n年后的资金量是Sn,则初期的资金量为在现值模型中，年利率r也称为折现率2、复利现值模型每年折现一次，若n年后的资金是Sn,则初期的资金为每年折现m次，若n年后的资金量是Sn,则初期的资金量为连续折现,若n年后的资金量是Sn,则初期的资金量为模型二生猪出售问题饲养场每天投入4元资金，用于饲料、人力、设备，估计使当前80千克重的生猪每天增加2公斤。问题市场价格目前为每千克8元，但是预测每天会降低0.1元，问生猪应何时出售。如果估计和预测有误差，对结果有何影响。分析投入资金使生猪体重随时间增加，出售单价随时间减少，故存在最佳出售时机，使利润最大求t使Q(t)最大10天后出售，可多得利润20元建模及求解生猪体重w=80+rt出售价格p=8-gt销售收入R=pw资金投入C=4t利润Q=R-C=pw-C生猪的增长速度r=2，若当前出售，利润为80×8=640（元）t天出售=10Q(10)=660>640收购价格降低速度g=0.1敏感性分析研究r,g变化时对模型结果的影响估计r=2，g=0.1设g=0.1不变t对r的（相对）敏感度生猪每天体重增加量r增加1%，出售时间推迟3%。rt敏感性分析估计r=2，g=0.1研究r,g变化时对模型结果的影响设r=2不变t对g的（相对）敏感度生猪价格每天的降低量g增加1%，出售时间提前3%。gt模型三森林救火问题森林失火后，要确定派出消防队员的数量。队员多，森林损失小，救援费用大；队员少，森林损失大，救援费用可能更大。综合考虑损失费和救援费，确定队员数量。问题分析问题记队员人数x,失火时刻t=0,开始救火时刻t1,灭火时刻t2,时刻t森林烧毁面积B(t).

损失费f1(x)是x的减函数,由烧毁面积B(t2)决定.

救援费f2(x)是x的增函数,由队员人数和救火时间决定.存在恰当的x，使f1(x),f2(x)之和最小

关键是对B(t)作出合理的简化假设.问题分析失火时刻t=0,开始救火时刻t1,灭火时刻t2,画出时刻t森林烧毁面积B(t)的大致图形t1t20tBB(t2)分析B(t)比较困难,转而讨论森林烧毁速度dB/dt.模型假设3）f1(x)与B(t2)成正比，系数c1(烧毁单位面积损失费）1）0tt1,dB/dt

与t成正比，系数

(火势蔓延速度）2）t1tt2,降为-x

(为队员的平均灭火速度）4）每个队员的单位时间灭火费用c2,一次性费用c3假设1）的解释rB火势以失火点为中心，均匀向四周呈圆形蔓延，半径r与t成正比面积B与t2成正比，dB/dt与t成正比.模型建立b0t1tt2假设1）目标函数——总费用假设3）4）假设2）模型应用c1,c2,c3已知,t1可估计,

c3,x

结果解释c1~烧毁单位面积损失费,c2~每个队员单位时间灭火费,c3~每个队员一次性费用,t1~开始救火时刻,~火势蔓延速度,~每个队员平均灭火速度.

,可设置一系列数值由模型决定队员数量x

c1,t1,

x模型四产品销售问题（扩展）一、独家耐用产品销售模型

一种耐用新产品进入市场后，一般会经过一个销售量先增加，然后下降的过程，称为产品的生命周期，简记为PLC。PLC曲线可能有若干种情况，其中有一种为钟型，建立数学模型分析此现象。问题分析商品信息传播一般有两个途径：消费者外部信息:广告、亲眼看到商品等。消费者内部信息:部分人使用并有所评价,使周围人了解到有关产品信息。

由于是耐用消费品，所以一般不会重复购买，故产品累计销售量可以认为是购买者人数。建模与求解

设K为潜在的消费者总数。n(t)为t时刻购买该产品的人数，在[t,t+Δt]中，Δn由两部分组成，Δn1是由来自消费者外部的产品信息导致的购买者增量；Δn2

是由来自消费者内部传播的产品信息导致的购买者增量。

⊿n1应与未购买者人数成正比，即

⊿n2应与已购买者人数、未购买者人数之积成正比，即

（a，b>0为比例系数）

在[t,t+Δt]中，Δn总数为所以销售量的数学模型为:其曲线即为PLC曲线，它的图形为钟型。

二、两家竞争的销售模型假设1、两家企业销售同一种商品，而市场容量是有限的，设t时刻的市场容量为M(t).2、设N(t)是t时刻市场的潜在销量，分别是甲厂和乙厂的销量。3、甲、乙两厂销量的变化率都与潜在的市场销量N(t)成正比。建立模型将（1）、（2）两式相除并两端积分：将上式代入（3），再代入（1），得不妨假设市场容量函数为tt0M(t)解得其中都是常数。由此可见，甲、乙两厂的销售模型是同一类型。同理模型五最优价格问题设某电视机厂生产一台电视机的成本为c,每台电视机的销售价格为p,销售量为x。假设该厂的生产处于平衡状态，即电视机的生产量等于销售量。根据市场预测,销售量x与销售价格p之间有如下关系：其中M为市场最大需求量，a是价格系数。同时，生产部门根据对生产环节的分析，对每台电视机的生产成本c有如下测算：其中c0是只生产一台电视机的成本,k是规模系数。根据上述条件，应该如何确定电视机的销售价格p,

才能使该厂获得最大利润？分析：在生产和销售商品过程中，商品销售量、生产成本与销售价格是相互影响的。厂商只有选择合理的销售价格最优价格,才能获得最大利润。设厂家获得的利润为u,每台电视机的生产成本为c,销售价格为p,销售量为x,则利润函数为

u=(p-c)x(3)问题变化为在条件(1)(2)下求