《余弦定理》学案2

《余弦定理》学案（2）知识梳理1．余弦定理：(1)形式一：，，形式二：，，，（角到边的转换）2.解决以下两类问题：1）、已知三边，求三个角；（唯一解）2）、已知两边和它们的夹角，求第三边和其他两个角；（唯一解）3.三角形ABC中典例剖析题型一：利用余弦定理解三角形例1在中，已知，，，，求c.解∵且，∴为钝角，，由余弦定理知，∴即，解得或（舍去）∴.评述已知三角形的三边或两边和一角可应用余弦定理求解。熟练掌握余弦定理是解题的关键，同时还要注意方程思想的运用。题型二：判断三角形的形状例2在中，若，试判断的形状.解：方法一：由正弦定理和已知条件得：，∵，∴，即，∵B、C为的内角，∴，故为直角三角形.方法二：原等式变形为：，即：，由余弦定理得：故为直角三角形.评述：判断三角形的形状，一般是从题设条件出发，根据正弦定理、余弦定理进行边角变换，全化为边的关系或全化为角的关系，导出边或角的某种特殊关系，然后利用平面几何知识即可判定三角形的形状。备选题：余弦定理的应用例3：已知A、B、C是△ABC的三个内角，且满足（sinA＋sinB）2－sin2C＝3sinAsinB求证：A＋B＝120°证明：由（sinA＋sinB）2－sin2C＝3sinA·sinB可得sin2A＋sin2B－sin2C＝sinA·sinB又∵sinA＝eq\f(a,k)，sinB＝eq\f(b,k)，sinC＝eq\f(c,k)，∴eq\f(a2,k2)＋eq\f(b2,k2)－eq\f(c2,k2)＝eq\f(a,k)·eq\f(b,k)整理得a2＋b2－c2＝ab∴cosC＝eq\f(a2＋b2－c2,2ab)＝eq\f(1,2)又0°＜C＜180°，∴C＝60°∴A＋B＝180°－C＝120°评述：（1）有关三角形内角的证明，选择余弦值与正弦值相比较，要省去取舍的麻烦.但注意在根据三角函数值求角时，应先确定角的范围；（2）在将已知条件中角的关系转化为边的关系时，运用了正弦定理的变形式：a＝2RsinA，b＝2RsinB，c＝2RsinC，这一转化技巧，要求熟练掌握.（2）解法二中用到了三角函数中两角差的正弦公式，但应注意在根据三角函数值求角时，一定要先确定角的范围.另外，也可运用同角三角函数的商数关系，在等式sinB·cosA＝sinAcosB两端同除以sinAsinB得cotA＝cotB，再由0＜A，B＜π，而得A＝B.点击双基1.在在△ABC中，AB=3,AC=4,BC=,则AC边上的高为（）A.B.C.D,解：由余弦定理知：cosA===,A=AC边上的高为ABsinA=答案：B2.在在△ABC中,已知其面积S=（a）,则角C的度数为（）A.135B.45C.60D.120解：S=（a），absinC=（a）sinC=即sinC=cosC,tanC=1C=45答案：C3．在△ABC中，若，则其面积等于（）A．B．C．D．解：答案：D4..已知锐角三角形的三边长分别为2、3、，则的取值范围是．解：在锐角三角形中，答案：5．在△ABC中，若，则解：答案：120课后作业1若三条线段的长分别为5，6，7，则用这三条线段能组成（）三角形。

A.锐角 B.钝角C.直角D.等腰解：长为7的边所对角最大，设它为，则答案：A2.△ABC中，若a4+b4+c4=2(a2+b2)c2则∠C的度数（）

A、600B、450或1350C、1200D解：由a4+b4+c4=2(a2+b2)c，得a4+b4+c4-2a2c-2b2c=0(a)=a4+b4+c4-2a2c-2b2c+2bc=2bc,a===,C=450或1350答案：B3.设a,a+1,a+2是钝角三角形的三边，则a的取值范围是()

A.B.C.<a<6解：a,a+1,a+2是钝角三角形的三边，则（a+2）>a+(a+1)，a<0-1<a<3,又a>0答案：A4.△ABC中，a,b,c分别是∠A、∠B、∠C的对边，若<0,则△ABC（）A.锐角三角形B.直角三角形C.钝角三角形D.锐角或钝角三角形解：由余弦定理得cosC<0,C是钝角答案：C5.已知△ABC的三边满足（a+b+c）(a+b-c)=3ab,则C的度数为（）A.15B.30C.45D.60解：由条件将a+b看作一个整体，利用平方差公式得到（a+b）-c=3ab,化简整理，得a=ab,cosC===,C=60答案：D6.在△ABC中，cos=,则△ABC的形状是（）A.正三角形B.直角三角形C.等腰三角形或直角三角形D.等腰直角三角形解：根据余弦的二倍角公式变形式，原式可化为=，cosA==,a+b=c△ABC为直角三角形答案:B7.在△ABC中，若，，C=，则此三角形有()A.一解B.两解C.无解D.无法判断解：由余弦定理得：负值不合题意，舍去。答案：A8.若的周长等于20，面积是，，则边的长是（）A.5 B.6C.7D解：由三角形面积，得，又∵的周长等于20，∴由余弦定理得：==∴，解得.答案：C二．填空题9.在△ABC中，A=600,最大边和最小边的长是方程的两实根，那么BC边长等于.解：A=600最大边和最小边为b,c,最大边和最小边的长是方程的两根，b+c=9,bc=,a=b+c-2bccosA=(b+c)-2bc-2bccosA=49,a=7答案：710.在△ABC中，a=1,B=450,,则△ABC的外接圆的直径是.解：S=acsinB=c,c=4,=252R===5答案：511.在△ABC中,,则角A=.解：由得，又=-，A=120答案：120三．解答题12.在四边形ABCD中，四个角A、B、C、D的度数的比为3:7:4:10，求AB的长。解：设四个角A、B、C、D的度数分别为3x、7x、4x、10x则有解得连BD，在中，由余弦定理得：是以DC为斜边的直角三角形13.在△ABC中，bcosA＝acosB，试判断三角形的形状.解法一：利用余弦定理将角化为边.∵bcosA＝acosB∴b·eq\f(b2＋c2－a2,2bc)＝a·eq\f(a2＋c2－b2,2ac)∴b2＋c2－a2＝a2＋c2－b2∴a2＝b2∴a＝b故此三角形是等腰三角形.解法二：利用正弦定理将边转化为角.∵bcosA＝acosB又b＝2RsinB，a＝2RsinA∴2RsinBcosA＝2RsinAc