《变化率与导数》同步练习2

《变化率与导数》同步练习一、选择题1.已知函数f(x)的图象如图所示，f′(x)是f(x)的导函数，则下列数值排序正确的是()A．0<f′(2)<f′(3)<f(3)－f(2)B．0<f′(3)<f(3)－f(2)<f′(2)C．0<f′(3)<f′(2)<f(3)－f(2)D．0<f(3)－f(2)<f′(2)<f′(3)2．曲线y＝x3＋11在点P(1,12)处的切线与y轴交点的纵坐标是()A．－9B．－3C．9 D．153．曲线y＝eq\f(sinx,sinx＋cosx)－eq\f(1,2)在点M(eq\f(π,4)，0)处的切线的斜率为()A．－eq\f(1,2) \f(1,2)C．－eq\f(\r(2),2) \f(\r(2),2)4．设曲线y＝ax2在点(1，a)处的切线与直线2x－y－6＝0平行，则a＝()A．1 \f(1,2)C．－eq\f(1,2) D．－15．若点P是曲线y＝x2－lnx上任意一点，则点P到直线y＝x－2的最小距离为()A．1 \r(2)\f(\r(2),2) \r(3)6．放射性元素由于不断有原子放射出微粒子而变成其他元素，其含量不断减少，这种现象称为衰变．假设在放射性同位素铯137的衰变过程中，其含量M(单位：太贝克)与时间t(单位：年)满足函数关系：M(t)＝M02－eq\f(t,30)，其中M0为t＝0时铯137的含量．已知t＝30时，铯137含量的变化率是－10ln2(太贝克/年)，则M(60)＝()A．5太贝克 B．75ln2太贝克C．150ln2太贝克 D．150太贝克二、填空题7．已知f(x)＝x2＋2xf′(1)，则f′(0)＝________.8．已知函数f(x)＝－x3＋ax－4(a∈R)，若函数y＝f(x)的图象在点P(1，f(1))处的切线的倾斜角为eq\f(π,4)，则a＝________.9．若曲线f(x)＝ax5＋lnx存在垂直于y轴的切线，则实数a的取值范围是________．三、解答题10．求下列函数的导数．(1)y＝x2sinx；(2)y＝eq\f(ex＋1,ex－1)；11．[文]设曲线C：y＝－lnx(0＜x≤1)在点M(e－t，t)(t≥0)处的切线为l.(1)求直线l的方程；(2)若直线l与x轴、y轴所围成的三角形面积为S(t)，求S(t)的最大值．12．已知曲线S：y＝3x－x3及点P(2,2)．(1)求过点P的切线方程；(2)求证：与曲线S切于点(x0，y0)(x0≠0)的切线与S至少有两个交点．详解答案一、选择题1.解析：由导数的几何意义可知，f′(2)、f′(3)分别表示曲线在x＝2，x＝3处的切线的斜率，而f(3)－f(2)表示直线AB的斜率，即kAB＝f(3)－f(2)．由图形可知0<f′(3)<f(3)－f(2)<f′(2)．答案：B2．解析：y′＝3x2，故曲线在点P(1,12)处的切线斜率是3，故切线方程是y－12＝3(x－1)，令x＝0得y＝9.答案：C3．解析：y′＝eq\f(cosxsinx＋cosx－sinxcosx－sinx,sinx＋cosx2)＝eq\f(1,1＋sin2x)，把x＝eq\f(π,4)代入得导数值为eq\f(1,2).答案：B4．解析：∵y′＝2ax，∴y′|x＝1＝2a.即y＝ax2在点(1，a)处的切线斜率为2a.直线2y－6＝0的斜率为2.∵这两直线平行，∴它们的斜率相等，即2a＝2，解得a答案：A5．解析：设P(x0，y0)，则y′|x＝x0＝2x0－eq\f(1,x0).由2x0－eq\f(1,x0)＝1，得x0＝1或x0＝－eq\f(1,2)(舍)．∴P点坐标(1,1)．∴P到直线y＝x－2距离为d＝eq\f(|1－1－2|,\r(1＋1))＝eq\r(2).答案：B6．解析：因为M′(t)＝－eq\f(1,30)M02·ln2，所以M′(30)＝－eq\f(1,60)M0ln2＝－10ln2.所以M0＝600.所以M(t)＝600×2.所以M(60)＝600×2－2＝150(太贝克)．答案：D二、填空题7．解析：f′(x)＝2x＋2f∴f′(1)＝2＋2f′(1)，即f∴f′(x)＝2x－4，∴f′(0)＝－4.答案：－48．解析：f′(x)＝－3x2＋a，y＝f(x)的图象在点P处的切线的倾斜角为eq\f(π,4)，即f′(1)＝taneq\f(π,4)，∴－3＋a＝1，解得a＝4.答案：49．解析：曲线f(x)＝ax5＋lnx存在垂直于y轴的切线，即f′(x)＝0有解．又∵f′(x)＝5ax4＋eq\f(1,x)，∴方程5ax4＋eq\f(1,x)＝0有解．∴5ax5＝－1有解．又∵x>0，∴a<0.故实数a的取值范围是(－∞，0)．答案：(－∞，0)三、解答题10．解：(1)y′＝(x2)′sinx＋x2(sinx)′＝2xsinx＋x2cosx.(2)法一：y′＝eq\f(ex＋1′ex－1－ex＋1ex－1′,ex－12)＝eq\f(exex－1－ex＋1ex,ex－12)＝eq\f(－2ex,ex－12).法二：∵y＝eq\f(ex－1＋2,ex－1)＝1＋eq\f(2,ex－1)，∴y′＝1′＋(eq\f(2,ex－1))′，即y′＝eq\f(－2ex,ex－12).11．解：(1)∵y′＝(－lnx)′＝－eq\f(1,x)(0＜x≤1)，∴在点M(e－t，t)处的切线l的斜率为－et，故切线l的方程为y－t＝－et(x－e－t)，即etx＋y－1－t＝0.(2)令x＝0，得y＝t＋1；再令y＝0，得x＝eq\f(t＋1,et).∴S(t)＝eq\f(1,2)(t＋1)eq\f(t＋1,et)＝eq\f(1,2)(t＋1)2e－t(t≥0)．从而S′(t)＝eq\f(1,2)e－t(1－t)(1＋t)．∵当t∈[0,1)时，S′(t)>0；当t∈(1，＋∞)时，S′(t)<0，∴S(t)的最大值为S(1)＝eq\f(2,e).12．解：(1)设切点为(x0，y0)，则y0＝3x0－xeq\o\al(3,0).又f′(x)＝3－3x2，∴切线斜率k＝eq\f(y0－2,x0－2)＝3－3xeq\o\al(2,0).即3x0－xeq\o\al(3,0)－2＝(x0－2)(3－3xeq\o\al(2,0))．∴(x0－1)[(x0－1)2－3]＝0.解得x0＝1或x0＝1±eq\r(3).相应的斜率k＝0或k＝－9±6eq\r(3)，∴切线方程为y＝2或y＝(－9±6eq\r(3))(x－2)＋2.(2)证明：与曲线S切于点(x0，y0)的切线方程可设为y－y0＝(3－3xeq\o\al(2,0))(x－x0)，与曲线S的方程联立，消去y，得3x