c第四章弯曲正应力

§4.1对称弯曲的概念及梁的计算简图§4.2剪力弯矩、剪力图弯矩图§4.3平面刚架和曲杆的内力图§4.4梁的正应力、正应力强度计算§4.5切应力、切应力强度计算§4.6梁的合理设计第四章弯曲应力M内力剪力：弯矩：横截面上τσ纯弯曲概念xzyOFS梁横截面上剪力等于零，而弯矩为常量的弯曲。纯弯曲梁横截面上只存在正应力，不存在切应力。§4.4梁的正应力、正应力强度计算横截面内分布力系的合力垂直于横截面的分布力系的合力偶矩纯弯曲：FFFSAC、DB段：CD段：纯弯曲横力弯曲（剪切弯曲）§4.4梁的正应力、正应力强度计算ABCDFFaaFaMFaI纯弯曲时梁横截面上的正应力试验现象：⑴横向线mm、nn保持为直线转过一个角度伸长短缩§4.4梁的正应力、正应力强度计算(2)纵向线aa、bb变成圆弧曲线，且仍与横向线垂直aabboomnmnMeMe试验推断与假设①平截面假设：②纵向纤维间无正应力平截面假设同一层纤维变形相同受力相同连续性中间有一层既不伸长也不缩短假设下部纤维伸长上部纤维缩短中性层中性轴中性层z中性轴§4.4梁的正应力、正应力强度计算横截面变形后仍为平面，且与变形后的轴线垂直(中性层与横截面的交线)§4.4梁的正应力、正应力强度计算结论：1、纯弯曲时，横截面只有正应力。2、中性轴上应力为零。3、距中性轴等距处应力均布Mzyoy求：距中性轴为y处应力正应力公式1、几何方面微段：dx截面mm、nn相对相对转过结论：中性层为零距中性层最远的上、下纤维应变最大变形前：变形后：§4.4梁的正应力、正应力强度计算aabboomnmnMeMedxρy2、物理方面横截面上的正应力分布规律1沿高度方向（横向力方向）线性分布2以中性轴为界，一侧为拉应力，一侧为压应力3中性轴上的点（y=0）正应力为零4距离中性轴最远的点上有最大的应力值§4.4梁的正应力、正应力强度计算变形几何关系:M轴力：弯矩：3、静力学方面⑴式：中性轴z轴过截面形心§4.4梁的正应力、正应力强度计算MσdAzyo(y,z)⑵式：⑶式：MσdAzyo§4.4梁的正应力、正应力强度计算中性轴z轴为主惯性轴中性轴z轴过截面形心中性轴z轴为形心主轴沿y方向，线性分布中性轴上中性轴两侧离中线轴最远点使用时：M、y绝对值代入，由变形判断符号(M＜0)(M>0)§4.4梁的正应力、正应力强度计算例：铸铁杆M=3kN·m,E=175GPa①最大拉应力、最大压应力②曲率半径ρ解：①中性轴ⅠⅡ90302040M=3kN·m§4.4梁的正应力、正应力强度计算②惯性矩yz’90302040M=3kN·m3822§4.4梁的正应力、正应力强度计算曲率半径：MMABzyC§4.4梁的正应力、正应力强度计算正应力的极值令：则：（抗弯截面系数）ozybhozydozydD（1）横力弯曲时，l/h>5，正应力公式仍然适用；§4.4梁的正应力、正应力强度计算II纯弯曲理论的推广（2）适用于横截面有纵向对称面的任何形状梁；（3）适用于荷载作用在通过形心主惯性平面的非对称实体截面梁。对梁的某一截面，最大正应力发生在距中性轴最远的位置：§4.4梁的正应力、正应力强度计算III梁的正应力强度条件对于全梁(等截面)，最大正应力发生在弯矩极值截面：梁的强度条件公式：强度条件公式的三个方面应用：（1）校核强度：（2）尺寸选择：（3）设计载荷：§4.4梁的正应力、正应力强度计算§4.4梁的正应力、正应力强度计算例：矩形截面简支木梁如图所示,荷载q＝2kN/m，l=4m，b=140mm，h=210mm，木梁许用应力[σ]=10MPa，试校核梁的强度。lABqbhql2/8Mmax∴满足强度要求§4.4梁的正应力、正应力强度计算例：矩形截面简支木梁如图所示,l=4m，b=140mm，h=210mm，木梁许用应力[σ]=10MPa，试求梁能承受的最大荷载qmax。lABqbhql2/8§4.4梁的正应力、正应力强度计算aaaABCD例：简支梁如图所示,荷载P1＝15kN，P2=21kN，a=2m，梁采用热轧普通工字钢，许用应力[σ]=170MPa，试选择工字钢的型号。解：①支座反力34kNm38kNm选择20a号工字钢：Wz＝237cm3例：T字形截面梁,荷载P1＝8kN，P2=20kN，a=0.6m，Iz=5.33×10-6m4，[σc]=150MPa，[σt]=60MPa，试校核梁的强度。解：①支座反力§4.4梁的正应力、正应力强度计算aaaABCD4080CM图(kN·m)②内力图③强度校核∴满足强度要求4.83.6§4.4梁的正应力、正应力强度计算ABCD2268204080最大拉应力强度最大压应力强度(2)切应力沿宽度方向均匀分布bhFS1、两个假设横截面上任一点的剪应力方向皆平行于剪力FS梁横截面上的切应力§4.5梁横截面上的切应力•梁的切应力强度条件一、矩形截面梁q(x)ABx§4.5梁横截面上的切应力•梁的切应力强度条件q(x)ABxdxdxbyozyFSFSM(x)M(x+dx)dxF1§4.5梁横截面上的切应力•梁的切应力强度条件F2§4.5梁横截面上的切应力•梁的切应力强度条件式中：FS—横截面上剪力

—所求切应力处，水平线以下(或以上)部分面积对中性轴的静矩。Iz—整个横截面对中性轴的惯性矩。b—所求切应力处横截面宽度。bh对于矩形截面，FS、Iz

、b均为常量。切应力随静矩而变化又：§4.5梁横截面上的切应力•梁的切应力强度条件ozyy切应力沿截面分布规律带入切应力沿梁的高度按抛物线规律分布.在处，在处，切应力最大最大切应力是平均切应力的1.5倍。二、工字型截面梁主要考虑工字型截面梁腹板上的切应力计算。可按照矩形截面梁的切应力公式计算：式中：d—腹板宽度—图中阴影部分面积对中性轴之静矩。§4.5梁横截面上的切应力•梁的切应力强度条件ozy上翼缘下翼缘腹板y当时，最小；时，最大。（按抛物线规律分布）§4.5梁横截面上的切应力•梁的切应力强度条件静矩计算如下：代入切应力公式得：§4.5梁横截面上的切应力•梁的切应力强度条件最大切应力发生在中性轴上各点处：最大切应力是平均切应力的2倍。三、薄壁圆环截面四、圆截面梁最大切应力发生在中性轴上各点处最大切应力是平均切应力的倍。oyzoyz4.切应力强度条件梁内最大切应力一般发生在剪力最大的横截面的中性轴上，若以表示中性轴以下（或以上）部分面积对中性轴的静矩，则梁的切应力强度条件为：在校核梁的强度或进行截面设计时，必须同时满足梁的正应力强度条件和切应力强度条件。在工程中，通常先按正应力强度条件设计出截面尺寸，然后进行切应力强度校核。§4.5梁横截面上的切应力•梁的切应力强度条件三种需要校核剪应力强度的情况①短梁或载荷很靠近支座（M小，FS大）②薄壁截面梁,τmax大③焊接、复合梁，木梁，抗剪能力差§4.5梁横截面上的切应力•梁的切应力强度条件解：画内力图FS例

矩形(bh=0.12m0.18m）截面木梁如图，[]=7MPa，[]=0.9MPa，试求最大正应力和最大剪应力之比,并校核梁的强度。§4.5梁横截面上的切应力•梁的切应力强度条件Bq=3.6kN/mAL=3mM+M+求最大应力并校核强度§4.5梁横截面上的切应力•梁的切应力强度条件应力之比FS§4.5梁横截面上的切应力•梁的切应力强度条件例：一外伸工字型钢梁，型号为22a，荷载如图。已知：F＝30kN，q=6kN/m，材料的许用应力[σ]=170MPa，[τ]=100MPa，试校核梁的强度。3m2m3mABCDFq12kN17kN13kN12kNm39kNm解：作梁的内力图。求最大应力并校核强度例2：一简支梁由两个槽钢组成，受四个集中荷载作用，如图示。已知：P1=120kN，P2=30kN，P3=40kN，P4=12kN，容许应力[σ]=170MPa，[τ]＝100MPa。试选择槽钢的型号。§4.5梁横截面上的切应力•梁的切应力强度条件（二）按正应力强度条件选择槽钢的型号最大弯矩：由正应力强度条件：解（一）绘梁的FS、M图，如图示§4.5梁横截面上的切应力•梁的切应力强度条件此时梁内最大正应力为：超过容许正应力约3%，此差异在一般规定的5%范围内，故允许。一个槽钢的抗弯截面模量为：查型钢表，选用20a号槽钢；§4.5梁横截面上的切应力•梁的切应力强度条件最大剪力：20号槽钢截面简化后，中性轴以下面积的静矩为：查型钢表：选用二根20号槽钢能满足剪应力强度条件。（三）梁的剪应力强度校核§4.5梁横截面上的切应力•梁的切应力强度条件三、弯曲中心平面弯曲的特点1.弯曲中心如外力作用在非对称轴的平面内，梁除了发生弯曲外，还会发生扭转。要使梁在外荷载作用下只产生弯曲而没有扭转变形，就必须使荷载作用平面或作用线通过截面的弯曲中心。对于一般常见的薄壁截面，为了找到它们的弯曲中心。可掌握以下几条规律：工程实际中采用的某些薄壁梁的截面往往只有一个对称轴，如槽形截面。T型截面等。§4.5梁横截面上的切应力•梁的切应力强度条件①具有两个对称轴或反对称轴的截面弯曲中心与形心重合。②具有一个对称轴