第09讲三角形的中位线同步教学讲义 人教版数学八年级下册

第9讲三角形的中位线知识导航1.连接三角形两边中点的线段叫三角形的中位线；2.三角形的中位线性质：三角形的中位线平行且等于第三边的一半；3.一个三角形有三条中位线.【板块一】运用中位线的性质计算与证明方法技巧三角形的中位线平行且等于第三边的一半，给出了中位线与第三边的位置关系和数量关系，为证明两线平行，探求两线段的数量关系提供了依据.题型一利用中位线的性质计算与证明【例1】如图，△ABC中，，，AD，AE分别是△ABC的角平分线和中线，过点C作CG⊥AD于点F，交AB于点G，连接EF，则线段EF的长为_______.【例2】如图，点E为□ABCD中DC边的延长线上一点，且，连接AE，分别交BC，BD于点F，G，连接AC交BD于点O，连接OF.(1)求证：△ABF≌△ECF；(2)求证：.针对练习11.如图，□ABCD的周长为8，对角线AC，BD交于点M，延长AB到点E，使，BN⊥EC于点N，连接MN，求MN的长.2.如图，O为△ABC两条中线BF与CD的交点，求证：，.【板块二】构造中位线的方法与技巧方法技巧构造中位线的方法与技巧有：连中点构造中位线，取中点构造中位线，角平分线与垂线组合构造中位线，倍长线段构造中位线，连接第三边构造中位线.题型二连中点构造中位线【例1】如图，△ABC和△DCE都是等腰直角三角形，，点D，C，B在同一条直线上，点F，G，M分别为AD，BE，AB的中点.(1)求的度数；(2)求的值.题型三取中点构造中位线方法技巧三角形的一条边上有中点，可以取另一边的中点，然后连接这两个中点，构造三角形的中位线.【例2】如图1，在△ACB中，，，点E在AC上，EF⊥AC交AB于点F，连接BE，D为AF的中点，M为BE的中点.(1)判断CM与CD之间的数量关系，并加以证明；(2)将△AEF绕点A旋转任意一锐角，如图2，其他条件不变，（1）中的结论是否仍然成立？请加以证明.题型四角平分线＋垂线→构造中位线方法技巧角平分线＋垂线，通过延长直角边，可以补全成等腰三角形，形成一边上有中点的情形，与另外的边的中点连线可得到中位线.【例3】(2017徐州改)如图，在△ABC中，点D，点E分别为AB，AC的中点，点F在DE上，且AF⊥BF.(1)求证：；(2)若，，求EF的长.【例4】如图，BD,CE分别是△ABC的外角平分线，过点A作AF⊥BD于点F，AG⊥CE于点G，连接FG.求证：(1)FG∥BC；(2).【例5】已知点M为△ABC的边BC的中点，，，BD⊥AD于点D，连接DM.(1)如图1，若AD为△ABC的角平分线，延长BD交AC于点E.①求证：；②求MD的长；(2)如图2，若AD为△ABC的外角平分线，则.【例6】如图，在△ABC中，，AB边上的高线CH与△ABC的两条内角平分线AM，BN分别交于P，Q两点，PM，QN的中点分别为E，F.求证：EF∥AB.【例7】如图，△ABC和△CDE都是等腰直角三角形，，点E在AC上，M为BE的中点.求证：.题型五倍长线段构造中位线【例8】如图，点P为△ABC的边BC的中点，分别以AB,AC为斜边作Rt△ABD和Rt△ACE，且.求证：.题型六连接第三边构造中位线方法技巧若图形中存在共顶点的两边上都有中点，可以连接第三边，构造中位线.【例9】如图，在□ABCD中，，，，点H，G分别是边CD，BC上的动点，连接AH，HG，点E为AH的中点，点F为GH的中点，连接EF.则EF的最大值与最小值的差为（）A．1B.C.D.【例10】如图，E，F，G，H分别是AB，BC，CD，DA的中点，求证：四边形EFGH是平行四边形.【例11】如图，点B为线段AC上一点，分别以AB，BC为边AC的同侧作等边△ABD和等边△BCE，点P，M，N分别为AC，AD，CE的中点.(1)求证：；(2)求的度数.针对练习21.(课本62页第16题改编)如图，在△ABC中，M为BC的中点，AD为的平分线，BD⊥AD于点D.(1)求证：；(2)若，，，求AC的长.2.如图，在△ABC中，BE，CF分别平分，，AG⊥BE，AH⊥CF，G，H为垂足，求证：GH∥BC.3.如图，点E，F，G，H分别是四边形ABCD的边AB，BC，CD，DA的中点，求证：EG与HF互相平分.4.如图，BF是△ABC的角平分线，AM⊥BF于点M，CE平分△ABC的外角，AN⊥CE于点N.(1)求证：MN∥BC；(2)若，，，求MN的长.【板块三】中位线与动态探究题型七中位线与路径问题方法技巧中位线的动态图求值，先分别选取运动点的起点，中间某一特殊点，终止点这些特殊位置对应的点，然后由特殊到一般猜想估计运动点的情形，最后验证.【例1】如图，在△ABC中，，，，若点E为BC上一动点，以AE为边在AE右侧作等边△AEF，连接CF，点G为线段CF的中点，若点E从点B出发，沿着BC方向运动到点C，则在此过程中，点G运动的路径长为_________.【例2】如图，，，点P在线段OA上运动，BP⊥PM，，C为x轴负半轴上一定点，连接CM，N为CM的中点，当点P从点O运动至点A时，点N运动的路径长为________.针对练习3 .1.如图，已知AB=10，P是线段AB上的动点，分别以AP,PB为边在线段AB的同侧作等边△ACP和等边△P