《充分条件与必要条件》同步练习12

《充分条件与必要条件》同步练习一、选择题1．(2015·四川文，4)设a，b为正实数，则“a＞b＞1”是“log2a＞log2b＞0”A．充要条件B．充分不必要条件C．必要不充分条件D．既不充分也不必要条件[答案]A[解析]a＞b＞1时，有log2a＞log2b2．“a＝1”是“直线x＋y＝0和直线x－ay＝0互相垂直”的()A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件[答案]C[解析]本题考查两条直线垂直的充要条件．当a＝1时，直线x－ay＝0化为直线x－y＝0，∴直线x＋y＝0与直线x－y＝0垂直；当直线x＋y＝0和直线x－ay＝0互相垂直时，有1－a＝0，∴a＝1，故选C.3．设x∈R，则“x>eq\f(1,2)”是“2x2＋x－1>0”的()A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件[答案]A[解析]本题考查充要条件，解一元二次不等式．由2x2＋x－1>0得(x＋1)(2x－1)>0，即x<－1或x>eq\f(1,2)，所以x>eq\f(1,2)⇒2x2＋x－1>0，而2x2＋x－1>0eq\o(⇒,/)x>eq\f(1,2)，选A.4．(2014·郑州市质检)设向量a＝(x,1)，b＝(4，x)，则“a∥b”是“x＝2”的()A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充分必要条件 D．既不充分又不必要条件[答案]B[解析]a∥b⇔x2－4＝0⇔x＝±2，故a∥b是x＝2的必要不充分条件．5．(2014·甘肃省三诊)设a，b∈R，则(a－b)·a2<0是a<b的()A．充分非必要条件 B．必要非充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件[答案]A[解析](a－b)a2<0⇒a－b<0⇒a<b，而a<b，a＝0时(a－b)·a2＝0，∴a<beq\o(⇒,/)(a－b)a2<0∴选A.6．(2014·豫东、豫北十所名校联考)已知数列{an}为等比数列，则p：a1<a2<a3是q：a4<a5的()A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件[答案]A[解析]由a1<a2<a3可知等比数列{an}为递增的，所以a4<a5，充分性成立，但a4<a5时，不能确定{an}为递增数列，也可能是正负交替数列，例如an＝2·(－1)n－1，所以必要性不成立．二、填空题7．命题p：x1、x2是方程x2＋5x－6＝0的两根，命题q：x1＋x2＝－5，那么命题p是命题q的________条件．[答案]充分不必要[解析]∵x1，x2是方程x2＋5x－6＝0的两根，∴x1＋x2＝－5.当x1＝－1，x2＝－4时，x1＋x2＝－5，而－1，－4不是方程x2＋5x－6＝0的两根．8．已知数列{an}，那么“对任意的n∈N＋，点Pn(n，an)，都在直线y＝2x＋1上”是“{an}为等差数列”的______条件．[答案]充分不必要[解析]点Pn(n，an)都在直线y＝2x＋1上，即an＝2n＋1，∴{an}为等差数列，但是{an}是等差数列时却不一定有an＝2n＋1.三、解答题9．是否存在实数p，使“4x＋p<0”是“x2－x－2>0”的充分条件？如果存在，求出p的取值范围．[答案]p≥4[解析]x2－x－2>0的解是x>2或x<－1，由4x＋p<0得x<－eq\f(p,4).要想使x<－eq\f(p,4)时，x>2或x<－1成立，必须有－eq\f(p,4)≤－1，即p≥4，所以当p≥4时，x<－eq\f(p,4)⇒x<－1⇒x2－x－2>0.所以p≥4时，“4x＋p<0”是“x2－x－2>0”的充分条件．10．求关于x的方程ax2＋2x＋1＝0至少有一个负的实根的充要条件．[答案]a≤1[解析]①a＝0时适合．②当a≠0时，显然方程没有零根，若方程有两异号的实根，则a<0；若方程有两个负的实根，则必须满足eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(\f(1,a)>0，,－\f(2,a)<0，,Δ＝4－4a≥0.))解得0<a≤1.综上可知，若方程至少有一个负的实根，则a≤1；反之，若a≤1，则方程至少有一个负的实根，因此，关于x的方程ax2＋2x＋1＝0至少有一个负的实根的充要条件是a≤1.一、选择题1．“m＝eq\f(1,2)”是“直线(m＋2)x＋3my＋1＝0与直线(m－2)x＋(m＋2)y－3＝0相互垂直”的()A．充要条件B．充分不必要条件C．必要不充分条件D．既不充分也不必要条件[答案]B[解析]由于直线方程中含有字母m，需对m进行讨论．(m＋2)x＋3my＋1＝0与(m－2)x＋(m＋2)y－3＝0互相垂直的充要条件是(m＋2)(m－2)＋3m(m即(m＋2)(4m－2)＝0，所以m＝－2或m＝eq\f(1,2).显然m＝eq\f(1,2)只是m取值的一种情况．故为充分不必要条件．2．“x＝2kπ＋eq\f(π,4)(k∈Z)”是“tanx＝1”成立的()A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件[答案]A[解析]“tanx＝1”的充要条件为“x＝kπ＋eq\f(π,4)(k∈Z)”，而“x＝2kx＋eq\f(π,4)(k∈Z)”是“x＝kx＋eq\f(π,4)(k∈Z)”的充分不必要条件，所以“x＝2kπ＋eq\f(π,4)(k∈Z)”是“tanx＝1”成立的充分不必要条件，故选A.3．设α∈R，则“α＝0”是“sinα<cosα”的()A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件[答案]A[解析]由α＝0可以得出sinα＝0，cosα＝1，sinα<cosα，但当sinα<cosα时，α不一定为0，所以α＝0是sinα<cosα的充分不必要条件，选A.4．(2014·江西临川十中期中)已知平面向量a、b满足|a|＝1，|b|＝2，a与b的夹角为60°，则“m＝1”是“(a－mb)⊥a”的()A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件[答案]C[解析]∵|a|＝1，|b|＝2，〈a，b〉＝60°，∴a·b＝1×2×cos60°＝1，(a－mb)⊥a⇔(a－mb)·a＝0⇔|a|2－ma·b＝0⇔m＝1，故选C.二、填空题5．“a＝eq\f(1,2)”是“y＝cos2ax－sin2ax的最小正周期为2π”的________条件．[答案]充分不必要[解析]由a＝eq\f(1,2)，得y＝cos2eq\f(1,2)x－sin2eq\f(1,2)x＝cosx，T＝2π；反之，y＝cos2ax－sin2ax＝cos2ax，由T＝eq\f(2π,|2a|)＝2π，得a＝±eq\f(1,2).故是充分不必要条件．6．下列说法正确的是________．①x2≠1是x≠1的必要条件；②x>5是x>4的充分不必要条件；③xy＝0是x＝0且y＝0的充要条件；④x2<4是x<2的充分不必要条件．[答案]②④[解析]“若x2≠1，则x≠1”的逆否命题为“若x＝1，则x2＝1”，易知x＝1是x2＝1的充分不必要条件，故①不正确．③中，由xy＝0不能推出x＝0且y＝0，则③不正确．②④正确．三、解答题7．求证：关于x的方程x2＋mx＋1＝0有两个负实根的充要条件是m≥2.[证明](1)充分性：∵m≥2，∴Δ＝m2－4≥0，方程x2＋mx＋1＝0有实根，设x2＋mx＋1＝0的两根为x1、x2，由韦达定理知：x1x2＝1>0，∴x1、x2同号，又∵x1＋x2＝－m≤－2，∴x1、x2同为负根．(2)必要性：∵x2＋mx＋1＝0的两个实根x1，x2均为负，且x1·x2＝1，需Δ＝m2－4≥0且x1＋x2＝－m<0，即m≥2.综上可知，命题成立．8．求证：关于x的方程ax2＋bx＋c＝0有一个根为1的充要条件是a＋b＋c＝0.[证明]必要性：∵关于x的方