单辉祖工力-15压杆稳定

第十五章压杆稳定问题R构件除了强度、刚度失效外，还可能发生稳定失效。例如AB平衡形式的突然变化，统称为稳定失效，简称为失稳或屈曲。工程中的柱、桁架中的压杆、薄壳结构及薄壁容器等，在有压力存在时，都可能发生失稳。§13-1引言§13-2压杆稳定的概念“稳定”和“不稳定”是指物体的平衡性质而言。

非稳定平衡：处于凸面的球体，受到微小干扰后，将偏离其平衡位置，不再恢复原位。该球的平衡是不稳定的。WNWN

稳定平衡：球受到微小干扰，偏离其平衡位置后，经过几次摆动，会重新回到原来的平衡位置。受压直杆的平衡性质问题：使中心受压直杆的直线平衡形式，由稳定平衡转变为不稳定平衡时所受的轴向压力，称为临界载荷，或简称为临界力，用Pcr表示。压杆必须处于稳定的直线平衡状态，因而压杆以临界力作为其极限承载能力。PPP>PcrQPP>PcrPPQfPfP=Pcr分叉现象稳定平衡状态非稳定平衡状态P>Pcr§13-3压杆的临界载荷—欧拉临界力

静力法：以两端铰支的中心受压直杆为例，说明确定临界力的基本方法。在图示坐标系中，根据小挠度近似微分方程，得到令得微分方程此方程的通解为利用杆端的约束条件x=0，y=0，得B=0，即 y=Asinkx又x=l，y=0而A≠0。只有sinkl=0要求kl=nπ（n=1，2，···）得到yxlPyPM(x)=Pyxxy已解得实际工程中有意义的是最小的临界力值，即n=1时Pcr的值：需要指出，欧拉公式的推导中应用了弹性小挠度微分方程，因此公式只适用于弹性稳定问题。

Pcr：欧拉临界力。———欧拉公式

Pcr与抗弯刚度EI成正比，与杆长L的平方成反比。压杆失稳时，总是绕抗弯刚度最小的轴发生弯曲变形。因此，式中的I应为截面最小的形心主惯性矩。§13-4常见约束情况压杆的临界力用上述方法，还可求得其他约束条件下压杆的临界力。PPcr2llP=Pcr为简单起见，将它们的挠曲线形状与两端铰支压杆的挠曲线形状加以比较，就可以用几何类比的方法，求出它们的临界力。1）一端固定、一端自由的压杆2）两端固定的压杆3）一端固定、一端铰支的压杆lPcr0.5l0.7lPcrl综合起来，可以得到欧拉公式的一般形式为式中，μl称为相当长度。μ称为长度系数，它反映了约束情况对临界载荷的影响：各种值都是对理想约束而言的，对于工程中常用的支座情况，长度系数可从有关设计手册或规范中查到。

杆端的约束愈弱，μ则值愈大，压杆的临界力愈低。由此可知，杆端的约束愈强，μ则值愈小，压杆的临界力愈高；一端固定、一端铰支 μ=0.7两端固定 μ=0.5一端固定、一端自由μ=2两端铰支 μ=1§13-5临界应力与柔度·三类不同的压杆1.临界应力与柔度的概念式中：

λ称为柔度；Ｉ为截面的最小形心主轴惯性矩；Ａ为截面面积；i为截面的惯性半径。如上节所述，欧拉公式只有在弹性范围内才是适用的。为了判断压杆失稳时是否处于弹性范围，以及超出弹性范围后临界力的计算问题，必须引入临界应力及柔度的概念。临界应力：压杆在弹性范围内失稳时，其在直线平衡位置时横截面上的应力，即：2.三类不同压杆及临界应力表达式柔度又称为压杆的长细比。它全面的反映了压杆长度、约束条件、截面尺寸和形状对临界力的影响。根据λ所处的范围，可以把压杆分为三类：（一）大柔度杆若压杆失稳时，临界应力小于或等于材料的比例极限，即：，称压杆发生弹性失稳。

对于不同材料的压杆，因Ｅ和σp各不相同，λp的数值亦不相同。例如A3钢，E=206GPa，σp=200MPa，可算得 λp=101。这类压杆又称为细长杆。（二）中柔度杆

λs≤λ≤λp这类杆又称中长杆。这类压杆失稳时，横截面上的应力已超过比例极限，故属于弹塑性稳定问题。对于中长杆，一般采用经验公式计算其临界应力，如直线公式： σcr=a－bλ式中a、b为与材料性能有关的常数（查表）。当σcr=σs时，其相应的柔度为中长杆柔度的下限，不难求得：例如Ａ3钢，σs=235MPa，a=235MPa，b=235MPa，代入上式算得λs=61.6。（三）小柔度杆

λ<λs这类杆又称为粗短杆。这类压杆将发生强度失效，而不是失稳。故

4.临界应力总图。

lpspssscr=ssBAlSscr=a-bl上述三类压杆临界应力与柔度的关系曲线。称为压杆的临界应力图。lscrOC例1A３钢制成的矩形截面杆受到压力P=200KN作用。杆两端为柱形铰，约束情形如图所示，其中a为正视图，b为俯视图。在A、B两处用螺栓夹紧。解：压杆AB在正视图x-y平面内失稳时，A、B两处可以自由转动，相当于铰链约束。

已知：l=2.0m,b=40mm,h=60mm,材料的弹性模量E=210GPa,求此杆的临界力。在俯视图x-z平面内失稳时，A、B两处不能自由转动，可简化为固定约束。

例1已知：P=200KN,l=2.0m,b=40mm,h=60mm,弹性模量E=210GPa,求此杆的临界力。解：在x-y平面内：A３钢的λp=101

，λz>

λp属于弹性稳定问题。解：在x-z平面内：A３钢的λs=61.6

，λs<λy<λp属于弹塑性稳定问题。由表13.1查得：a=304MPa，b=1.12MPa故此杆的临界力为373kN。例1已知：P=200KN,l=2.0m,b=40mm,h=60mm,弹性模量E=210GPa,求此杆的临界力。本题要点1．进行稳定计算时，首先须根据压杆的支承情况，进行简化，确定适当的长度系数μ。3．计算临界力时，须先计算出压杆的柔度λ，然后根据λ所处的范围，选定相应的计算临界力的公式。2．要辨明压杆可能在那个平面内丧失稳定。如果压杆在两个形心主轴平面的约束情况相同，可以比较截面的两个形心主轴惯性矩的大小；如果两个平面内的约束情况和对应的惯性矩均不相同，则以柔度λ的大小来判断。

§13-6压杆稳定安全校核

1.稳定安全准则nst是稳定安全系数。为了保证压杆不失稳，并具有一定的安全裕度，因此压杆的稳定条件可表示为用应力的形式表达为

由于压杆失稳具有突发性，危害性较大。故nst一般比强度安全系数n要大些，并且λ越大，nst值也越大。具体取值可从有关设计手册中查到。

是稳定许用应力。在机械、动力、冶金等工业部门，由于载荷情况复杂，一般都采用安全系数法进行稳定计算。安全系数校核法令称为“工作安全系数”。压杆安全工作的条件为：nst是稳定安全系数。当压杆有局部截面被削弱的情况，如杆上有开孔、切糟等。 由于压杆的临界载荷是从研究整个压杆的弯曲变形来决定的，局部截面的削弱对整体变形影响较小， 故稳定计算中仍用原有的截面几何量。但强度计算是根据危险点的应力进行的，故必须对削弱了的截面进行强度校核，即式中的An是横截面的净面积。例2千斤顶如图a所示，丝杠长度l=375mm,内径d=40mm,材料是A3钢，最大起重量P=80KN，规定稳定安全系数nst=3。试校核丝杠的稳定性。PLP解：（1）建立压杆力学模型简化为下端固定上端自由的压杆，长度系数μ=2。惯性半径:柔度:L=375mm,d=40mm,A3，P=80KN，nst=3,=75PL（2）计算临界力并校核稳定性因为λs<λ<λp，丝杠是中柔度压杆。A3钢:λp=101，λs=61.6用直线经验公式计算其临界载荷。

由表13.1查得:

丝杠的临界载荷为a=304MPa，b=1.12MPa，校核丝杠的稳定性校核：所以此千斤顶丝杠是稳定的本题要点

PL2．稳定计算时，首先计算λ，然后根据λ所处的范围，确定采用什么公式计算临界力。1．根据题意，本题只能采用安全系数法进行稳定校核。P=80KN，Pcr=277KN，nst=3 例3

结构受力如图a所示。梁AB为№16工字钢，柱CD为外径D=80mm，内径d=70mm的无缝钢管，二者材料均为3号钢。已知材料的E=2.1×105MPa，σs=235MPa；均布载荷q=40KN/m，试确定梁及柱的工作安全系数。解：DCBAq2m2m2mNo16dD

解题步骤:1确定压杆CD的压力2按压杆稳定求CD的安全系数3按照梁的强度计算安全系数

№16工字钢，D=80mm，d=70mm,A3,E=2.1×105MPa，σs=235MPa,q=40KN/m。取简支梁AB为静定基，其受力为：（1）确定柱CD的受力NCD

DC2mBAq2m2mCNcdNcd变形协调条件:△lCD=yC

求得:NCD=98.58KN

式中:

A=(0.082－0.072)/4I=1130cm4

dD

No16（2）计算梁的工作安全系数：

画剪力图和弯矩图BAq2m2mC

№16工字钢，q=40KN/m，Ncd=98.58KNNcdRARB支反力:

RA=

RB=4q/2－Ncd/2

=30.71KN0.768m

0.768m

11.78KNm-18.6KNm49.3

-30.7

-49.3

30.7

EE截面弯矩：ME=11.78KNmC截面弯矩：MC=－18.6KNmE查表得到№16工字钢抗弯截面模量梁的工作安全系数

№16工字钢，E=2.1×105MPa，σs=235MPa,Mmax=18.6KN/m。计算梁AB的最大工作应力：

梁AB的安全储备系数为

1.8

No16xyWx=141cm3

D=80mm，d=70mm,A3,E=2.1×105MPa，σs=235MPa,Ncd=98.58KNDC2mNcddD

（3）计算柱的工作安全系数：柱的惯性半径，柱的柔度

选择压杆计算公式：由于CD杆是中柔度杆A3钢：a=304MPa，b=1.12MPa柱的临界应力以及临界力：

柱的工作安全系数

§13-6提高压杆承载能力的措施压杆的稳定性取决于临界载荷的大小。由临界应力图知，当柔度λ减小时，则临界应力提高，而λ=μl/i，所以提高压杆承载能力的措施主要是尽量减小压杆的长度， 选用合理的截面形状，1．减小压杆的长度减小压杆的长度，可使λ降低，从而提高了压杆的临界载荷。 增加支承的刚性以及合理选用材料。现分述如下： 工程中，为了减小柱子的长度，通常在柱子的中间设置一定形式的撑杆，它们与其他构件连接在一起后，对柱子形成支点，限制了柱子的弯曲变形，起到减小柱长的作用。对于细长杆，若在柱子中设置一个支点，则长度减小一半，而承载能力可增加到原来的4倍。2．选择合理的截面形状压杆的承载能力取决于最小的惯性矩I，当压杆各个方向的约束条件相同时，使截面对两个形心主轴的惯性矩尽可能大，而且相等，是压杆合理截面的基本原则。但这种薄壁杆的壁厚不能过薄，否则会出现局部失稳现象。 对于型钢截面（工字钢、槽钢、角钢等），由于它们的两个形心主轴惯性矩相差较大，为了提高这类型钢截面压杆的承载能力，工程实际中常用几个型钢，通过缀板组成一个组合截面，3．增加支承的刚性对于大柔度的细长杆，一端铰支另一端固定压杆的临界载荷比两端铰支的大一倍。因此，杆端越不易转动，杆端的刚性越大，长度系数就越小，图示压杆，若增大杆右端止推轴承的长度a，就加强了约束的刚性。4．合理选用材料对于大柔度杆，临界应力与材料的弹性模量E成正比。因此钢压杆比铜、铸铁或铝制压杆的临界载荷高。