第一章 误差理论基础

2023/2/1第一章误差理论基础①等精度测量：测量条件不变（完全一致）的一系列重复测量。②非等精度测量：测量条件不完全一致的一系列重复测量。1.1测量误差一、常用术语根据中华人民共和国计量器具检定规程JJG1001-82（试行）《常用计量名词术语及定义》2023/2/1③真值：被测量本身所具有的真正的值。在不同的时间和空间条件下，被测量的真值往往是不同的。真值是客观存在的，也是一个理想的概念，通常不可知，特殊可知（三角形的三角之和180，人为定义）。可以说，被测对象的真值是不可知的。④实际值：是可知的，它趋近于真值，通常用它来代替真值，故亦称为约定真值。如算数平均值（由有限次测量得到），上一级标准器具等等，它们的准确度均高于当前测量值。标准器具及其等级的概念，如砝码。实际值与真值都是获得测量误差的基准。不过，通常情况下，实际值往往用于工程计算，而真值则往往用于理论分析。2023/2/1⑤标称值：测量器具或元件上标明的数值，亦称为名义值。如砝码。⑥示值：测量器具的读数装置所指示的被测量的数值。如电压表、卡尺、直尺等等。标称值和示值都是实际测量出来的数值，统称为给出值，亦可称为测量值或实测值。⑦测量误差：被测量的给出值与其真值（或实际值）之间的差值，简称误差。任何测试系统的测量结果都有一定的误差，即所谓精确度。不存在没有误差的测量结果，也不存在没有精确度要求的测试系统。误差是一项非常重要的技术指标。2023/2/11．按表示方法分类⑴绝对误差定义：绝对误差＝示值（或标称值）－真值，即Δx＝x－A0

（1-1）式中，x表示被测量的给出值（示值或标称值），Δx表示绝对误差，A0表示被测量的真值。实际应用中常用实际值（约定真值）来代替真值，此时的绝对误差也常称为示值误差：示值误差＝给出值（示值或标称值）－实际值 Δx＝x－A

（1-2）二、误差分类2023/2/1修正值：绝对（示值）误差的负值C＝－Δx＝A－x

（1-3）检定→修正值已知→实际值（砝码）A＝x＋C

（书中p4的“－”错了） （1-4）有了修正值，就能在测试过程中得到更为准确的结果了。绝对误差和修正值均与给出值具有相同的量纲，其大小和符号分别表示给出值偏离真值的程度和方向。2023/2/1⑵相对误差定义：绝对误差与被测量的某一约定值（不是约定真值！）之比。相对误差以百分比的形式表示（无量纲），它往往比绝对误差更能确切地说明测量质量，作为一项技术指标，它的使用也往往比绝对误差更多。①实际相对误差＝绝对误差/实际值×100% A=Δx/A×100% （1-5）②示值相对误差＝绝对误差/给出值×100% x=Δx/x×100% （1-6）2023/2/1③

满度（引用）相对误差＝绝对误差/满度值×100%（简称：“相对”二字可省略）m=Δx/xm×100% （1-7）满度值亦称为量程。在相对误差中，引用误差是应用最多的表示方法。常用电工仪表系列利用最大引用误差的概念定义了7级标准：±0.1、±0.2、±0.5、±1.0、±1.5、±2.0、±5.0。⑶容许误差根据技术条件的要求，规定某一类测量器具最大允许误差的范围。工程上常简称为允差。2023/2/12．按误差的出现规律分类⑴

系统误差（系差）在同一条件下，多次测量同一量值时，绝对值和符号保持不变，或在条件改变时，按一定规律变化的误差称为系统误差。变化规律服从某种已知函数。表明了偏离真值的程度，故常用正确度（不能称为准确度）来表征系统误差的大小。2023/2/1⑵随机误差（随差，偶然误差）在同一条件下，多次测量同一量值时，绝对值和符号以不可预定方式变化着的误差称为随机误差。造成随机误差的因素很多也很复杂，往往难以进行具体的分析。其变化规律未知，但服从统计规律，因此可以估计。随机误差表明了测量结果的分散性。常用精密度（简称为精度）来表征随机误差的大小。⑶粗大误差（粗差、寄生误差）测量结果明显偏离实际值（约定真值）时所对应的误差，该测量结果称为坏值，应予舍弃不用。2023/2/1⑷测量误差的描述如前所述，系统误差的大小可以用正确度来表征，随机误差的大小可以用精密度来表征。如果测量的正确度和精密度均高，则称为测量的准确度高。准确度亦称为精确度。正确度系统误差 精密度随机误差；准确度＝正确度＋精密度2023/2/1如图所示（射击的弹着点）：图（a）表示正确度较高而精密度很差；图（b）表示精密度虽较好，但正确度不高；图（c）表示正确度和精密度都不错，即准确度高。（a）精密度（b）正确度（c）准确度2023/2/13．按误差来源分类⑴工具误差：测量工具本身不完善引起的误差。①读数误差：a.校准误差；b.分辨率不高②内部噪声引起的误差。电子的、机械的等等。③其他误差：器件老化、测试系统条件变化等等。⑵方法误差（理论误差）：所依据的理论本身不严密、采用的测量方法不完善或被测量定义不明确等因素引起的误差。2023/2/14．按被测量随时间的变化分类⑴静态误差：被测量随时间变化很缓慢或基本不变时的测量误差。⑵动态误差：在被测量随时间变化很快的过程中测量时产生的附加误差。是在动态测量时产生的。2023/2/15．按使用条件分类⑴基本误差：测试系统在标准条件下测量时产生的误差。测试系统的精确度是由基本误差决定的。标准条件也称为额定条件，通常由国家、地方、企业等各级制定的标准文件规定，如电源电压220±5%V、电源频率50±0.5Hz、温度20±5℃、湿度＜80%等等。⑵附加误差：使用条件偏离标准条件时产生的除基本误差之外的误差。它们叠加在基本误差之上。2023/2/16．按误差与被测量的关系分类⑴定值误差：不随被测量变化的误差。为一定值，既可能是系差，也可能是随差。⑵累积误差：误差与被测量成比例变化，故此得名Δx＝sx

（1-8）2023/2/1

［例1.1］被测电压实际值大约为21.7V，现有1.5级、量程为0～30V的A表，1.5级、量程为0～50V的B表，1.0级、量程为0～50V的C表，0.2级、量程为0～360V的D表，四种电压表，请问选用哪种规格的电压表进行测量所产生的测量误差较小?

［解］：分别用四种表进行测量由此可能产生的最大绝对误差分别如下所示。2023/2/1A表有,B表有,C表有,D表有,

答：四者比较，选用A表进行测量所产生的测量误差通常较小。

2023/2/11.2随机误差概率密度的正态分布只考虑随机误差，独立等精度测量（各次测量不相关，但测量条件完全相同）；共进行了150次测量，得到了分布于11个不同区间的测量值xi及该值属于某区间的次数ni，随差为i=xi–x0，实际值（约定真值）x0＝5.26；误差等间隔值Δxi＝Δi＝0.01；由p7表1-1，以频率ni/n为纵坐标，随差δi为横坐标，可得频率直方图（亦称为统计直方图），如p7图1-1和图1-2所示。一、频率直方图图1-1随机误差的频率直方图图1-2随机误差的概率密度分布曲线2023/2/1当n→∞时，Δδi→dδ，ni→dn，则可定义随机误差的概率密度为:（1-9）频率直方图变为图1-2（p7）所示的f(δ)－δ的光滑曲线。概率元（阴影Ⅰ的面积）f(δ)dδ＝dn/n，即:P{δ，δ＋dδ}＝f(δ)dδ （1-10）概率分布函数定义为（图1-2阴影Ⅱ的面积）（1-11）2023/2/1概率密度f(δ)与其分布概率函数F(δ)互为微积分关系，即f(δ)＝F'(δ)。F(δ)的统计特性：⑴对称性：对称于纵轴。⑵抵偿性：当测量次数n→∞时，全体误差的代数和为0，即正、负误差相互抵消。⑶单峰性：绝对值小的误差比绝对值大的误差的概率密度大，且有f(0)＝fmax(δ)。⑷有界性：实际上，绝对值很大的误差几乎不会出现，故可认为随差具有一定的界限（注意：理论上是无界的，但实际上一定是有界的）。2023/2/1其中，令σ为均方根误差（标准偏差），为精密度指数，它们决定了正态分布曲线的形状，如图1-3（p9）所示:

根据概率论的中心极限定理可知，随差服从正态分布:(1-14)二、概率密度的正态分布2023/2/10 σ<σ<σ δσ<σ<σh＞h＞h拐点f(δ)图1-3随机误差的正态分布曲线2023/2/1除了前述的4个特点外，还有以下几个特点。⑴标准偏差σ越小（即精密度指数h越大），则正态分布曲线越陡，即小误差的概率密度越大。这意味着小误差出现的概率更大，测量值更集中、即测量精密度更高。故σ的大小表明了测量值的离散性，等精度测量就是一种σ值相同的测量。⑵令f(δ)＝0，可得峰点坐标：δ＝0（xi＝x0），f(0)＝fmax(δ)＝1/(σ)2023/2/1最后需要指出的是，并非所有的随机误差都服从正态分布。⑶

令f(δ)＝0，可得拐点fg(δ)的坐标：δ＝±σ，fg(δ)＝f(±σ)＝1/(σ )⑷

随机误差在区间（－，＋）取值的概率为1，即

P{－，＋}＝2023/2/1若以测量值x作为随机变量，则它与随差一样，也服从正态分布，且其概率密度为:曲线如右图所示。可见，减去真值之后（即δ＝x－x0）就是随机误差的正态分布曲线。被测量的真值x0及标准偏差σ为测量值正态分布中的两个重要特征量，它们决定了正态分布曲线的形状。fmax(x)f(x)x0-σ x0

x0+σ

x1.3算术平均值与标准偏差2023/2/1由上式说明，数学期望就是全体测量值依概率的平均数。将正态分布式（1-15）代入式（1-17）积分后可得Mx＝x0，即全体测量值的数学期望就是测量值的真值，这是正态分布的重要特征之一。一、算数平均值与数学期望算数平均值公理：以等精度测量列的平均值作为测量结果。那么，算数平均值x与真值x0之间有什么关系呢？由概率论可知，数学期望定义为随机变量的一阶原点矩，它表示了随机变量的中心位置，即2023/2/1通常，测量值往往是离散型随机变量，此时的f(x)当然也不是连续的，故数学期望为当测量次数n→∞时，得到的所有可能测量值（无限测量列）的总体称为母体。实际测量均是有限的，测量中只能得到母体的若干测量值（有限测量列），称之为子样。2023/2/1当n→∞时，有限测量列→无限测量列，子样→母体。由正态分布的抵偿性，且考虑到随差δi＝xi－x0，则：即当n→∞时，x→x0。因此，子样的算数平均值x就是被测量真值x0的最佳估值＾x0，即通常，在进行误差处理时，以子样的算数平均值x作为约定真值代替母体的真值x0，以子样的残余误差（测量值与约定真值之差，简称为残差）vi＝xi－x代替母体的测量误差δi＝xi－x0。2023/2/1方差定义为随机变量ζ的二阶中心矩，表征了随机变量相对于数学期望的离散程度。对于连续型随机变量，母体的方差为（右边的式子展开后，中间一项积分为Mζ）二、方差与标准偏差2023/2/1对于全体测量值来说，母体的方差Dx表征了测量值相对于其真值x0的离散程度。方差越小，正态分布曲线越陡峭，表明测量误差越小、测量精密度越高。∵ (1-22)∴ σ＝Dx→即标准偏差是方差的均方根值→故亦称为均方根误差。对于等精度无限测量列，即离散型随机变量，母体的均方根误差可表示为（理论表达式）2023/2/1对于子样，标准偏差的计算略有不同（实际应用，工程表达式）：①当真值（或约定真值）x0已知（如象砝码那样的上一级标准器具的值）时，可参考上式计算，仅n为有限值（不取极限）；②当真值（或约定真值）x0未知时，必须以子样的算数平均值x代替真值x0（最佳估值x＝ˆx0），以残差vi代替测量误差δi。因此，不能再用上式计算。n次测量有n个自由度，因为计算x已失掉1个自由度，所以测量值的标准偏差的估值如下：（贝塞尔公式）2023/2/1当n→∞时，（n－1）→n，子样→母体，ˆσ→σ，于是，子样和母体的计算公式就趋于一致了。母体的均方根误差σ称为标准偏差，子样的均方根误差ˆσ称为标准偏差的估计值。当n较小时，必须用贝塞尔公式计算σ值。由于测量次数有限，因此x与x0仍有一定的误差。可以证明，算数平均值的标准偏差ˆS是测量值的标准偏差ˆσ的1/n倍，即2023/2/1式中，残差vi＝xi－x。ˆS是随n的增加而减小的，ˆS的变化比n慢，当n≥50时，ˆS减小的效果就不明显了。故通常取n为10～20即可，实际应用中的测量次数很少会超过50次。下面介绍贝塞尔公式的另一种形式。当n较大时，用该式计算比较方便。考虑到 x＝(1/n)xi，由式（1-24）可得：2023/2/12023/2/1若xi值太大，可任选一与xi接近的B，作变换：yi＝xi－B，∵yi－y＝xi－x＝vi，∴有优点：①由于不需要事先求出算数平均值，因此在实际计算中，不会因求算数平均值时除不尽而产生舍入误差；②在舍弃坏值之后（后面§1.5将介绍），不需要重复计算每个vi及vi2值，大大简化了计算；③在设计计算机应用系统时（如利用单片机），由于计算更简单、且不需要准备n个单元来存放所有测量值xi，因而有效地节约了计算机内存单元。2023/2/11.4置信区间与置信概率置信区间：定义为随机变量的取值范围，用符号±l或（－l～＋l）来表示。由于标准偏差σ是正态分布的重要特征，因此常以均方根误差σ的倍数来表示置信区间：±l＝±Zσ

。其中，Z称为置信系数（常取整数，但也可以取小数），l＝Zσ称为置信限。置信概率：随机变量ζ在置信区间（－l～＋l）内取值的概率，其表示方法为（σ为常量）2023/2/1置信区间和置信概率二者结合起来称之为置信度，即可信程度。由此可见，从统计学的角度正确说明一个测量结果，必须指明其可信程度——即必须同时给出置信区间和置信概率这两个重要指标。置信水平（亦称显著性水平）：随机变量ζ在置信区间以外取值的概率，即(Z)＝1－(Z)＝P{||＞Zσ} （1-28）2023/2/1正态分布的置信区间和置信概率如右图所示。显然，置信区间越宽，置信概率就越大，随机误差的范围也越大，对测量准确度的要求就越低；反之，置信区间越窄，置信概率就越小，随机误差的范围也越小，对测量准确度的要求就越高。f(δ)置信概率P=φ(Z)=1-α图1-5置信区间与置信概率置信区间±l

δ0.5α0.5α2023/2/1下面讨论：当置信区间取不同大小时，或者说当均方根误差σ一定、置信系数Z取不同的典型值时，置信概率有多大，它们有什么意义。当置信区间为±l＝±Zσ时，正态分布的置信概率为：做变量代换，令δ＝Zσ，则dδ＝σdZ，积分限由0～Zσ变为0～Z，故有：2023/2/1此即表示置信概率的拉普拉斯函数，它是置信系数Z的函数。当已知标准偏差σ时，置信度——即置信区间和置信概率就由拉普拉斯函数给出了。下表是一组典型值，注意Z取典型值的几个特殊情况。Z

置信区间

置信概率

置信水平

1±σ

(Z)＝P{|δ|≤σ}＝0.6827≈2/3(Z)＝0.3173≈1/32±2σ

(Z)＝P{|δ|≤2σ}＝0.9545≈21/22(Z)＝0.0455≈1/223±3σ

(Z)＝P{|δ|≤3σ}＝0.9973≈369/370(Z)＝0.0027≈1/370通常将2σ或3σ称为极限误差（最大可能出现误差）：＝δlim＝2σ或3σ2023/2/11.5粗差的判别准则根据“统计法”来判别：给出一个置信水平值，常给定α＝0.05或0.01，然后确定相应的置信区间，在置信区间外的误差即为粗差，它所对应的测量值即为坏值，应予舍弃。设有一等精度独立测量列xi（i＝1，2，…，n），其算数平均值为x，残差为vi＝xi－x；按贝塞尔公式计算出的测量值的标准偏差为σ，取极限误差为3σ，则拉依达准则（通常亦称为3σ准则）可由下式表示：|vb|＝|xb－x|＞3σ

（1-31）

一、拉依达准则（3σ准则）2023/2/1式中，b为整数且1≤b≤n，xb为坏值，vb为坏值的残差，x为包括坏值在内的全部测量值的算数平均值，3σ为准则的判别值。使用3σ准则需要注意以下几点：①计算σ值时也应包括坏值的残差vb在内，因为此时尚不知道哪个值是坏值。②建议采用式（1-26）所示的贝塞尔公式计算σ。③舍弃1个坏值后应重新应用拉依达准则检查，直至无新的坏值出现为止。拉依达准则简便易用，应用广泛。但在理论上它是基于重复测量次数n→∞的，故当n较小时就不够可靠了，此时应采用下面的格拉布斯准则。2023/2/1格拉布斯准则也是基于正态分布理论的，并考虑了测量次数n及标准偏差本身有误差等影响因素，理论上比较严格，使用也比较方便。它利用了置信水平（显著性水平）α。格拉布斯准则：凡大于格拉布斯鉴别值（与3σ准则不同之处）的残差视为粗差。即|vb|＝|xb－x|＞[g(n,α)]ˆσ

（1-32）式中，n为测量次数，α为显著性水平，[g(n,α)]ˆσ为格拉布斯鉴别值，g(n,α)为格拉布斯准则判别系数，它与测量次数n和显著性水平α有关，如下表所示。二、格拉布斯准则2023/2/1α

n0.050.01α

n0.050.01α

n0.050.0131.151.15142.372.66252.663.0141.461.49152.412.71302.75—51.671.75162.442.75352.82—61.821.94172.472.79402.87—71.942.10182.502.82452.92—82.032.22192.532.85502.96—92.112.32202.562.88603.03—102.182.41212.582.91703.09—112.232.48222.602.94803.14—122.292.55232.622.96903.18—132.332.61242.642.991003.21—表1-3格拉布斯准则判别系数g(n,α)2023/2/1下面，通过一个例子来具体讨论一下粗差的判别与坏值的舍弃方法。例1-1

n＝16，取α＝0.05。注意：书上p17下面的印刷有3处错误，分别为：①表1-4中第6列第12行的－0.23应为－0.21；②倒数第4行的公式中，中括号中的内容应该再除以（15－1）；③倒数第3行的第2个“按拉依达准则复查”应改为“按格拉布斯准则复查”。解：先作变换，令yi＝xi－39.50，列表计算如下。三、粗差判别举例2023/2/1ixiyiy2ivi①vi②139.44－0.060.0036－0.18－0.12239.27－0.230.0529－0.35－0.29339.940.440.19360.320.38439.44－0.060.0036－0.18－0.12538.91－0.590.3481－0.71－0.65639.690.190.03610.070.13739.48－0.020.0004－0.14－0.08840.561.061.12360.94—939.780.280.07840.160.22表1-4（p17）：2023/2/1续前表：1039.680.180.03240.060.121139.35－0.150.0225－0.27－0.211239.710.210.04410.090.151339.46－0.040.0016－0.16－0.101440.120.620.38440.500.561539.760.260.06760.140.201639.39－0.110.0121－0.23－0.17计算①Σy①

1.980.1242.4050.060计算②Σy②

0.920.0611.28142023/2/1由式（1-26）计算标准偏差（表1-4的计算①，n＝16）：⑴按3σ准则判别计算残差：平均值y＝0.124，vi＝yi－y＝yi－0.124；列入表1-4中。鉴别值为3ˆσ1＝1.14。检查结果表明，没有任何一个测量值的残差的绝对值超过判别值3ˆσ1，即对于所有的i，均有|vi|＝|yi－y|＝|yi－0.124|＜3ˆσ1＝1.14第一次检查这组测量数据未发现粗差及坏值。2023/2/1⑵按格拉布斯准则判别由于取α＝0.05，故由表1-3可查得格拉布斯准则的判别系数为g(n,α)＝g(16，0.05)＝2.44。于是，可得格拉布斯鉴别值为g(n,α)ˆσ1＝2.44×0.38＝0.927≈0.93。由前面的残差计算结果可见，第8个残差v8的绝对值超过了鉴别值0.93，即|v8|＝|y8－y|＝|1.1236－0.124|＝0.936≈0.94＞0.93因此，v8为粗差，第8个测量值x8为坏值，应予舍弃。舍弃后应进一步检查计算。可见，按3σ准则判断没有发现的坏值，被格拉布斯准则发现了。2023/2/1第二次计算（表1-4的计算②）：去掉了坏值x8之后，还剩下15个数据，即n＝15。首先重新计算标准偏差（下式中ˆσ2的下标2表示第二次计算）：注意小数部分最后一位的“0”，下同。⑴按3σ准则判别重新计算残差：平均值y＝0.061，vi＝yi－y，列入表1-4中。鉴别值为3ˆσ2＝0.90。检查结果表明，没有任何一个测量值的残差的绝对值超过判别值3ˆσ2＝0.90，即对于所有的i，均有|vi|＝|yi－y|＜3ˆσ1＝0.90因此，第二次检查这组测量数据未发现粗差及坏值。2023/2/1⑵按格拉布斯准则判别由于取α＝0.05，故由表1-3可查得格拉布斯准则的判别系数为g(n,α)＝g(15，0.05)＝2.41。于是，鉴别值为g(n,α)ˆσ2＝2.41×0.30＝0.723≈0.72检查结果表明，没有任何一个测量值的残差的绝对值超过鉴别值0.72，即对于所有的i，均有

|vi|＝|yi－y|＝|yi－0.061|＜0.72因此，第二次检查这组测量数据亦未发现粗差及坏值。至此，粗差判别结束，全部测量值中仅x8为坏值，应予舍弃。2023/2/1由上述计算过程可见，使用式（1-26）计算标准偏差ˆσ比使用式（1-24）计算的确具有明显的优越性：①避免了求算数平均值时除不尽而引入的舍入误差；②在舍弃坏值之后，又避免了重复计算每个vi及vi2值的麻烦。这里需要注意的是，虽然在判断过程中也计算了算数平均值x和残差vi，但这个计算与标准偏差＾σ的计算是无关的，它们的舍入误差只与其本身有关，并不影响其它参数的计算。同时，也不需要计算vi2值。由此可见，这种计算方法使得测量值的处理具有更高的准确度，即具有更小的数据处理误差。2023/2/11.6系统误差1．恒定系差大小和符号恒定不变的系差。又可分为恒正系差和恒负系差。恒定系差用前述处理随机误差（偶然误差）的方法是难以发现的。一、分类2023/2/1例如，对于某一等精度测量列x1，x2，…，xn，考虑到随机误差时，无恒定系差时的算术平均值为残差为vi＝xi－x；存在恒定系差ε时的算术平均值为此时的残差为vi＝xi－x＝(xi＋ε)－(x＋ε)＝vi。于是可见，无恒定系差和有恒定系差时的残差vi值是完全相同的。标准偏差σ的情况也是如此。2023/2/12．变值系差按照已知的一定规律变化的系差。根据变化特点，还可分为以下几类。⑴累积（累进）系差。随时间增长误差逐渐加大或减少的系差；线性系差，非线性系差。⑵周期系差。在测量过程中，大小和符号均按一定周期变化的系差。⑶复杂变值系差。即变化规律尚不清楚的系差。有时会向随机误差转化，可按随机误差处理。2023/2/1产生系差的原因：①客观原因测量仪器、系统或测量方法不完善；②主观原因仪表使用不当、环境条件不满足要求、经验及技术水平不足、操作不细心等等。2023/2/1最根本的还是要做好测量前的准备工作——防患于未然，以消除系差的来源。首先，应检查测量仪器本身的性能是否符合要求。其次，应仔细检查仪器是否处于正常工作条件下。此外，还要检查测量系统和测量方法本身是否正确，等等。测量过程中为减少和消除系差常用的几个方法如下。二、消除方法2023/2/11．交换法将引起系差的某些条件相互交换，并保持其它条件不变，使产生系差的因素对测量结果起相反作用，从而抵消系差。例如，当机械天平两臂的长度不相等时，会带来测量误差，如果交换砝码和被测物的位置，即可抵消这一误差。2．换向法也称为上下读数法。机械式测量机构的空程或间隙等影响会造成测量误差，取上行读数和下行读数的平均值即可消除这一类误差。2023/2/13．校准法用上一级标准器具检定。对恒定系差定期检定即可，对累积系差则须经常标定。4．补偿法某项测量条件的变化或仪器某个环节的非线性会引入变值系差，此时可采取补偿措施，自动消除系差。例如，环境温度的变化是最常见的影响测量准确度的主要因素，采用温度补偿措施即可消除温度变化所带来的系差。2023/2/11．恒定系差的估计设n个测量值为xi（i＝1，2，…，n），其算数平均值为x，真值为x0，则测量误差（即绝对误差）为δi＝xi－x0＝(xi－x)＋(x－x0)＝vi＋ε

（1-33）式中，ε为测量过程的恒定系差，由式（1-33），它可表示为ε＝i－vi

（1-34）三、估计方法2023/2/1考虑到所有残差之和为0，（由残差定义vi＝xi－x，两边同时取i个值之和即可得此结论，是残差的重要性质）并在式（1-34）两边求平均值，于是可得上式表明，测量值真误差的平均值δ就是测量过程中的恒定系差，其修正值为：C＝－ε＝－δ

（1-36）

2023/2/12．变值系差的估计为了较精确地估计变值系差的影响，往往采用解析或实验方法找出其变化规律。然而在很多情况下难以找到变值系差的数学模型；同时，在准确度要求不高的情况下也没有必要找到精确的数学模型。此时，只要估计出变值系差的下限值a和上限值b即可。设a＜b，可将变值系差分为两部分：ε＝(b＋a)/2，e＝(b－a)/2 （1-37）式中，ε称为变值系差的恒定部分，e称为变值系差的变化部分，用来估计系差的变化范围。2023/2/11.7误差的传递及误差的合成与分配1．误差的传递：间接测量的需要。例如测量某一物质的比重，首先要测量该物质样品的质量，其次还要测量该样品的体积，然后再用公式“质量÷体积”来计算该物质的比重。“质量”和“体积”的测量都是直接测量，而“比重”的测量就是间接测量。“比重”的测量误差是由“质量”的测量误差和“体积”的测量误差共同决定的。确定间接测量误差的过程中，就需要将直接测量的误差“传递”过来。一、系差的传递，二、随差的传递2023/2/12．误差的合成用于测量结果的分析。任何测量结果都包含一定的测量误差，这是测量过程中各个环节一系列误差因素共同作用的结果。如何正确地分析和综合这些误差因素，并正确地表述这些误差的综合影响，就是误差合成要研究的基本内容。一、随差的合成，二、系差的合成，三、随差与系差的合成，四、最后结果的表示2023/2/13．误差的分配：用于测量系统（装置、方案）的设计与综合。在设计测量仪表和测量方案等情况下，需要事先给定测量结果的总允许误差，然后据此确定各个单项误差。如何合理地确定各个单项误差，以保证测量准确度，这就是误差分配要研究的基本内容。显然，误差分配的难度要高于误差合成。2023/2/11.8最小二乘原理如前所述，由式（1-16）得到的等精度测量的子样的算数平均值x，是母体的数学期望Mx或真值x0的最佳估值。即：当n→∞时，x→x0。理论上可以严格证明：真值x0的最佳估值＾x0即算数平均值x，具有残差平方和最小的特性，这就是著名的最小二乘原理。下面，通过一个并不严格的证明来进一步了解这个著名的原理。2023/2/1设有一独立等精度测量列xi（i＝1，2，…，n），其残差为vi＝xi－x，残差平方和为：（1-64）若不按式（1-16）计算算数平均值x，会有什么结果呢？例如，对n个独立等精度的测量值，任取其中m个（m＜n＝或m＝n＋k，n个值中有k个重复使用）计算其平均值，记为x̃（以区别于算数平均值x），并设其残差为di＝xi－x̃，则此时的残差平方和为：2023/2/1（1-65）由式（1-64）和式（1-65），并注意到x≠x̃，则有:2023/2/1可见，欲求真值的最佳估值，应使各测量值的残差平方和最小。 证毕。由于残差为实数，即各残差的平方和必为正数，故由前面对方差和标准偏差的讨论（参考式（1-23）～（1-26）的讨论）可知，残差平方和最小就保证了相应的标准偏差和方差为最小值，同时也说明了测量数据的离散度最小，测量准确度高。最小二乘原理在实验数据处理中是个广义的和普遍的原则，得到了相当广泛的应用。2023/2/11.9曲线的拟合在实践中，经常需要通过一组实际测量数据来求得某些变量之间的最佳函数关系式，如y＝f(x)。这一过程就称之为曲线拟合，该曲线方程称为回归方程。最小二乘原理和方法就是保证具有最佳拟合与回归的最基本也是最常用的方法。2023/2/1一、直线拟合两个变量之间的线性关系是一种最简单也是最理想的函数关系，故先讨论之。掌握了直线拟合的方法，曲线拟合就比较容易理解了。y6420