浙江省宁波市2023届高三上学期期末考试数学试题

宁波市2023学年第一学期期末考试高三数学试卷第Ⅰ卷（选择题部分，共40分）一、选择题：本大题共10小题,每小题4分,共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合，，则（）A．B．C．D．2.已知，则条件“”是条件“”的（）条件.A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分又不必要条件3.若函数为偶函数，则实数的值为（）A．1B．C．1或D．04.已知焦点在轴上的椭圆的离心率为，则实数等于（）A．3B．C.5D．5.圆柱被一个平面截去一部分后与半球（半径为）组成一个几何体，该几何体三视图中的正视图和俯视图如图所示.若该几何体的表面积为，则（）A．1B．2C.4D．86.已知，为的导函数，则的图像是（）A．B．C.D．7.一个箱子中装有形状完全相同的5个白球和个黑球.现从中有放回的摸取4次，每次都是随机摸取一球，设摸得白球个数为，若，则（）A．1B．2C.3D．48.《莱因德纸草书》（RhindPapyrus）是世界上最古老的数学著作之一，书中有一道这样的题目：把100个面包分给5个人，使每人所得成等差数列，且使较大的三份之和的是较小的两份之和，问最小1份为（）A．B．C.D．9.若函数在上的最大值为，最小值为，则（）A．B．2C.D．10.已知向量，，满足，，，为内一点（包括边界），，若，则以下结论一定成立的是（）A．B．C.D．第Ⅱ卷（非选择部分，共110分）二、填空题：本大题共7小题，多空题每题6分，单空题每题4分，共36分.11.已知，则．12.设为虚数单位，则复数的虚部为，模为．13.对给定的正整数，定义，其中，，则；当时，．14.在锐角中，已知，则角的取值范围是，又若分别为角的对边，则的取值范围是．15.已知双曲线的渐近线方程是，右焦点，则双曲线的方程为，又若点，是双曲线的左支上一点，则周长的最小值为．16.现有红、黄、蓝、绿四个骰子，每个骰子的六个面上的数字分别为1,2,3,4,5,6.若同时掷这四个骰子，则四个骰子朝上的数字之积等于24的情形共有种（请用数字作答）．17.如图，在平面四边形中，，，，点为中点，分别在线段上，则的最小值为．三、解答题：本大题共5小题，共74分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.18.已知函数.（Ⅰ）求的最小正周期；（Ⅱ）求在区间上的最大值与最小值.19.如图，在四棱锥中，侧面底面，底面为矩形，为中点，，，.（Ⅰ）求证：平面；（Ⅱ）求直线与平面所成角的正弦值.20.已知函数.（Ⅰ）若方程只有一解，求实数的取值范围；（Ⅱ）设函数，若对任意正实数，恒成立，求实数的取值范围.21.已知抛物线的方程为，为其焦点，过不在抛物线上的一点作此抛物线的切线，为切点.且.（Ⅰ）求证：直线过定点；（Ⅱ）直线与曲线的一个交点为，求的最小值.22.已知数列满足，.（Ⅰ）若，求证：对任意正整数均有；（Ⅱ）若，求证：对任意恒成立.试卷答案一、选择题1-5:ABCDB6-10:ABACB二、填空题11.212.-2，13.64，14.，15.，16.5217.1三、解答题18.解：（Ⅰ），所以的最小正周期为.（Ⅱ）因为，所以.当，即时，取得最大值；当，即时，.即的最小值为.19.解：（Ⅰ）设与的交点为，连结.因为为矩形，所以为的中点.在中，由已知为中点，所以.又平面，平面，所以平面.（Ⅱ）在中，，，所以，即.因为平面平面，平面平面，，所以平面，故.又因为，平面，所以平面，故就是直线与平面所成的角.在直角中，，所以.即直线与平面所成角的正弦值为.20.解：（Ⅰ）由已知.当时，，函数在上单调递减；当时，，函数在区间上单调递增.故.又当时，.且（对足够小的）.又当时，.即所求的取值范围是.（Ⅱ）由（Ⅰ）知.所以对任意正实数，恒成立，等价于.∵.（1）当时，，与式矛盾，故不合题意.（2）当时，当时，，当时，，所以在上单调递增，在区间上单调递减.，所以.综合（1）（2）知实数的取值范围为.21.解：（Ⅰ）设直线的方程为，设，以为切点的切线方程分别为，.由消去得.则，.这两条切线的斜率分别为，.由这两切线垂直得，得.所以直线恒过定点.（Ⅱ）设，则，，当时，则，可得，当时，则，，，同样可得.所以.由.所以.令，..所以在上为减函数，在上为增函数.所以.（或当时取等号.）22.证明：（Ⅰ）当时，根据和在均为增函数.从而当时，必